Курсы оқу құралы
(/ + як)!/ = / + я к / + я:к :/
жүктеу/скачать 10,43 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- К" операторын теңдігімен анықтауға болады, мұнда, K n(x,s) = \ K ( x , t ) K n \ (t,s)dt. (21) a
| (/ + як)!/ = / + я к / + я:к :/,...,
«>„(*)=( / + Я К . ) У = £ Я " К " / , т О b теңдіктерімен аныкдалады. Мұнда, /- б і р л і к оператор, Кf = \ K ( x , s ) f ( s ) d s , ал а К т операторы К -ның т дәрежесі. К операторы дорежелерін K ( x , s ) ядросы арқылы көрейік. Анықтама бойын- Егер K 2{x,s) = jK ( x ,t) K ( t,s ) d t деп белгілесек, онда 32 а СОЛ сияқты К 2/ = \ K i ( x , s ) f { s ) c l s , Егер К ■'/ = к ( к 2f ) = \K (x,t)I} K 2(t,s)f(s)d s\=} jj K,(x,s) = \ K(xd)K,(l,x)dl деп белгілесек, онда К 3/ = ] K ,(x,s)f(s)d s. а Жалпы жагдайда, математикалык индукция заңымен К / (V.vl/lvk/v. К" операторын теңдігімен анықтауға болады, мұнда, K n(x,s) = \ K ( x , t ) K n \ (t,s)dt. (21) a (21) формуласымен анықталған K n(x,s) функциясы n - қайталанған ядро немесе ядроның п - интеграциясы деп аталады. Келешекте K d x,s) - K(x,s) деп қабылдаймыз. Оператор үшін белгілі K"+m = K "(K m) = K m(K ”) теңдігінен қайта- ланған ядролар үшін орындалатын K n+m{x,s) = \ K X x , t ) K m{t,s)dt = ) K m{x,t)K„{t,s)dt тендігін алуға болады. Ескерте кетейік, егер D = {a < x,s функция болса, онда барлық қайталанған ядролар да D - {a < x,s < b} облысында үзіліссіз функциялар болатыны көрініп түр. Қарастырылып отырған Фредгольм тендеуінің шешімі (р(х) = lim (рп{х) болғандықтан (р{х) = / W + I ^ Km / = / М + ^ \ K m{ x,s)f(s)d s (22) m l m = l(, формуласын аламыз. (22) тендеуінің оң жағында гүрған қатардың шарты орындалғанда бірқалыпты жинақты болатынына көз жеткізу қиын емес. 33 Әдетте оны Нейман қатары деп атайды. Жоғарыда алынған тұжырымдардың қорытындысы келесі тұжырымды береді. 2-теорема. Егер |Я|< ~ / еС [я,6 ], K ( x , s ) e C ( D ) болса, онда кез кел- ген 2-текті Фредгольмнің тендеуінің С[а,Ь] кеңістігінде жататын жалғыз шешімі бар болады жэне ол шешім (22) формуласымен өрнектеледі. Яғни |Я| < дөңгелегінің ішінде (7 —Я К ) операторына шенелген кері ( 7 - Я К ) -1 = 7 + ЯК + Я2К 2 + ... + Я"К" +... формуласымен аныкталады. Шынында, 1 М ( Ь - а ) оператор ( 7 - Ж ) ( / - Ж ) - ' - (7 -Я К )(7 + ЯК + Я2К 2 + ...) = / + ЯК + Я2К 2+ ...- Я К - Я 2К 2- ... = 7. Енді К ] (х, s) + ЛК2 (х, 5) + Я2 К } (х, s) +... + Я"-1 К п (х, 5) +... функционалдық қатарын қарастырайық. Егер де |Я|< . , 7^— г болса, онда бұл М ( Ь - а ) қатар D - {a < x,s < b} облысында бірқалыпты жинақты. Осы қатардың қосын- дысын Я (х^;Л ) = Х Л п ]K n(x,s) (23) п=I ядроның резольвентасы немесе шешетін ядросы деп атайды. Резольвента /?(дг,$;Я) бірқалыпты жинақталатын функциялық қатардың қосындысы болғандыктан, х, 5 аргументтері бойынша үзіліссіз, ал Я аргументі бойынша |Я|< }— - облы- М ( о - а ) сында аналитикалық функция екені айқын. Егер (23) тендігінің екі жағында f ( s ) функциясына көбейтіп, s бойынша а мен b аралығында интеграл алсақ, онда J R ( x , s , A ) f ( s ) d s = £ А П 1J K n{x,s)f{s)d s a n 1 a (24) теңдігін аламыз. Енді (22) мен (24) теңдіктерін салыстырсақ, (р{х) = f ( x ) + Л j R(x,s;A)f(s)cis (25) a формуласы шығады. Егер бос мүше / е C[a,b] болса, онда (25) формула-сымен анықталатын (р е С[а,Ь] Фредгольм теңдеуінің шешімін аламыз. 3-теорема. Егер алдыңғы теореманыц шарттары орындалса, онда (20) тең- деуінің шешімі (25) формуласымен аныкталады. жүктеу/скачать 10,43 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|