§2.2. Сызықты  нормаланған  кеңістік

3)  сонда:  10.  х + у  = у  + х  коммутативтік;  20.  (x + 
y ) + z 
-  x + (_y + z)  (ассоциа­
тивен);  30.  ЗӨ  (нөлдік  элемент)  жэне  х + Ө = х \   40.  Әрбір  х  үшін  3(-х)  жэне 
х + { - х ) - Ө ;  50.  Vx  үшін  1-х = х ;  60.  Л(рх) -{Лр) х  (көбейтудің  ассоциативтігі); 
70.  Л{х + у) = Лх + Лу,  (Л + р ) х  = Лх + цх  (көбейтудің  дистрибутивтігі)  қанағаттан- 
дырса,  онда  Е  жиыны  сызықтық  кеңістік деп  аталады.  Е  жиындағы  элементтерді 
нақты  немесе  компллекс  сандарға  көбейтуге  байланысты  оны  накты  немесе 
комплексті сызықты кеңістіктер деп ажыратады.
Мысалдар.
1.  Е"  жиыны  векторларды  қосу  жэне  оларды  нақты  сандарға  көбейту  амап- 
дарына қатысты сызықты кеңістік болады.
2.  С[а,Ь]  үзіліссіз функциялар жиыны функцияларды косу жэне оларды нак­
ты сандарға көбейту амалдарына қатысты сызықтық кеңістік болады.
Егер  Е  жиыны:
1) Сызықгық кеңістік болса;
2)  Vx е Е  үшін  белгілі  бір  заңмен  сол  х  элементінің  нормасы  деп  аталатын 
||х||  оң сан сәйкес келіп, жэне мына шарттарды аксиомаларды:
10.  ||х|| > 0,  ||х|| = 0   х = Ө  (тепе-тендік аксиомасы);
20.  \\Лх\\ = \Л\ • ||х||  (біртектілік аксиомасы);
30.  ||х + ү|| < ||х|| + \\у\\  (үшбұрыштар аксиомасы) қанағаттандырса, онда  Е п -ні
сызықтық  нормаланған  кеңістік  деп  атайды.  Сызықтық  нормаланған  кеңістікте 
метриканы
р (х ,ү ) = ||х-у|| 
(10)
теңдігімен  анықтауға  болады.  Міне,  осы  теңдікпен  анықталған  арақашықтық  жо- 
ғарыдағы  метриканың  барлық  аксиомаларын  қанағаттандыратынына  көз  жеткізу- 
ге болады.  х - Ө  = х  болғандықтан, (10) өрнегінен  ||х|| = ||х- Ө\ = р{х,Ө).
Демек,  кез  келген  элементтің  нормасы  деп  сол  элементтің  нөлдік  элементіне 
дейінгі қашықтығына тең шаманы алуға болады.
{х„}  тізбегі  үшін  \\хп — 
jc
0|| —►
 0,  «->оо  шарты  орындалса,  онда  {х„}  тізбегі  х0
нүктесіне  норма  бойынша  жинақты  деп  аталады,  яғни  lim хп  — х0.  Егер  сызықтық
нормаланған кеңістік норма бойынша жинацты жэне толық болса, оны банахтың 
кеңістік немесе В типтегі кеңістік деп атайды.
Мысалдар.  1.  Элементтерді  қосу  жэне  санға  көбейту  операциялары  анықтал-
ған  сызықгық  векторлық  R" кеңістігін  ||x|| = ^Z^2j 2  нормасымен  В  типтегі  кеңіс-
екке 
айналдыруға болады, мүнда  х — (х,, х2,..., 
хп)
.
2.  Егер  C[a,b\ жиынында норманны
19

II x ||= max  I x(/)
a
түрінде анықтасақ,  В  типтегі кеңістік алуға болады.
і
г 
і 
( ь
3.  L2[a,b\  кеңістігінде  ||х ||=   \ x 2(t)dt
\о 
у
нормасымен  В  типтегі кеңістік болады.
4.  [a,b\  сегментінде үзіліссіз  х (0   функцияларынан түзілген 
тікті  қарастырайық.  Бұл кеңістікті
сызықтык кеңіс-
||x ||= f |x ( O I ^  
( П )
a
нормалы  кеңістік  етіп  алуға  болады.  Ол  кеңістікті  С,|я,б]  деп  белгілейік. 
толық кеңістік емес.  Мысалы,
*„(0 =
1,
0 
1
2'
n - \ - 2 n t ,   — < /<
0,
( п
v2 y
+
2 п
' П
(  1  3
+
UJ
у2 п,
V 
у 

үзіліссіз функциялары тізбегі ( 11) формасы бойынша үзілісті
х(/) =
1,  о < / < ^ ,
0,  1 < г <1
функциясына  жинақты.  Міне,  бұл  мысалдан  біз  {х„(/)}  тізбегі  С,[я,б]  класында 
іргелі  тізбек,  бірақ  С, [a,b]  оның  шегі  жоқ  (себебі  ол  тізбек  үзілісті  функцияға 
жинақгы), яғни ол толық емес.

жүктеу/скачать 10,43 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: