Курсы оқу құралы
§ 8.4. Интегралдық теқдеудің резольвентасы
жүктеу/скачать 10,43 Mb. Pdf көрінісі
|
| § 8.4. Интегралдық теқдеудің резольвентасы
Көп жағдайда мынадай интегралдық тендеу: х <р(х) = / М + (155) 155 Я сан параметрінің эртүрлі мэндері үшін тендеулер жиынтығын түзеді. Айталық, (155) тендеудегі Л параметрін тұрақты жэне нөлінші жуық шешімі <р0(х)= = / ( х ) деп алып, теңдеуді тізбектей жуықтап шешу эдісімен шешейік. Онда: (рх{х) = f { x ) + Я{ K ( x , s ) f ( s ) d s = / ( х ) + Aj К х (x , s ) f ( s ) d s , и а мұнда (x,s) — K ( x , s ) , (р2( х ) ~ f { x ) + A j K { x , s ) f { s ) d s + A1 2j K ( x , A ' j K x( t , s ) f { s ) d s dt = a a \ a J = / ( * ) + Aj K ,( x , s ) f ( s ) d s +A2j ( j = + a a \ a J x x + Aj K x (x, s ) f (s)ds + A2 J K 2 (x, s )/ (s)ds. n a x K 2(x,s) = j K ( x , t ) K ](t,s)dt,... . s Жалпы жағдайда: (*) = f i x ) + X Л1 j К . (x, s ) f ( s ) d s , n = 0,1,2,... j = 1 a мұндағы, x К , (x, s) = J К (x, t ) K j , (t, s)dt, j = 1,2,.... a Егер K ( x , s ) өзегі үзіліссіз функция болса, онда /?( х ,5;Я) = ^ Я 7"'А:/ ( х ,5) (156) (157) (158) қатары А параметрінің кез келген тұрақты мэні үшін /?(х,я;Я) функциясына жинақталады ( х е [ я ,б ] жоне х е [ я ,х ] - қ а салыстырғанда бірқалыпты). Сонымен (157) қатары п —» оо жағдайда л (р{х) = / ( х ) + Я{ /?(х,$;Я )/(,у)А (159) өрнегіне айналады, ал бұл жоғарыдағы (155) интегралдық теңдеуінің шешімі болады. Мысалы. K ( x , s ) = x өзегінің Л(х,^,Я) резольвентасын түзіп, мына 1 (р{х) = х — f x 2 а интегралдық тендеуін шешейік. 156 Жоғарыдағы (157) рекурент өрнегінен: K , ( x , s ) = x, х х К 2 (х, s) - J К (х, t ) Kt (t , s)ds = J xtdt = x x - s t 2 - s 2 Л ^(х,5) = \ x t ■----- —dt = x ■ І 2 2 ! 1 K j (x,s) = — 1 ( 2 2 \ J X - S -1 (7-1)! , j = 1,2,.... Бұл өзеістерді (158) қатарына қойсақ, R{x,s,X) = x V — -— м 0 - 1)! { 2 2 У X — S — xe Демек, берілген интегралдық теңдеудің шешімін (159) формула бойынша тапсақ, онда sds. Жауабы. <р(х) = хе 4 . 1. Мына берілген өзектердің резольвенталарын табыңыз: 4.1. /:(х,5) = 1. 4.2. ЛГ(х,5) = 5. 4.3. K ( x , s ) = х 2. 4.4. ЛГ(х,5) = х5. 4.5. K ( x , s ) = xs2. 4.6. K ( x , s ) = ex 5. 4.7. K ( x , s ) = r hx~chs. \ + х 2 4.8. K ( x , s ) = -— г . 1 + 5 52- 5 + 1 4.9. K ( x , s ) = —-----— х — х +1 4.10. K ( x , s ) = ~ . 2. Мына интегралдық тендеулерді резольвенаталары арқылы шешщіз: х 4.11. 0 4.12. о 157 4.13. (p(x) = sin x + 2jV' '(p(s)ds. X 4.14. (p(x) = chx + 4.15. ^(x) = — 1[— 1 + X 0 c/?x c/j.V (p(s)ds. § 8.5. Үйірткі типіндегі Вольтерраның 2-текті интегралдық теңдеуі және оны Лапластың интегралдық түрлендіру әдісімен шешу Мына (р(х) = f ( x ) + I K(x,s)(p(s)ds (160) a Вольтерраның 2-текті интегралдық теңдеуінің өзегі K( x, s ) = K ( x - s ) түрінде, яғни аргументтерінің айырымымен берілген болса, онда мұндай тендеуді көбейту типіндегі тендеу деп атайды. Егер (160) теңдеудегі а саны шектелген болса, оны ыңғайлы болу үшін а = 0 деп алуға болады. Бұл (160) тендеуді шешу үшін Лапластың интегралдык түрлен- діруін пайдаланамыз. Айталық, f ( x ) пен К (и ) функциялары интегралдық түрлендірудің түпнұска- сы болсын. Бұл жағдайда (160) тендеудегі ср(х) функциясы да түпнусқа болады. Ендеше (160) интегралдық теңдеуінің екі жағына да Лаплас түрлендіруін қолдансақ, Ү(р) = Ғ( р) + К( р) Ү( р) өрнегін аламыз. Бұдан Ү(Р) П р ) \ - К { р ) (161) Соңғы (161) өрнегінен Лапластың кері түрлендіру одісін пайдаланып, (160) тендеуінің шешімін табамыз. Мысал. Мына \ <р(х) = 1 + 1 с һ ( х - s )< p (s )d s 0 Вольтерраның 2-текті интегралдық тендеуін Лапластың интегралдық түрлендіру одісімен шешелік: 158 1-/7, chz — — - болғандықтан, берілген интегралдық теқдеуге Лапластық түрлен- діру мен көбейту теоремасын қолдансақ Ф(р) = - + -т— р(р) р Р -1 немесе яғни <РІР)- р р - U р <v{p) = — + Р~ V PJ 5 4 Бұл өрнектен Лапластың кері түрлендіруі бойынша , ч , 2 ^ , V5 <р(х) = 1 + — т=е z s h — х. yTs 2 Мына төмендегі берілген Вольтерраның 2-текті интегралдық тендеулерін Лапластың интегралдық түрлендіру әдісімен шешіңіз. х 5Л. (р(х) = ех - х - 1 - ^(p(s)ds. 0 2 * 5.2. <р(х) = — + |( х - s)(p(s)ds. 2 0 5.3. (р(х) = хе2х - 1 e2(x~s)q>{s)ds. 0 х 5.4. (р(х) = sinx + Jcos(x-.s)^(sys. о х 5.5. (р{х) = ех + Jsin(x-^)^(5)^. О х 5.6. (р{х) = s in x - ^sh(x~ s)(p(s)ds. О 5.7. (p(x) = — + X - \ { x - s ) 2(p(s)ds. 2 2 0 x 5.8. (p(x) = e2x + J(x - s)ex s(p{s)ds. 0 x 5.9. (p(x) = 1 + | cos(x - s)sin(x - s) 0 X 5.10. (p{x) = 1 + x cos x - sin x + J (x - 5) sin(x - s)(p(s)ds. 159 Кейбір жағдайда Вольтерраның 2-текті үйірткі типіндегі интегралдық тендеу- лерін алдымен тендеудің резольвентасын табу үшін Лаплас түрлендіруін колдана- ды, яғни интегралдық тендеудің өзегі K(x,s) = K ( x - s ) болғандықтан, (160) тең- деудің / a = 0 үшін/ х <р(х) = f{x) + I K(x,s) a шешімін х <р(х) = f{x) + |/?(дг - s)f{s)ds (162) a түрінде жазуға болады, мұндағы, R (x -s ) = R(x,s;A), ал R(x,s-,l) болса, K(x,s) = А:(х- ^)өзектің резольвентасы болады. (160) жэне (162) тендеулердің екі жағына да Лаплас түрлендіруін қолдансақ, онда Ф(р) = Ң р ) + К(р) р(р) , <р(р) = Ғ( р) + R( p) F( p) өрнектерін аламыз. Бұдан Ғ(Р) К{р) \ - к ( р У (163) Бұл теңдеуге Лапластың кері түрлендіруін қолданып, R(x - s) резольвентаны анықтаймыз, яғни (160) тендеуінің шешімін (162) түрінде табамыз. Мына интегралдық тендеулердің өзектеріне Лаплас түрлендіруін қолданып шешіңіз: х 5.11. (р(х) = 1 + j e S)(p(s)ds. о I * 5.12. (р{х) = 2 + — [ (х - sf(p{s)ds. 6 о д: 5.13. ср{х) - е t + f e ' (JC S)s\nix-s)(p{s)ds. о X X 5.14. (р{х) = е 2 + J ( l - e ”(Jr S))p(s)ds. х I V5 5.15. (p{x) = 1 + £ e 2 cos — ( x - s)(p(s)ds § 8.6. Вольтерраның 1-текті интегралдық теңдеулері және оларды шешу тәсілдері Біз жоғарыда х J К (х, s) (164) о 160 өрнегі Вольтерраның 1-текті интегралдық тендеуі екенін келтіргенбіз. Мұндағы, <р{х) - белгісіз функция, ал K{x,s) пен f { x ) - белгілі функциялар. Егер (164) тендеудегі K(x, s) өзекпен f ( x ) бос мүшесінің K'x( x, s) , / ' ( х ) туын- дылары [a,b\ кесіндісінде үзіліссіз жоне сол кесіндіде А'(х,х)*0 болса, онда (164) теңдеуін х айнымалысы бойынша дифференциалдап, Вольтер-раның 2-текті инте- гралдық тендеуіне келтіруге болады, яғни Бұдан К( х, х} р( х) + \ ^K [X'S\ (s)ds = f'(x). J дх a р(х) = f \ x ) , /с(х,х) 1 _J__ К(х, х) dK(x, s) дх Вольтерраның 2-текті интегралдық теңдеуі алынды. Мұндай теңдеулерді жо- ғарыда келтірілген одістермен шеше аламыз. Енді осыған нақты мысалдар келтірейік: 1-мысал. Мына х | ( 2 + х 2 - s 2 \ { s ) d s = х 2 Вольтерраның 1-текті интегралдық тендеуін шешейік. Бұл тендеуді х айнымалысы бойынша дифференциалдасақ, х 2 <р(х) + J 2 x(p(s)ds = 2х a немесе х ф (х ) = х - J xcp(s)ds. a х Біз 2-текті интегралдық тендеуін алдық. Мұндағы, и(х) = \ десек, онда a немесе (р{х) = х - хи(х),и'(х) = (р{х) => г /(х ) = х(1 - и(х)) и'(х) + и(х) • х = х , м (0) = 0. Соңғы есептің шешімі и(х) = 1 -е 2 , демек, (р{х) = хе 2. 2-мысал. Мына 161 I ex ' о үйірткі түріндегі Вольтерраның 1-текті интегралдық теңдеуін шешу үшін Лапластын түрлендіруін қолданамыз: 1 , 1 1 1 , ----- 7<РІР) = — ^ ------- j + 1-Х. Р - 1 Р Р Р Демек, тендеудің шешімі (p{s) = 1 - X. Ескерту. Егер Вольтерраның 1-текті интегралдық теңдеуіндегі өзегі К(х,х) = 0 болса,онда соңғы өзекті тағы да дифференциалдап нэтижесінде жаңадан пайда болған тендеудің өзегі s = x мэнінде нөл болмаса, онда біз 2-текті интегралдық тендеуге келеміз. Кейбір жағдайда қажет болса осы үдерісті қайталау керек. Мына төменде берілген Вольтерраның 1-текті интегралдық теңдеулерін 2- текті теңдеуге келтіріп шешіңіз: д: 6.1. ^{х - s)(p(s)ds = ех - х - \ . 0 х 2 6.2. I ех '(p(s)ds = — . о 2 X 6.3. |з* s(p{s)ds = х. о X 6.4. |sin(jc - s)(p{s)ds = 1 - cosx. 0 X 6.5. ^sh(x - s)(p{s)ds = shx - x. 0 X 6.6. j(jt-.v)2^(sVs = x \ 0 x 6.7. j(jt-.s:)2^(s)ds = X3 +X2. о X • f < о * Г2 6.9. J ( 1 - jc 2 + s 2)(p(s)ds = — 0 2 \ + x - s)(p(s)ds = -^e x sin л:. JT 6.10. I(2.v - x)(p(s)ds = x} - 1. 0 А л мына 1 -текті үйірткі түріндегі тендеулерді Лапластың түрлендіруін қол- данып шешіңіз: 162 .2 * 2 ' 6.11. J(x - s)(p(s)ds = c h x - 1. 0 X 1 6.12. Jsin(x - = — X4. 0 2 X 6.13. J cos(x — s) = xsin x. 0 X 6.14. J.s/?(x-.s) о X 6.15. j e x s cos(x - s)(p(s)ds = xex . о X 6.16. Jcos(x- s)(p{s)ds = sinx, жауабы: ^(x) = l. о X 6.17. J e x~* = shx, жауабы: ^(x) = e x. 0 x 2_ ^ j ^ 6.18. \ ( x - s)1 жауабы: — x. І 4 X 6.19. j e 2(x ) = sinx, жауабы: #>(x) = cosx-2sinx. 0 X 6.20. j 'ex x = x 2 , жауабы: #>(x) = 2 x -x 2. x А бел ь дің и н теграл ды қ теңдеуі j p ! L .dt = /(x), І л і х - t an А б ел ь д ің ж алп ы лам а тең ц еуі: x \ ( x - t ) a dt = / (x), 0 < a < 1. • Ескерт у. А бел ь т е в д е у ін 2-ти п к е к ел тір уге болм ай ды . А б ел ь т е н д е у ін ш еш у ү ш ін м ы надай э д іс қолданы лады . А б ел ь тең д еу ін ің ек і ж а ғ ы и -------— — к ө б ей т іп , 5 айны малы бой ы н ш а 0 -д е н х -ке д ей ін интегралдасақ: ( х - 5 ) I - а l ( x - s ) ' aJ0 ( s - O a i ( x - s ) ] a m н е м е с е 163 л л \ ds \ , — Ь > ( x - st ° ( s - t y y J ( i - i ) '- " Бұған мына теңдікті пайдалансақ, і 1 ds л ' ( x - s ) 1 a( s - t ) a s i n а л ' онда f ( s ) л i ( x - s ) ' a ( x - s ) ]a ds. Енді jc бойынша дифференциалдаймыз, сонда . ч sin а л d } f ( s ) , sin а л - ------------ r j • ds л d x \ A x - s) vl-OT л m , r /'(x ) " i (x i ( x - s ) l-a ds Мысалы, мынадай түрдегі теңдеулер д J (X - t)P(p{t)dt = / ( х), р > - \ (165) Абель теңдеуіне келеді. Егер мұндағы, /? > 0 болса, онда тендеудің екі жағын да дифференциалдап, Абель теңдеуін алуға болады. х р \ { х - і ү > (о <и=/\х). О х P ( P - \ ) \ ( x - t f > (')< * = / ' W ....... 1 -мысал. X j ( x - О 2 5 (p{t)dt = X x \ теңдеуін үш рет дифференциалдасақ: д (2 ,5 )J (х - t ) ' 5(p(t)dt = 3 ,7 х 2-7, (2 ,5 )( 1 ,5 )| (х - t)05 (3 ,7 ) ( 2 ,7 ) х 1-7, 164 (2 ,5)(1,5 )(0 ,5 )J ( x - 1) 0 5(p(t)dt = (3 ,7 ) (2 ,7 )(l,7 ) x 0,7 0 нотижесінде Абель теңдеуіне келеміз. • Ескерту. (165) теңдеуге жоғарыдағы әдісті қолдануға болады. Ол үшін оған (х - s y (/ j > - \ )-ді көбейту керек. Мы на f (х - ,v)"(.v - о “ds = Г ( 1 + 1)Г(// + І) о П / 3 + Р + 2) теңдікті жэне д санын /3 + /л + 1 = я > 0 натурал санынатең болатындай тандайды. Мына теңдеулерді Лаплас түрлендіруін пайдаланып шешіңіз: ■ п 6.16. J ( X - s ) -ds = е х - 1, (р(х ) = ----- I 6.17. J sin sin n I n f e* ° ( x - s V ds - - - - - 2 ds = c o s x - 1 , 0 (x - s)^ n sinx (■x - s ) ds Ф ') x - s . n sin 6 Л 8 . [ I ds = V x - x , (p{x) = ------- i y / x - S n X 1 ( 1 1 ds 2 sfs ' \ ( x - s ) 2 ) X J J 6Л9. J ( x - sYcp(s)ds = x 1 + 3 x 2. 0 x 3 6.20. J(x - s ) 2(p(s)ds = x3 + 2x. 0 x 3 6.21. J(x - s ) 2 (p{s)ds = x5 + 2x2. 0 * 5 , 6 . 2 2 . ^(x - s ) 2(p{s)ds = — x4 + x 3. 0 жүктеу/скачать 10,43 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|