Курсы оқу құралы
жүктеу/скачать 10,43 Mb. Pdf көрінісі
|
| j
~] интегралдық тендеудің шешімі <р(х) = Х £ z , ./>(*) / = І функциясы түрінде жазылады, мұндағы, S = (Z ,,Z 2,...,Z„)r (Е -Л Л )5 = 0 тендеудің шешімі болады, an A = (о,Д b Pi = \ q i(x)Pi(x)dx, i j = 1,2, n. 1-мысал. I (p{x) - Л \ (xs - 2x 2)q>(s)ds = 0 о 174 теңдеудің сипаттаушы саны мен меншікті функциясын аныктайық. K ( x , s ) = - xs - 2 х 2 - қарапайым өзек. Ал А ( х ) ~ х> = —2х2, Q](s ) = si = 1 Деп алып, А матрицасының элементтерін анықтаймыз. Олай болса. d e t (A - juE) /' + 0. Мұндағы, /j - бір ғана А матрицасының меншікті саны. Бұған сойкес келетін меншікті векторларды ' 1 n ( . 1) 2 2 ( ZA f°l А + - Е s = — V 6 J 1 1 ,0, J ~ 2 y тендеу жүйесінен анықтаймыз: Z, = С , Z 2 = С. Олай болса, Z = — = -6, ал оған сэйкес келетін меншікті функция И (р(х) = - 6 (Z ,x - 2 Z 2 x 2) = С ( х - 2 х 2), мұндағы, С - кез келген тұрақты шама. Ескерту. Кейбір жағдайларда (егер интегралдық тендеу Вольтерра түріндегі немесе өзегі қарапайым интегралдық теңдеу, яғни (188) теқцеуіндегі A матрицасы нөлдік матрица болса) интегралдық теңдеудің сипаттаушы саны болмайды. 2-мысал. Мына п (р(х) - Я |x C O S 5 ^ ( 5 )t/5 = 0 -к интегралдық тендеулердің сипаттаушы саны мен меншікті функциясын табайық: 175 бұдан л (р{х) - Axz = 0, z = J c o s s(p{s)ds, - л л (p{z) - Az I x c o s xdx = 0. - Л Л Мұнда, I x co s xdx = 0 болғандықтан, A санының кез келген мэні үшін бұл тендеудің жалғыз ғана z = 0 шешімі болады. Демек, кез келген А үшін берілген интегралдық тендеудің тек нөлдік шешімі болады, яғни сипаттаушы саны болмайды. Мына төменде берілген өзегі қарапайым интегралдық тендеулердің сипаттау шы мондері мен меншікті функцияларын табыңыз: I 3.1. <р(х) - я | ( 1 + 2x)s(p(s)ds = 9. 0 1 3.2. ^ (x )-/lj(l - x2)(p(s)ds = 0. 0 I 3.3. (p(x) - Aj\x\(p(s)ds - 0. -I К 3.4. /l|xsin.9^(.?)(iy = 0. () Л 3.5. ^( t I - A J cosxcos ^ ^ ^ ) ^ = 0. 0 I 3.6. (p(x) - a | ( x + s)(p(s)ds = 0. 0 I 3.7. (p{x) - A j (xe' + 2s)(p(s)ds = 0. 0 I I 3.8. (p(x) - A 1 (xsin 2лх----- )cp(s)ds = 0. J 2 n 0 Л 3.9. (p(x) - 2|sin(x + s) = 0. 0 Л 3.10. (p{ jc ) - A j cos ( jc - s)cp{s)ds - 0. 0 § 9.4. Фредгольм теоремалары Фредгольмнің 2-текті интегралдық тендеуінің һ <р(х) - Aj K(x,s)(p(s)ds = / ( jc ) a (190) 176 өзегі жэне бос мүшесі K ( x , s ) , f ( x ) е L2[a,b\ болса, онда төмендегі тұжырымдар орынды. 1° Фредгольм теңдеуінің санақты жиыннан артық сипаттаушы сандары бол- майды, олар тек шексіздікте шоғырланады. 2°. Егер л сипаттаушы сан болмаса, онда берілген интегралдық тендеумен оған түйіндес теңдеулер кез келген бос мүше үшін әркайсысы бірмэнді шешіледі. Ал бүлардың сэйкес біртекті теңдеулерінің тек нөл шешімдері болады. 3°. Егер Л сипаттаушы сан болса, онда біртекті интегралдық тендеу нөлге тең немесе тең ақырлы санды шешімдері болады. 4". Егер Л сипаттаушы сан болса, онда біртексіз интегралдық тендеу шешілуі үшін бос мүшенің сәйкес біртекті түйіндес теңдеудің барлық шешімдеріне орто- гонал болуы қажетті жэне жеткілікті Мысал. Мына тендеудің шешімдерінің Л параметрге тәуелділік жағдайларын зерттейік. Бұл тең- деуді шешу үшін алдымен, /г (191) (Е - ЛА)Б - Ғ (192) теңдеулер жүйесін шешуіміз қажет, мұндағы, b а Бұл тендеу бойынша Ң(х) = х 2, Р2(х) = х, q,(s) = cos 5, q2(s) = sins; п к -7Г - п п к - п - п Бұдан (192) тендеулер жүйесі \ - 4пЛ 0 Ү z ,) ( к 0 1 + 2лЛ\ z 2J (193) түрінде жазылады. 177 Мы на d e t ( £ - ЛА) = (1 + 2тгЛ)(1 - 4пЛ) = О сипаттамалық тендеудің л, = — , Л2 = — — түбірлері берілген интегралдық тендеу- 4 л 2 л дің сэйкес біртекті тендеуінің сипаттаушы сандары. Демек, кез келген Я, * у —, 4 к Л2 * —— сандары үшін (193) теңдеулер жүйесінің 2л л '■ 1 -4 лЯ ’ 2 , z 2 = О жалғыз шешімі болады, ал бұларға сэйкес келетін (191) теңдеудің шешімі / ч 1 1 1 1 <р(х) = co s х н-------------, Л * — , Л * --------. 1 - 4лЛ 4 л 2л Ал Л = Л] = — болғанда, (193) жүйесін 4л ' 0 0 " \ ( Л 2 = 0 - о 4 Z 2 y V 3 у түрінде жазамыз. Бұл жэне осыған сэйкес келетін интегралдық теңдеудің шешімі болмайды. Ал Л = Л] = —— жағдайда, (193) жүйесі 2 л '3 0' V ' л л v0 Oj түрінде жазылады. Бұл жүйенің шешімдері z, = у , z 2 = С жэне оған сэйкес келетін теңдеудің шешімі ^ ( x ) = cosjc + A2( z , jc 2 + z 2x) = cosjc - — JC2 + Cv. 6 Мына төмендегі өзектері қарапайым теңдеулерді Л параметрлерінің эртүрлі мэндерінде зерттеңіз: і 4 .1 . (р{х) - Л \ jc (1 + s) о 178 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. 4.9. 4.10. (p(x) - A.^xcp(s)ds = sin 2 лх. 0 2x) = 1 -----x. 0 ^ 1 cp(x) - Л j x s i n 2s ■ (p(s)ds - x. 0 n 4 (p{x) - Л J tgs = c/gx. ^ ( x ) - Л j arccosx< p(s)c/s = , ^ 0 V I - x 2 n (p{x) - / i j s i n XCOS S(p{s)ds = c o s x . 0 1 ^ ( x ) - / t j ( l + xs) = sin лх. -i f • 3 #>(x) - Л I (x + s)(p(s)ds = — + —x. -i 2 2 к (p(x) - Л j c o s ( x + s)(p{s)ds = 1. § 9.5. Симметриялық өзекті Фредгольмнің 2-текті интегралдық тендеулері I. Егер Фредгольмнің интегралдық теңдеуінің K(x,s) өзегі K(x,s) = K(s,x), Vx,s е [a,b] (194) шартын қанағаттандыратын болса, ондай тендеуді симметриялық деп айтады. Симметриялық өзекті Фрегольмнің интегралдық теңдеуі үшін жоғарыдағы 9.4 параграфта келтірілген 1° — 4° қасиеттермен қатар мына екі тұжырым да орынды. 1. Нөлге тең болмаған симметриялық өзекті интегралдық теңдеудің ең болмағанда бір сипаттаушы саны болады. 2. Симметриялық өзектің сипаттаушы сандары нақты сандар, ал түрліше сипаттаушы сандарға сойкес келетін меншікті функциялары ортогонал болады. Қолданбалы есептерде симметриялық өзекті интегралдық теңдеулер кэдімгі дифференциалдық тендеулер үшін біртекті түйіндес шеттік есептердің шешімі ретінде кездеседі. Бұл жағдайда интегралдық теңдеудің сипаттаушы сандары мен меншікті функцияларын табу мэселесі жоғарыда айтқан дифференциалдық теңдеу үшін шеттік есепті шешуге келтіріледі. Мысалы. 179 Js(x + 1), 0 < x < s <\, K(x,s) = ( [ ( s + l)jC, 0 < S < X < 1 (195) симметриялық өзектің сипаттаушы сандары мен меншікті функцияларын анык- тайық. Берілген өзекті біртекті і (р(х) - я | K{x,s)(p{s)ds = 0 (196) 0 интегралдық теңдеуін (р(х) = Л х і * j (.V + 1 )(p{s)ds + ( jc + l ) j scp(s)ds V о түрде жазайық. Енді осы өрнекті екі рет дифференциалдап, (197) (р\х) = Л X | ( 5 + 1 )(p(s)ds + х(х + \0 I \ l)^(x) +Js^s)cfa-(jt+l).X^(jc) , ) (198) (р”{х) = Д((.ү + 1)<р(.ү) - х(р(х)) = Л(р{х) (199) өрнектерін аламыз. Бұлардан Л саны мен белгісіз <р(х) функциясы ср\х) - Л(р{х ) = 0 (200) теңдеуін қанағаттандыратыны шығады. Енді (р{х) функциясы үшін шекаралық шарттарын қарастыралық. Ол үшін (197), (198) өрнектерінің х - 0 жоне х - \ болған кездегі мондерін есептейік: і і #>( 0 ) = Л ^ ф ^ ^ я , (р( 1 ) = л \ (s + 1 ). ү ^ ( л ) с /. 9 , о 0 I I (р'(0) = <р'(1) = Я | (s + l)s о о Бұдан (р{х) функциясының шекаралық шарттары Ф ) = <Р'(0\ <Р(\) = ^О). (201) Сонымен интегралдық теңдеудің сипаттаушы сандары мен меншікті функ цияларын табу мэселесі (200), (201) шекаралық есептің сипаттаушы сандары мен меншікті функцияларын табу есебіне келді. Төмендегі үш жағдайдың эрқайсысын жеке-жеке қарастырайық. 180 1) 2 = 0 болсын. Бұл жағдайда (200) теңдеуі <р" = 0 түрінде жазылады, ал оның жалпы шешімі <р{х) = С, + С 2х (202) болады. Енді осы шешімге (201) шекаралық шарттарын пайдаланып С,=С2 - 0 болатынын анықтаймыз. Сонымен, бұл жағдайда, яғни я = 0 болса, онда ср(х) = 0. 2) Я = со2 > 0 болсын. Бұл жағдайда (200) теңдеуі (р"{х) - со'ср(х) - 0 түрінде жазылады да, оның жалпы шешімі <р( х) = Схе,ох + С2е~ш болады. Бұл шешімге (201) шекаралық шарттарын пайдаланып, С, мен С, белгісіз коэффициенттерін анықтайтын СО 1 + со Үс, ) со ^ со - t o . , ^ - t о е - сое е + сое ,'оЗ ,0, (203) тендеулер жүйесін аламыз. Бұл жүйенің нөлге тең емес шешімі болуы үшін тек қана 1 - со 1 + со e w - соеш е~ю + сое~ш -2 (1 - со1)shoo = 0 болуы қажет, яғни со = ±1 немесе Л = со2 = 1. Бұдан со = 1 үшін (203) тендеулер жүйесінен "0 2 N А " А А " 2 = => = 0 - *4^2 у Л S '! У A V е J аламыз, демек, ср(х) = Схе х, мұндағы, С, - const. Дол осылай со = -1 болғанда 2 0 N A " A А ' ' 0 N 2 = => = - 0 А г у А г у a J \ е / ендеше, ср{х) = С2е х , мұндағы, С2 = const. 181 Сонымен А = со2 > 0 үшін кез келген меншікті функциясы <р(х) = С,ех + С2е х өрнегімен анықталады. 3) А = -со2 < 0 болсын. Бұл жағдайда (200) тендеуі (р"{х) + со1 ср(х) = 0 түрінде жазылады да, оның жалпы шешімі ср(х ) = С, co s сох + С , sin сох болады. (201) шекаралық шарттарын пайдаланып, С,, С 2 белгісіз коэффициент- терін анықтау үшін f 1 ,( - 1 )" - П 7 Г - П 7 Г ( - \ ) П Үс 0 > V^2y ,0, (204) теңдеулер жүйесіне келеміз. Бүл теңдеулер жүйесінің со2 sin со = 0, яғни соп = 7т,х\ = ±1,±2,... немесе Лп - —со] = - ( r n f ,п е N болғанда, (204) жүйесінен (\ - п п — П7г(— і)" Л с А *; Л теңдеулер жүйесін аламыз. Бүдан С, =тт,С2 = С жэне ср(х) = С (тт cos тп + С2 sin плх), мұндағы, с = const. Сонымен, бұл жағдайда Ап = - ( п л ) 2,п е N сипаттаушы сандарға срп (х) = тт cos ттх + sin лпх, n е N меншікті функциялары сәйкес келеді. Осы қарастырылған үш жағдайларды былай қорытындылауға болады: берілген симметриялық өзектің сипаттаушы сандары мен меншікті функцияларын табу мәселесінің шешімі Л) — ф()\ ^ ’ Фо2 ^ > Лп = -(п7г) , срп (дг) = 7tn cos ттх + sin ттх, n e N болады. Мына симметриялық өзекті интегралдық теңдеулерді кодімгі дифферен- циалдық теңдеу үшін біртекті шеттік есептерге келтіру жолымен сипаттаушы сандар мен меншікті функцияларын табыңыз: 182 5.1. K( x, s ) 5.2. K( x, s ) 5.3. K( x , s ) 5.4. /^(x,.?) j(.V-l)x, 0 < X < .9, j.v(x-l), S 0 < x < s, \ - S , S s, j-.V-l, S 0 S COSX, S < X < Л". 5.5. A^x,,?) — e ' chx , - chse \ 0 < x < s, s < x < 2. 5.6. A ^(x,^) = ^ s i n I x - s I, 0 < x < ,v < n. I. Егер симметриялық өзекті біртекті емес п (р(х) - я | K(x,s)(p{s)ds = / ( х ) (205) интегралдық тендеуі беріліп, оның өзегі |||АГ(х,у)| dxds a a < +00 шартын қанағаттандырса, онда бұл теңдеуді төмендегіше зерттеуге болады. Мына Лп,... (206) сандары K(x,s) өзегін сипаттаушы сандар тізбегі, ал <Р\{х\ (р2{х),...(рп{х),... (207) сол сандарға сэйкес келетін меншікті функциялары болсын. Егер (205) теңдеудегі Я параметрі сол теңдеудің сипаттаушы Лп, п = 1,2,... сан- дарының ешқайсысымен сәйкес келмесе, онда ол теңдеудің шешімі жоғарыдағы 3°- Фредгольм теоремасы бойынша жалғыз шешімі бар жэне ол тендеу барлық / (х) үшін шешіледі (р(х) = /(* ) + я £ < р(х) (208) өрнекпен анықталады, мұндағы, f n = f f ( x )Pn(x )‘b> п = 1,2,... , (209) 183 Ал егер Л параметрі эйтеуір бір г рангілі сипаттаушы санға сэйкес келсе, Я Ғ Н И ^ = Аи + 1 = К + 2 ••• = К + г болса, онда (205) тендеудің шешімі сол г рангілі меншікті функциялар / (х) функ- цияға ортогонал болған жағдайда, яғни ь ^ f {x)(pn{ x ) d x - 0 , n = m + \, m + 2,...,m + r ( 2 1 0 ) a шарттар орынды болғанда ғана болады. Бұл жағдайда (205) теңдеудің шексіз көп шешімі: (р(х) = / ( х ) + Л £ ■ j ^ ^ n(x) + Cl(pm+l(x) + C2ipm+2 (х) + ... + Сг<рт+г(х) n t т + \ ,...,т + г ^ өрнегімен анықталады, мұндағы, С , , С ,,...,С Г тұрақты шамалар. Мысал, өзегі болатын ^ (х ,^ ) = f c o s s s i n x , 0 < Х < 5 , [ s i n ^ C O S X , S < Х < 7 Г ( 211 ) п (р{х) - K( x, s)ds 0 ( 212 ) интегралдық тендеудің Л параметрінің эртүрлі мәндері үшін барлық шешімдерін табайық. 5.4-есебі бойынша (211) өзектің сипаттаушы сандары мен меншікті функциялары / ч . 2п +1 л , _ , <р„(х) = sin х, w = 0,1,2,... Л = - 1 + 2 п +1 болады, мұндағы, эрбір сипаттаушы сандар г = 1 рангілі, ал меншікті функциялар тізбегі өзара [о,л-] кесіндіде ортогонал, бірақ нормаланбаған. Ал нормаланган меншікті функциялар 2 . 2w + l <Рп (*) = J - sin— — х, п = 0,1,2,... V к 2 жогарыдағы (212) өрнегі бойынша /(* ) = ^ - sin ^ функциясы үшін 184 X f„ = J - - s i n - IJ—Sin 2 . 2 / 7 + 1 xdx = 0, n = 0, 2 1 к 2n +1 ,/7^0 түрінде жазылады; сонымен Я ф Я„, п = 0,1,2,... болғанда, (212) интеграпдық теңдеу- ДІҢ Л" X 1 (р(х) = ------ Sin----ЬЯ> ----- 4 2 Т І Л - Л 2/7 + 1 . 2/7 + 1 S i n ---- X 2 n - 0 • • 3 7Г JC Jt жалғыз шешімі, ал Я = Л0 = болғанда, f ( х ) = — - sin — фунісциясы sin — меншікті функцияға [o,/r] кесіндіде ортогонал болғандықтан <р(х) Л X . X --------sin---- 4 2 2 2 / 7 + 1 sin------ X 2 п(п + 1)(2/7 + 1) + Csin- түріндегі шексіз көп шешімдерінің жиыны болады, мұндағы, с - кез келген тұрақты шама. Ал Л = Лп, /7 = 1,2,... жағдайда теңдеудің шешімі болмайды. Мына біртекті емес симметриялдық өзекті интегралдық тендеудің Л пара- метрінің әртүрлі мэндеріне сәйкес келетін барлық шешімдерін табыңыз. і 5.7. <р(х)~ Л [ K(x,s) = 1, K( x , s ) = 0 1 л 5.8. ^ ( х ) - Я [ K(x,s)(p(s)ds = sin ;z x c o s —х, K( x, s ) = о 2 Г- х, 0 < х < s, \ - S , S < X < 1 . f(s-l)x, 0 (p{x)~ Л^К{х, х)(р{$№ = x - л, K ( x , s ) 0 fsinscosx, 0 5.11. я j (p(x) - я | —sin|x - s\(p{s)ds 2 (p(x) = Я J |x |^ ( x ) d ? + x 2. - 2 жүктеу/скачать 10,43 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|