Я. П. Сысак, ведущий научный сотрудник отдела алгебры и топологии Института математики нан украины

5.  решение линейных неравенств с одной переменной
41
5.53.
*
 Существует ли такое значение a, при котором любое число 
является решением неравенства (в случае утвердительного от-
вета укажите это значение):
1) ax > –1 – 7x; 
2)  (
)
?
a
x a
2
16
4
−
+
m
5.54.
*
 Для каждого значения a решите неравенство:
1) ax > 0; 
4) 2 (x – a) < ax – 4; 
2) ax < 1; 
5) (a – 2) x > a
2
 – 4; 
3)  ax a
l ;  
6)  (
)
.
a
x a
+
−
3
9
2
m
5.55.
*
 Для каждого значения a решите неравенство:
1) a
2
x m 0; 
3) (a + 4) x > 1.
2) a + x < 2 – ax; 
Упражнения Для пОвтОрения
5.56.
 Решите уравнение:
1) 6x – 5x
2
 = 0; 
3) 4x
2
 – 7x – 2 = 0; 
5) x
2
 + x – 12 = 0;
2) 25x
2
 = 81; 
4) 3x
2
 + 8x – 3 = 0; 
6) 2x
2
 + 6x + 7 = 0.
5.57. Известно, что m и n — последовательные целые числа. Какое 
из следующих утверждений всегда является верным:
1)  произведение mn больше, чем m;
2)  произведение mn больше, чем n;
3)  произведение mn является четным числом;
4)  произведение mn является нечетным числом?
5.58. Сравните значения выражений:
1)  3 98   и   4 72;  
3) 
1
6
108   и   6
1
12
.
2) 
1
2
68   и  
4
3
45;      
5.59. Чтобы наполнить бассейн водой через одну трубу, требуется 
в 1,5 раза больше времени, чем для того, чтобы наполнить его 
через вторую трубу. Если же открыть одновременно обе трубы, 
то бассейн наполнится за 6 ч. За сколько часов можно наполнить 
бассейн через каждую трубу отдельно?
УЧимся Делать нестанДартные шаги
5.60. Трехзначное число n таково, что числа n – 6, n – 7 и n – 8 кратны 
числам 7, 8 и 9 соответственно. Найдите число n.

§ 1.  НераВеНстВа
42
  6.
  системы линейных неравенств 
с одной переменной
Рассмотрим выражение  2
1
5
x
x
− +
− .  Найдем множество до-
пустимых значений переменной x, то есть все значения перемен-
ной x, при которых данное выражение имеет смысл. Это множество 
называют областью определения выражения.
Так как подкоренное выражение может принимать только не-
отрицательные  значения,  то  должны  одновременно  выполняться 
два неравенства:  2
1 0
x
− l  и  5
0
− x l . То есть искомые значения 
переменной x — это все общие решения указанных неравенств.
Если требуется найти все общие решения двух или нескольких 
неравенств, то говорят, что надо решить систему неравенств.
Как и систему уравнений, систему неравенств записывают с по-
мощью фигурной скобки. Так, для нахождения области определе-
ния выражения  2
1
5
x
x
− +
−  надо решить систему неравенств
 
2
1 0
5
0
x
x
−
−



l
l
,
.
 
(*)
О п р е д е л е н и е.
 
Решением  системы  неравенств  с  одной 
переменной
 называют значение переменной, которое обращает 
каждое неравенство системы в верное числовое неравенство.
Например, числа 2, 3, 4, 5 являются решениями системы (*), 
а число 7 не является ее решением.
О п р е д е л е н и е.
 
Р е ш и т ь   с и с т е м у   н е р а в е н с т в
  означает 
найти все ее решения или доказать, что решений нет.
Все решения системы неравенств образуют множество решений 
системы неравенств. Если система решений не имеет, то говорят, 
что множеством ее решений является пустое множество.
Таким  образом,  можно  сказать,  что 
решить  систему  нера-
венств означает найти множество ее решений.
Например, в задаче «решите систему неравенств 
0
1
0
x
x
l
l
−




,
» ответ 
будет таким: «множество действительных чисел».
Очевидно, что множество решений системы неравенств 
x
x
m
l
5
5
,



 
состоит из единственного числа 5.

6.  системы линейных неравенств  с одной переменной
43
Система неравенств 
x
x
>
<



5
5
,
 решений не имеет, то есть множе-
ством ее решений является пустое множество.
Решим систему (*). Преобразовав каждое неравенство системы 
в равносильное ему, получим: 
2
1
5
x
x
l
l
,
;
−
−



 
x
x
l
m
1
2
5
,
.




Множество  решений  последней  системы  состоит  из  всех  чи- 
сел, которые не меньше 
1
2
 и не больше 5, то есть из всех чисел, 
удовлетворяющих неравенству 
1
2
5
m m
x
.  Это множество является 
числовым промежутком, который обозначают так: 
1
2
5
;




 (читают: 
«промежуток от 
1
2
 до 5, включая 
1
2
 и 5»).
Ответ к задаче о нахождении области определения выражения 
2
1
5
x
x
− +
−   можно  записать  одним  из  способов: 
1
2
5
;




  или 
1
2
5
m m
x
.
Точки,  изображающие  решения  системы  (*),  расположены 
между точками  A
1
2



  и B (5), включая точки A и B (рис. 6.1). Они 
образуют отрезок.
5
B
A
1
2
5
1
2
Рис. 6.1
Рис. 6.2
Заметим, что все общие точки промежутков 
1
2
;
+




×
 и  (
; ]
−
×
5  
образуют промежуток 
1
2
5
;




 (рис. 6.2). Говорят, что промежуток 
1
2
5
;




 является пересечением промежутков 
1
2
;
+




×
 и  (
; ].
−
×
5  За-
писывают: 
1
2
1
2
5
5
;
(
; ]
;
.
+




−
= 



×
×


§ 1.  НераВеНстВа
44
Промежутки 
1
2
;
+




×
 и (
; ]
−
×
5  являются множествами решений 
соответственно неравенств  x l
1
2
 и  x m5.  Тогда можно сказать, что 
множество решений системы 
x
x
l
m
1
2
5
,




 является пересечением мно-
жеств решений каждого из неравенств, составляющих систему.
Следовательно, 
чтобы решить систему неравенств, надо най-
ти пересечение множеств решений неравенств, составляющих 
систему.
П р и м е р    1   
 Решите систему неравенств 
3
1
7
3 4
9
x
x
− > −
−
> −



,
.
Р е ш е н и е. Имеем: 
3
6
4
12
x
x
> −
−
> −



,
;
 
x
x
> −
<



2
3
,
.
С помощью координатной прямой найдем пересечение множеств 
решений неравенств данной системы, то есть пересечение проме-
жутков  (
; )
−
×
3  и  ( ;
)
− +
2
×
 (рис. 6.3). Искомое пересечение состоит 
из чисел, удовлетворяющих неравенству –2 < x < 3. Это множество 
является  числовым  промежутком,  который 
обозначают (–2; 3) (читают: «промежуток от 
–2 до 3»).
О т в е т  можно записать одним из спосо-
бов: (–2; 3) или –2 < x < 3. 
◄
П р и м е р    2   
 Решите систему неравенств 
4
3 1
3
5
x
x
− <
−



,
.
m
Р е ш е н и е. Имеем: 
4
4
2
x
x
<
−



,
;
m
 
x
x
<
−



1
2
,
.
l
С помощью координатной прямой найдем пересечение проме-
жутков  (
; )
−
×
1   и  [ ;
),
− +
2
×
  являющихся  множествами  решений 
неравенств данной системы (рис. 6.4). Искомое 
пересечение состоит из чисел, удовлетворяю-
щих  неравенству 
−
<
2
1
m x
.   Это  множество 
является  числовым  промежутком,  который 
обозначают [–2; 1) (читают: «промежуток от 
–2 до 1, включая –2»).
3
–2
Рис. 6.3
1
–2
Рис. 6.4

6.  системы линейных неравенств  с одной переменной
45
О т в е т   можно  записать  одним  из  способов:  [–2;  1)  или 
−
<
2
1
m x
.
 
◄
П р и м е р    3   
 Решите систему неравенств 
x
x
m1
2
,
.
> −



Множеством  решений  данной  системы  является  пересечение 
промежутков  (
; ]
−
×
1  и  ( ;
)
− +
2
×
 (рис. 6.5). Это пересечение явля-
ется числовым промежутком, который обозначают (–2; 1] (читают: 
«промежуток от –2 до 1, включая 1»).
О т в е т: (–2; 1]. 
◄
1
–2
1
–5
Рис. 6.5
Рис. 6.6
П р и м е р    4   
 Найдите область определения функции
  y
x
x
=
+
+
−
1
1
5.
Р е ш е н и е. Искомая область определения — это множество ре-
шений системы неравенств 
x
x
− >
+



1 0
5 0
,
.
l
 Имеем: 
x
x
>
−



1
5
,
.
l
Изобразим на координатной прямой пересечение промежутков 
( ;
)
1
+
×
 и  [ ;
)
− +
5
×
 (рис. 6.6). Этим пересечением является проме-
жуток  ( ;
).
1
+
×
О т в е т:  ( ;
).
1
+
×
 
◄
Приведем таблицу обозначений и изображений числовых про-
межутков, изученных в этом пункте:
Неравенство
Промежуток
Изображение
a x b
m m
[a; b]
b
a
a < x < b
(a; b)
b
a
a x b
< m
(a; b]
b
a
a x b
m
<
[a; b)
b
a

жүктеу/скачать 4,65 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: