§ 3. ЧислОВые ПОследОВательНОсти
174
Итак, если (b
n
) — геометрическая прогрессия со знаменате-
лем q, то
q
b
b
b
b
b
b
=
=
=
=
2
1
3
2
4
3
...,
то есть для любого натурального n выполняется равенство
b
b
n
n
q
+
=
1
.
Отсюда получаем рекуррентную формулу b
n + 1
= b
n
q.
Следовательно, геометрическую прогрессию можно задать ре-
куррентно:
b
1
=
b, b
n + 1
=
b
n
q
Таким образом, чтобы задать геометрическую прогрессию, надо
указать ее первый член и знаменатель.
Приведем несколько примеров.
Если b
1
= 1 и q = 3, то получим геометрическую прогрессию, при-
веденную в начале пункта:
1, 3, 9, 27, 81, 243, ... .
Если b
1
= 2 и q = 2, то получим геометрическую прогрессию — по-
следовательность натуральных степеней числа 2:
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, ... .
Заметим, что геометрическая прогрессия со знаменателем, рав-
ным 1, представляет собой последовательность, все члены которой
равны. Так, последовательность 5, 5, 5, 5, ... является геометриче-
ской прогрессией, у которой b
1
= 5, q = 1. Вместе с тем эту последова-
тельность можно рассматривать как арифметическую прогрессию,
у которой a
1
= 5, d = 0.
Вообще, любая последовательность, все члены которой равны
между собой и отличны от нуля, является одновременно и ариф-
метической, и геометрической прогрессией. Последовательность
0, 0, 0, 0, ..., все члены которой равны нулю, является только
арифметической прогрессией.
Покажем, как можно задать геометрическую прогрессию с по-
мощью формулы n-го члена.
Из определения геометрической прогрессии следует:
b
b q
2
1
=
æ
;
b
b q
b q q
b q
3
2
1
1
2
=
=
=
æ
æ
(
)
;
b
b q
b q
q
b q
4
3
1
2
1
3
=
=
=
æ
æ
(
)
;
b
b q
b q
q
b q
5
4
1
3
1
4
=
=
=
æ
æ
(
)
.
|
