18. Геометрическая прогрессия
175
Эти примеры помогают подметить такую закономерность: чтобы
найти некоторый член геометрической прогрессии, можно первый
член умножить на степень с основанием q и показателем, на 1
меньшим, чем номер искомого члена. Отсюда, например, b
6
= b
1
q
5
,
b
7
= b
1
q
6
, и вообще
b
n
=
b
1
q
n – 1
Записанное равенство называют формулой
n-го члена геометри-
ческой прогрессии.
Установим важное свойство членов геометрической прогрес-
сии (b
n
).
Имеем:
b
b
b
b
2
1
3
2
= , отсюда b
b b
2
2
1
3
=
æ
;
b
b
b
b
3
2
4
3
=
, отсюда b
b b
3
2
2
4
=
æ
.
Вообще, для любого натурального n, большего 1, можно запи-
сать:
b
b
b
b
n
n
n
n
−
+
=
1
1
. Отсюда
b
b
b
n
n
n
2
1
1
=
−
+
æ
Квадрат любого члена геометрической прогрессии, кроме
первого (и последнего, если прогрессия конечна), равен произ-
ведению двух соседних с ним членов.
Если все члены геометрической прогрессии (b
n
) положительны,
то равенство b
b
b
n
n
n
2
1
1
=
−
+
æ
можно переписать так:
b
b
b
n
n
n
=
−
+
1
1
æ
.
Следовательно, каждый член такой последовательности, кроме
первого (и последнего, если последовательность конечна), является
средним геометрическим двух соседних с ним членов.
Рассмотрим две последовательности.
Арифметическая прогрессия (a
n
), у которой a
1
= 1, d = 2:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, ... .
Геометрическая прогрессия (b
n
), у которой b
1
= 1, q = 2:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, ... .
У этих прогрессий первые члены равны. Обе эти последователь-
ности конструируются с помощью одного и того же числа 2 (d = q = 2).
Вместе с тем, сравнивая соответствующие члены этих последова-
тельностей, мы видим, что геометрическая прогрессия «растет»
|
