Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

Если п — 2т, т € N, то
§ 2. Основные теоремы и формулы
2тг 
*;
F(x + 27
г
) = F (ж) + I sin2m х dx.
*1 \
» . ■
> = \ ■
. • , Л
Поскольку функция х > sin2mx, i £ R, имеет период 7Г, а ее сужение на сегмент [— j ,
является четной функцией, то
2тг
J 
sin2m х dx = 2 
J 
i
sin'"" * dx = 2 / sin2mxdx = 2 / sin2m x dx = 4 / sin2mx d t .  
.a
UIOJ,,
. r a
Следовательно,
Г 
i* '-J,
✓ • 
f  • 2 m
, 
, 
f  • . 2 m . 
a
— 
J ) * ’ 
- * 
' f i
Cm = / sin 
x d x = 4 i  sm 
Xdx = 2ж±-т-—rff—
J
J
(2»»)И
(см. решение примера 43). Таким образом, F{x + 2*-) — 
F ( t )
— (Xn.
Рассмотрим функцию 
ф
: 
х 
F(x)
— rj^-x, 
х
6 
К . 
Поскольку ф(х + 2ir) = F(x + 2ж) —
^ ■ (х + 2-зт) =
F{x
+ 27
г
) - Cm - ^f-x =
F(x) 
-
— ф(х), то ф является. 2х-цериодиуе,скрй-
функцией, в силу чего
F(x) = ф(х) + атх, 
х € \
Пт
2ж ’
т. е. 
функция 
F представима в виде 
суммы 
21
Г-периодической 
функции ф и линейной (одно­
родной) 
функции 
х н-►
агпх. ► 
, ,
5 3 .
Доказать, 
что функция
X
пн 
J< f(t) it,
x £ IR* -
где / — непрерывная периодическая функция с периодом Т, в общем случае есть сумма 
линейной функции и периодической функции периода Т. 
,
◄ Согласно теореме 2, п. 2.1, функция F дифференцируема VxglR, и п^и этом F'(x) = f (x) .  
В силу периодичности / , имеем F '(( + Т) = /(<). Интегрируя на сегменте [хо, х], находим 
F(x + Т) — F(xо + Т) = F(x). Поскольку
■
 Л- i . -it. 4’5
F(x о -j- Т ) — 
J 
f ( t ) d t — J f i f ) dt — С, С = const,
X
q
О
то F(x + Т) — F(x) = С. Если С = 0, то F(x + Т) = F(x) и F является периодической 
функцией с периодом Т. Если С ^ О, то введем в рассмотрение функцию j 
' 
.
Ф :* и F(x) — " Х у ' 
х € R.
Поскольку Ф является периодической функцией с периодом Т, то
F(x) = Ф(х) + ах, 
х € R, 
а =
есть сумма периодической и линейной (однородной) функций. 
ь<: ■
. >
■
*; -чинчьчг-н
5 4 .
Доказать, что если / € С[0, 1], то: 
.-
7Г 
1Г 
^
7 
2 
* . . ' ' 
1 
• •». 1 '■ 1 
\
1} / /(sin x )d x =
J 
f(cosx)dx; 
2.) 
J 
x f ( s m x ) d x = 
^J 
f(sinx)dx..
. о .
- T 
\
'1 .<.n.!|-.erri«iji'.

278
Гл. 4. Определенный интеграл
ТГ
2
J  /(sin х) dx ■
о
◄ 1) Полагая 
~
— ж 
= t ,
получим
о
dt =
2
7Г
"2
J  /(cos t) dt.
о
2) Запишем
7Г
sin ж) 
dx
о
и положим ж — х = t ,  получим
7Г
J
x/(sm(;r — x))dx
о
J
(iг - <) /(sin t)d t =
о
7Г 
7Г
7Г 
J  /(sin t)d t — J t f ( sin t)
откуда
7Г
J  x/(sin x) dx
0
7Г '
^
J  /(sinx)dx. ► 
0
В примерах 55—62 рассматриваются различные интегралы. Некоторые из них вычисля­
ются путем использования формул Эйлера
е
= c o s ж + i s m ж ,
Вычислить интегралы:
2 0 0 тг
5 5 .
I
J
л/ l  — cos 2ж б£ж.
◄ Поскольку 1 = л/2 f  | sin х| 
dx и функция ж i-> | sin ж|, ж € R, периодическая с периодом
о
Т = ж, то, согласно примеру 51, имеем
ТГ
/ = 200л/2 
J  sin х dx = 400л/2. ► 
о
• dx.
5 6 . / =
[
 
1
* s in * - ,
J 1 + cos^ X
0
тг
◄ Так как I = f  x /(sin x )d x , где 
f(t) =
^372
> T°i согласно примеру 54, получаем 
о
7Г 
О
т 
ж [  
sin ж 
, 
ж [ d(cos ж) 
я 
1° 
я2
1 = — I --------
X
— йж = — / -------- г1— - —агс1г(со8ж) 
= — . ►
2 У 2 - s i n 2 ж 
2 У 1 + cos2 ж 2 
&v 
; |1Г 
4
5 7
• , = / т
+ 2 « c o s ж + « •
• 
dx. л € К.
◄ Если « = 1, то I = 
f l+
2
cos x+i 
~  / s^n2 I
где 
Е ~  
’’’t- В этом случае I  =
k | C
N

279
При а ф 1 представим I  в виде I  = 1+1--$ ( h — h ), где
7Г
dx 
, 
/ 
cos2 х 
, 
i f  cos i
1 
1
§ 2. Основные теоремы и формулы
Л = f  
— , h = f -
J 1 + e cos x 
J 1
COS2 X 
, 
/ 
(
COS X 
1
---------- dx = 
\ ----------- ? +
+ £ COS X
£ 
e2 
e2( l+ c o s x )
j
 
If 
h
dx — „ т о i
2a
1 + a'
|e| < 1.
Следовательно, I = 
(?r — (1 — e2)7i).
Поскольку /х = ( - £ =  arctg 
tg f ) +
[ Э Д )
TO
1 =
e2(l + a2)^ ~ ^ ^  = 4a2 ^ + «2 “ I1 “ <*2|)-
Принимая во внимание, что 1 — \  при a = 1, получаем
д” - (см. пример20),
1 =
- ,
если |a| ^ 1,
ZTf 
►
2
- J . если |а | > 1.
2тг
5 8 • ' - /
dx
(2 + cos х)(3 + cos х) ‘
◄ Из тождества 1 = (3 + cos х) — (2 + cos х) следует, что
2тг
dx
[
dx 
f
1 
J
1 + £l COS X 
2 
J
1 + £2 COS X ’
где £i = i ,
£2
=
Так как
гтг
/ г
dx
+ £ , COS X
V 1 -  ef
arctg
2*
1 + £ , 6 2 '
[ x + j r l \
v / T ^ T j l 2ir 
Jy
2ir
2*
V ^ T ’
7
_
27
r ( y r = 7 f
^ T = 7f) - 7r( ^ - ^ ) -
5 9
. l = [ s" ^ l d x , E = ]
o, »[.
J
Sin X
◄ 
Поскольку 
Д
т о ^
= П | J m
 
q
^
= ( - l ) n + 1 n ,
t o
J
^
dx = J
 /(x)dx’
при x g E, 
при x = 0,
где /(x ) = < n
l ( - l ) n+1n при 
X 
= 7Г.
Из формул Эйлера следует, что sinfcx = ^ ( е 1^ - e~ikx), к = Т7п, следовательно,
Л*пл- 
— 
inx
п,
/(* ) = !L -----=
е<((«+1)-2*)* =
v 
'
е** -
е ~ ,х
t —*
к=1
__ Г 
2(cos(n — 1)х + cos(»i — 3)х + . . . + cos х), 
если л четное, 
\ 2(cos(« - 1)х + cos(»i - 3)х + . .. + cos х) + 1, если п нечетное.

Поскольку / сов(»» - k ) x d x ,«
I * 0, к  = 1, 3, . .. , u г- 1, то
о 
~
10
280 
Гл. 4. Определенный интеграл
6 0
/
i & f dx = J
 /(*■)*.-*{ >;■
£ 
о
если п четное, 
если п нечетное.
в»
4 Функция * •-» 
, х £ Е,  имеет предельное значение при х
(—1)"(2п + 1), поэтому
•j, равное
если х g Е,
если х =
f
cos(2n-f 1)д 
со,* 
>
( - 1 Г ( 2 п + 1 ) ,
Согласно формулам Эйлера, имеем
соя(2» + 1 )* = 1(е'<2п+1>* + e-(2»+i)*)) cos * = J (в« + е-<*^ 
£» 
L
п
Л л:) = 2 ] ^ ( “ 1),г” 1соя2(и “ (Л- 1));с + (“ 1)П> О ^ я ^ т г .
km 1
Следовательно,
1Г 
п 
1Г
1 =  //(® )rf* = 2 ] T ( - l ) fc- 1 / c o e 2 ( « - ( J t - l ) ) * a * + ( - l ) nT =
Ь 
*-* 
о
-
U k - i s m 2 ( n - ( k - l ) ) x
- l U <
** 
2(n 
— (к —
1))
+ ( - l ) " x = ( - ! ) " * . ►
i
6 1 . / - / cos 
h i
 cos" x d x .
4 С помощью формул Эйлера находим 
1
cos « г cos" г =
£
С
^ 2^
*
+ е ' ^ ) =
ко О
=
+ р т г ( £ с »е’2(П к)Х + ] С С ке " 2к* \  =
с к
 
cos 2кх.
\ к~ 0 
fc=l 
/
f c = l
Интегрируя полученное выражение на сегменте [0, т] и принимая во внимание равенства
1Г
J 
cos 2&sc dx = 0, 
к = 1, и,
о
получаем / = £ . <М

■Ч Произведем в интеграле замену * =
\
 + 1. При этом получим
$ 2. Основные теоремы я формулы
2 
3
/ = s i n n | / cos" i cos
n t d t
 +
cdett^-
' 
J .
 
cos^tsinirf
dt.
1 i Y.4^Sii
Так как функция 
1
1
-* cos" 
t
 
sin n i, 
^
t 
^
 
нечетная, то, согласно примеру £
9
, имеем
/ с“ "
t
 sin 
n t d t =
 0.
Vb.IV-ф »
: i . «. . . 4 ' . .
Следовательно,
2
V
[
’
7 = sin 
n
 — / cos" t cos »t 
2 у
В предыдущем примере показано, что
1 
1
cos" < cos 
nt 
= 
-—
— )
Ct
 
cos 
2kx. 
2
"
2
"
Принимая во внимание равенства
кя1
>■ >. -1
|
f "■ * ‘ H -'Ю
-J’i'f;.', ft/)
J
 cos 
2Jb® 
dx
 =

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: