Байланысты: Anti-Demidovich Lyashko I I i dr Tom 1 Vvedenie v matematicheskij analiz proizvodnaja integral 2001 ru T 358s
267 ◄ Поскольку (—1)1*1 — sgn(sin тгх), х £ R, то, принимая во внимание решение предыдущего
примера, имеем
§ 2. Основные теоремы и формулы 1 — — arccos (cos 7гх)
0
1
=
—(arccos 1 — arccos ( — 1)) — —1.
►
- 2 1
v 27
d x . ◄ Функция x [e*], 0 ^ x < +oo, разрывна в точках x„ = Inn, n = 2, 3, . . . . Пусть
x £ ]x n, xn+i[. Тогда '
J [e-'ldi =
их -(- C'n,
C„ € K,
C'n - const.
Если x € ] l „ +l, i n+2[, то
J [e*] dx — (n + l)x +
C „ +i ,
C n+1
= const.
Из условия непрерывности первообразной функции
х )-*■ [е*], 0 ^ х < +оо, в точках
х п получаем зависимость между С'„ и C'n+i:
Сп+1 = С„ — 1п(п + 1),
п £ N.
Полагая последовательно в полученном равенстве п = 1 , 2 , . . . , находим
С„ = С — In n!,
С = const.
Таким образом, функция
F : х [е*]х — 1п([е*]!), О <С х < -foo, является первообразной
функции
х I—
►
[е*], 0
х < +оо.
Поскольку [е2] = 7, то I = F(2) — F(0) = ([е*]х — ln([e*]!))|g — 14 — I n 7!. ►
2 8 . / =
J sgn (sin(ln x))
dx, E =]0, 1].
E ■4 Функция F : [0, l] —*■
R, где
р , л _ Г sgn (sin(ln x)), еслих £]0, 1],
'*■1
I 0,
если x = 0,
ограничена на сегменте [0, 1], а множество X = [хк = е fc!T; к £ N) ее точек разрыва счетное,
следовательно, F 6 R [0, 1], и, согласно определению 3, п. 1.5, имеем
J sgn (sin(ln
х))
dx = Е 0
J F(x)dx. Обозначим F(x) = / sgn (sin(ln х)) dx, х > 0. Если e~(fc+1)’r < х < е~кп, то
Е (х )
=
( - l ) fc_1x + С к, где к = [ - ^ ] , Ск — const. Если же е~(~к+2)‘г < х < е~('г+1)’г) х0 р ф - {—1)кх + Cfc+i, Ck+i = const.
Из условия E'(e- ^fc + 1^7r — 0) =
+ 0) находим
C,* + i= C b + ( - l ) fc-1-2 e -(fc+1>,rI
откуда
С'к =
Со - 2(е_7Г -
е~2ж +
. ..
+
(-1 )* _1е_Ьг), Со = const. Следовательно, F(x) - г _ Ы х 1 _ Г (—1) L *• J
х — 2(е~п — е~2” + . .. + (—1)1 * ■
* el
*■ J ) + Со, причем Е (0) = Шп Ск = о
С о
- 2г Ь ^ ’ ^ (1) = _ 1 + с°-
Таким образом,
/ = JF ( l ) - F ( 0 ) = - l + 2 Ti - F
►
§ 2. Основные теоремы и формулы 269 приходим к выводу, что это нижняя интегральная сумма для функции х i->-
0 ^
1,
при разбиении П = {х, = ~
г = 0, «} сегмента [0, 1] и выборе £, =
х , . Поэтому
= In 2. ►
lim ,S„ =
f ~ ~ - ln(l +
x )
П-.ОО
J 1 +
X V
'
0
2 . lim
S n , Sn = — [ \ / 1 H— +
\ 11 H— + . .. + л / l H— | .
n— + oo n у V n V « V
11 I Поскольку
=
~ J2 J l + i = 2 /(&) A x;, где /(x ) = л /Т Т х, 0 < x < 1, & = x; =
1=1 V
t=I
i
= 1, n , A x , =
to
- / ■
lim .S„ = j y / T + x dx = ^-(1 + я:)
= |( 2 л /2 - 1 ) .
3 3 . lim
. S , , , S n
= sin —
S n —*00
71 ^ ^ Л-1 2 + cos —
Поскольку sin - = - +
О (A-l и lim
О ( ЕЛ
-------—г— = О,
n
"
V" 3 '
n - o o
\ n 3J 2 + COS
—
J i = l
1
n lim
Sn n —»oo
= lim - V
n —
*oo 71 * ^
о i
/cff
2 + cos -
Ho ^ E 9: !
= Ё / ( 6 ) Axfc, где /(x ) =
0 sj x sj ir, & = * £ , * = 1, n,
A x k =
fc=l 2 + cos ЕГ
тогда
lim iSn
7Г
■ / tlx
2 + cos x
(см. пример 20). ►
3 4 . lim
Sn , Sn =
n —»oo ◄ Представим £n в виде
1
i dx Г 2
if t g f
>|
2ir
2
j 1 + 0,5 cos
x s 1
1 — £.
W s y
^ +
лД
0 i 2 «
» + E
7Г
V l n -L г _
I r 2 "
_ c(i) _ e(2)
" ~ „ 2 - f
1
. 2 L ~
”
” ’
i a l
~ m
где .S ^ = " E 2 n i
= ~ E n ~ • Из
оценки
0 < s i 2^
< ^ = ~ следует, что lim
.Sn2'* = 0,
i= i
n ;= i + ,n
”
”
n —oo
l
/ лх 2X dx = -—-
In 2
поэтому
In 2
_r- Используя правила Лопиталя и теорему 2, п. 1.3, раскрыть неопределенности вида gj и^—:
f cos t2 dt 3 5 . lim ------------- . +o
X
270
Гя. 4. Определенный интеграл
Ч Применяя первое правило Лопиталя и теорему 2, п. 1.3, получаем
f cos t2 dt lim 5------
ж—+o
x
Ж-.+0 й*У
= lim -r- / cos <2 dt = lim cos t 2 = 1.
t-+o
/ e‘3 fit
3 6 . lim
x —»+ o o J1 e2(2 rft
о
Ч Применяя второе правило Лопиталя два раза, находим
lim
дг—► •foo fe<*dt / е2‘2 dt = lim
40
X —
►
оэ
= lim
5 / f2‘2 dt = lim
2е*2 J V 2 Л
О
а;—*-+оо f, 2а2
2 / е'2 dt а — + оо f.3" ■
2
— -— =
2
lim
—
5
- =
2
lim -L =
0
.
а —* + о о — (X а —* + о о 2 x 6 * 1-++00
2х
dx
= 2 lim
1
3 7
. Пусть / 6 С[0, +оо[ и /(х ) —►
А при х —►
+оо. Найти lim / f(iix)dx. о
Ч Произведя в интеграле замену пх = t, получаем
1
п
Иш / f ( n x ) d x = lim —
f ( t ) d t = lim
Tl — oo J n —»oo J n —* 00
0
0
x где
— значения функции
^ J f (t )d t , 0 < x < +oo, в точках x„ = n, n € N.
0
Следовательно,
X lim tp„ = lini i / f(t)dt. n —
koo
x —+-f-oo
X J 0
Если 4 = 0, то V
j
> О ЗД > 0 : Vx > Д =>•
| / (
x
)|
<
Поскольку в рассматриваемом
случае функция / является ограниченной, то ЗЛ/ > 0 : |/(х )| ^ М Vx € [0, +оо[.
Пусть х > Д. Тогда
Из оценок
получаем оценку
2МЛ
если х >