» Ц 1 £ (0 - :) '+ > > ) - ^

263
Упражнения для самостоятельной работы
Вычислить определенные интегралы следующих функций, составляя интегральные суммы 
■5'п ( /) и переходя к пределу при й(П) —» 0:
1. х ^ х 3, -3<$ж <$5. 2. 
х
ь- 
Д Д
0 
^
х
<$ 
1. 3. i w f , 0 
ж 
7.
4. х I—
>■
cos ж, 0 ►
2 + 5ж, —3 ^ ж ^ 6.
Найти следующие пределы:
®- „Ь^ ( ^ + ^ + ••• 
7- „1^ 0 ( Л т + ^
+
••• + ^ К ^ 7 ) 7 ) -
8. lim f - 7= L = + ^ =
+
. .. + - ?=2=
У
9. lim
п
— » о о \ у / 4 п 2 —
I 2 
y j t n 2 —
2 2 
- у 4 п 2 —п 2 /
n —»<Зо 
п
Доказать интегрируемость следующих функций:
10. х ь->- [^] — 2 [ ^ ] , 0 < х 
1. 11. х 
1
—
►
[xjx**-1, 1 sj х sj 10,5, а > 0.
12. х !->■ ^ г , 1 ^ ж $ 40, Л > 0. 13. ж 
[ж2], 2 ^ х ^ 17.
14. ж ^ [ ^ ] , 0,5 <С $ ж <$ 10.
15. Пусть f € R[a, 6] и /(ж) > 0. Обозначим /*,„ = /(« + к6п), 
Доказать, что
>1 
ь 
____________ 
Г 
ь 
У
lim ^ 52 /ь» = г г - / /( я ) dx, 
Urn V /in /
2
n 
= exp { r b f  In /(ж) dx > ,
n —► CO '* , 
. 
n —.o o
I v 
I
«= 1 
« 
Ч 
о 
J
n 
6 — 
a
1,111 —------ = ------■
Y -L- 
f d*
/kn 
•* 1W
K 
1 
a
16. Пусть / g 6,(21 [ ij +oo[ и /(ж) ^ 0, /'(ж ) ^ 0, /"(ж ) ^ 0 Уж€ [1, +oo[. Доказать, что
£ / ( f c ) = ^
+ //(* )< ix + o ( i ) .
fc = l 
1
17. Пусть / 6 
[a, 6] и
Дп = / Д х ) с 1 ж - ^ р £
/ ( a + ( 2 f c - 1 ) ^ ) .
§ 2. Основные теоремы и формулы
Найти lim 7i Ati
n —* CO
§ 2. Основные теоремы и формулы интегрального 
исчисления
К важнейшим теоремам и формулам интегрального исчисления относят: основную тео­
рему интегрального исчисления, формулу Ньютона—Лейбница, теоремы о среднем, а также 
формулы замены переменной и интегрирования по частям (последние две приведены в пунк­
те 1.8).
2.1. Определенный интеграл как функция верхнего предела. 
Теорема 1. Если / 6 Д[а, 6], то функция
Ф : ж I—
>■
а ^ ж ^ 6,
непрерывна на сегменте
[ а , 
6
] .
Теорема 2. (основная теорема интегрального исчисления). Функция
Ф : ж I—►
a
а ^ х
^
6
,

264
Гл. 4. Определенный интеграл
где f : [а, Ь] —*■
К, / £ R  [а, 6], дифференцируема в каждой точке х £ [а, Ь], в которой функция 
f непрерывна, и при этом Ф'(х) = f ( x) .
Теорема S. (основная формула интегрального исчисления). Если f £ R[a, Ь] и мно­
жество точек разрыва функции / не более чем счетное, a F — произвольная первообразная 
функции f на сегменте [о, Ь], то справедлива формула
ь
J
f ( x ) d x  = F ( x ) 'Ь - F(b) - F(a),
l a
a
называемая формулой Ньютона—Лейбница.
2.2. Теоремы о среднем.
Первая теорема о среднем. Если f £ R[a, b], g £ R[a, Ь] и g[x) ^ 0 (д(х) $ 0) 
Vi £ [а, 6], то справедлива формула
ь 
ь
т
^
р
^
М,
(
1
)
a
a
где т = inf {/(я)}, М  = sup { /(i)} .
Если / £ C\a, 6], то формула (1) принимает вид 
ь 
ь
/ я * м * ) d * = m  / g(x) dx, 
£ £ [a, 6].
a
a
Если / E C'[a, b], g(x) = 1, 
to
ь
J
 
/ ( x) dx = /(£)(b -  a), 
£ £ [a, 6].
(
2
)
(3)
В т о р а я теорема о среднем. Если
1) функция / : [а, 6] —» К не возрастает на сегменте [а, 6], / ( х) ^ 0 Vx £ [а, Ь] и 
g £ R[a, Ь], то Э£ € [а, Ь] такое, что
ь
 
<
J 
f(x) g( x) dx = 
/ ( a )
J 
g{x)dx; 
(4)
а
а
*
2) / не убывает на [а, Ь]7 /(х ) ^ 0 Vx Е [а, Ь] и g Е R[a} Ь], то Зц Е [а, Ь] такое, что
ь 
ь
J fix)s(x) 
dx = f(b) 
J 
g(x)dx; 
(5)
3) / монотонна на [a, b] и g £ R[a, b], mo 3£ £ [a, b] такое, что 
ь 
( 
ь
J 
f (x) g(x) dx = f(a) 
J 
g(x)dx + f(b) 
J 
g{x)dx.
(6)
Формулы (4)—(6) называют формулами Бонне.
Применяя формулу Ньютона—Лейбница, вычислить следующие интегралы Римана:
20
. 
I
4
тг
" А
dx
+ е cos I
о
, 0 ^ е < 1.

§ 2. Основные теоремы и формулы
265
◄ Согласно примеру 130, гл. 3, функция
-ТЪ“Й* ( \ / 5 М + :Й |[Ч ?Ь
V' ■
■
F :
- =={ 2к + 1),
/1—
€ J
х £ R \{ r + 2Дг7г}, 
х = 7г + 2Дг7г, к € Z,
является первообразной функции х 
Лейбница имеем
I
= ^ ( 4 т г ) - f ’ (O ) =
i+e созд ’ 
0 ^ е < 1. По формуле Ньютона—
4тг
2 1
. /
2
/ a2 si
dx
sin2 х + Ь2 cos2 х
•4 Преобразуя подынтегральную функцию к виду
1 
2
a2 
sin2 
х + 6
2 cos2 
х 
(а2 + Ь2) (1 + е
cos
2х)’
Ьг - а
где е = —
j тт;2-, и произведя в интеграле замену 2х = 1, получим аналогично решению преды- 
dl
дущего примера
/ =
1
/ г
а2 + Ь2 J  1 + е cos 1
о
а2 + Ъ2 V л
/1
- £■
: arctg
1 - е
, - ■ 
2л- 
Г< + т
1 + |е| g 2 ; + v T ^ l 2 L 2т
7Г— 0
2|а6| ’
Используя формулу Ньютона—Лейбница, вычислить интегралы от разрывных функций
путем построения их первообразных на всем промежутке интегрирования:
\21
22
.
7 = /
I T m
*}**■ 
Лх)
“
£ = 
3W(0) u <2)!'
4 Функция / не определена в точках х = 0 и х = 2 сегмента [—1, 3], а подынтегральную 
функцию можно записать в виде
Т + р \ х )
 
= ( arctS 
f ( x ) ) ' ,
и функция х (-» arctg/(х ), х £ Е, является первообразной ограниченной на множестве Е
f/
функции -цгр- Согласно определению 3, п. 1.5, имеем
)dx,
где F(x)
f 
Л И .
= < 
i + Я О ) ’
l o,
если x £ E,
если x = 0 или x = 2.
Первообразную Ф функции F на сегменте [—1, 3] строим следующим образом:
arctg /(х ), если — 1 ^ х < 0, и 
lim arctg /(х ), 
если х = 0,
а;—»—0 
*
arctg/(х ), если 0 < х < 2, 
и 
lim arctg/(х ) + C i, 
еслих = 0,
*-. + 0
lim arctg /(х ) + C i, если х = 2,
*—2-0 
*' 
arctg /(х ), если 2 < х ^ 3, 
и 
lim arctg/ ( х ) + С 2, 
еслих = 2.
i —2+О

266
Гл. 4. Определенный интеграл
Следовательно, получаем
f
 
arctg /(х ),
если — 1 
^ 
х 
< 
0,
Ф(х) =
< 
a r c t g / ( х )
-
7Г,
е с л и 0 
^ 
х 
< 
2,
[ 
a r c tg / ( х ) - 27Г,
е с л и 2 
^ 
х
^ 
3,
3
где Ф(0) =
-
Ф(2)
Применив форму,
32
/ = Ф (3 ) - Ф ( - 1 ) = a r c tg / ( 3 )
~ 2 ж -
a r c t g / ( - 1 ) = a r c t g — - 2 т . ► 
dx
2 3
. 1 = ( - г
J sm
1 X + COS4 X
и
Принимая во внимание равенство sin4 
x
+ cos4 
x =
|(1 + e cos 4x), где e = j , и произведя 
в интеграле замену 4
х — t,
получим, используя решения примеров 20 и 21,
:“с‘8 1 ' / ^ ,е^ + 7Г=7г[1|г ]
8тг
Г
=
£Л
2
+
е
cos t
\/1 — е2
1
+ «
87ге
д/1 — ,
: 2 i / 2 7Г. ►
3 1 ,5
24 -' = / w ^
0,5
◄ Построим первообразную функции / : х i—►
[х], 0 ^ х < +оо, имеющей разрывы первого 
рода в точках х = п, п € N.
Если х €]« — 1, п[, то /(х ) = п — 1; если х g]n, « + 1 [, то /(х ) = п. Таким образом, 
функция Fn- i  : х (—►
(п — 1)х +
С
'„_1
€ К, является первообразной сужения функции /
на интервал ]п — 1, »[, а функция 
пх + 
Сп
, Сп 6 R, является первообразной сужения
функции / на интервал ]п, п + 1[. Из условия непрерывности первообразной в точках х = п 
получаем Fn- i ( n -  0) = F„(n + 0), т. е. (п - 1)п + С
п- 1
= к2 + С„, откуда С'„ = C'„_i - п, 
п е N. Полагая п = 1 , 2 , . . . , получаем Ci = Со — 1, С
2
= C'i —2 = Со —3, Сз = С2 — 3 = Со —6, 
С4 = Сз - 4 = Со - 10, . . . , Сп = Со - 2 ^ , Со = const.
Поскольку н = [х], 
х
6 [п, 
п
+ 1[, то F(x) = х[х] — 
является первообразной
функции / .
По формуле Ньютона—Лейбница имеем
I = F{31,5) - F(0,5) = 31,5 • 31 - 31 • 16 = 480,5. ►
2 0 ir
2 5 . 1 =
J 
sgn(siii x) dx .
— llir
◄ Функцию / : x 
sgn (sin x ) t x 6 
представим в виде
/(x ) = / i S f f .
|_ 0 , 
X e
A; e Z}.
Поскольку /(x ) =
, 
8 l n - J
= при x ф kiг, то непрерывная функция F : x i—
►
arccos (cosx),
V l —c o s 2 a-
x g R, является первообразной ограниченной разрывной функции / . Следовательно,
/ = F(20v) ~ F ( —llir) = arccos 1 — arccos (—1) = —тг. ►

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: