§ 4. Несобственные интегралы

302
Г л. 4. Определенный интеграл
Согласно определению несобственного интеграла, имеем
X
1п =
lim 
f —
---—
--- ------ = liiiL /^(x).
X 
—*+00
J t(t "Ь 1) • • • (^ Ф н) 
X—
t
-|-00
1
Разлагая правильную дробь 
1
((+n^ на сумму простых дробей, находим
_______ \_______ = 
гдеЛ, -
(-1)*
t ( t + l )  . . . (< + «) 
2
- ^ t + jfc’ 
Д 
Щ п - к ) \  
( 
n \ '
Следовательно,
7" )(ж) =
h
l ! C ( - i)fcc" ln(a:+ A' ' ) + ^ ( - i )'c+1^ in(i + * )) =
\k = 0
= 
( i n f [ ( * + *)( 1)k° k + 2 ( - i ) fc+1c £ in (i + *)
Так как сумма биномиальных коэффициентов С*, стоящих на четных местах, равна сумме 
биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, то
lim 
ТТ 
(х 
+ 
к )
U-. + 
00
J-J.
=
1
.
х —► + оо
к
=0
п 
к к
в силу чего lim In ГГ (х + А'Г-1) с » =
0
.
1-+ °° 
к=о
П
Таким образом, I n =
( - l ) fc+1Cn 1п(1 + к). ► 
’ ы
+ оо
90.
О
„
г 
/
- a a . c o s ( 2 m - 1 ) я
Вычислить 1Ш = I е 
----^
dx, а > 0.
j
cos х
о
◄ Функция f : X 
X € K+\{**}, хк = ~ + *
7
Г, А: 
6
So, имеет особые точки
Хк* Поскольку существует lim /(х ) = ( - l ) m+
1
( 2 m -
1
)е_а(
2
+*,г) f то функция t 
F(t)
х — хк 
V >■}
0
^ t < +оо, где
Г /(<), 
если г ф
Х к ,
~ 1
( -
1
)™+
1
(
2
т -
1
)е“ а( т +**)) если t = x k,
интегрируема на любом сегменте [
0
, х], х > 
0
.
Так как множество {xt,} имеет лебегову меру 0, то
X 
X
J f ( t ) d t = 
j
F(t)dt,
О 
О
х
поэтому Im = lim f F(t)dt. На основании решения примера 60, имеем
Х
-.+00
0
F(t) = е at ( (—l
)m_1
-f 
2
У~^(—l
)"-1
cos 
2
(m — n)t J .
n=l
Следовательно,
x  
m —1 
x
J
F(t)dt = (— l) m 
^
+
2
l
)"-"1
J
e~a* cos
2
(m — n)tdt.
о 
n=1 
n

§ 4. Несобственные интегралы
303
Поскольку е 
cos 
2
(m — n)t — Re 4- a+‘2(m n))') 
to
X
/
e ( - a + ; 2 ( m - n ) ) t
e~at cos 2(m — n)t dt = Re------- ----------- r
v 
’ 
—a
+
г 2(m
— ?t)
a t
^
= Re
-~'2
+ 4 ^'rn - - t^ (c o s
2
(m - ?t)t + г sin 
2
(m - n ) t ) ( - a - »
2
(m - n ))| =
e ~ a t  
i x
= —---- —--------—(
2
(m — n) sin 2(m — n)t — acos
2
(m — n)t)\ =
a
2
+ 4(m — 
' J\
v 
lo
= a
2
+4-(TO-
n)2
(e~a l (
2
(>» - n) sin 
2
(m - n)s - a cos 
2
(m - n)*) + a).
Таким образом,
I m = liin I ( —
1
)'
I-. + OO \
n -i 
1
- e'
+ 
2
( -
1
)"
2
+ 4 (m — n
)2
x (e ax(2(rn — ») sin 
2
(m — n)x — a cos(m — п)т) + a) j =
=
— - +
2
a V -
a 
' a
(-1Г-1 .
^ _ (-1)"-1 
-
Ы
Г
~
1
, 2ау
2 + 4 ( m
— n
)2
a 
2—'
a 2
+
4
j
2
i=i
+ o o
- f o o
9 1 .
Доказать равенство 
J
f  
^ dx — 
^
J
f ( \ / x 2 + 4 ab)dx, 
где a >
0
и 
6
>
0
,
о 
0
предполагая, что интеграл в левой части сходящийся.
+ О0
◄ 
Обозначим 
I = f f ( a x  
+
dx 
и произведем замену 
ах 
+
~ = t, 
предварительно
представив 
I
в виде / =
I\
+
h
 , где
V 
а
 
+ о о
h
= J
f ( a x + ^ j d x ,
I 2 = 
J
f ( a x + ^ j d x .
После замены переменной получим 
2
Vab
J- /
2a 
J
+ o o
m  i -
t
л/ t 2 — 4ab
dt, 
I
2
—
+ 
00
f{t) 
1
+
2 y/ab
•v/t2 —
4
ab
dt,
+ C O
+ C O
- [  - т = Ш = Л = - / /(*)<*( \ Л
2
-4ab).  
a 
J
V<2 
- 4ab 
a 
J
v v 
;
2\/ab
2\/ab
Полагая в интеграле л/ t 2 — 4аЬ = z , имеем
+ оо
1
I
f ( \ / z * T 4 a b ) d z .  ►
0
■+■ 
00
9 2 .
Если интеграл 
J
f (x ) dx сходится, то обязательно ли f ( x )  —*■
0
при 
* —
*■
 
+оо?

304
Гл. 4. Определенный интеграл
+ оо
< Не обязательно. Рассмотрим, например, интеграл Френеля I = f  sin х
2
dx. Произведя
о
в нем замену х2 =
1
, получим
+ оо
1
+ о о
J
^
dt = Il + h ,
™ h
= \ j
+0
+0
1
Поскольку lim ^2=^ =
0
, то h  существует. Интеграл h  сходится по признаку Дирихле, 
'-+0
уД
X
поскольку 
] 
0
при t —* +оо, а функция х i-*- f s i n t d t  = cos 
1
— 
c o s t
, 
1
^ x < +oo,
ограничена числом 2 Vx € ]l, +oo[. Следовательно, I  сходится, а функция i
h
-. sin x2, 0 < 
x < +oo, не имеет предельного значения при х —►
+оо.
+ СО
Рассмотрим также I  = f х sin х
4
dx и произведем в этом интеграле замену х2 =
1
. При
о
этом получим сходящийся интеграл / = - f  sin t
2
dt. Вместе с тем функция х i—
►
х sin х4,
о
+ оо
О ^ х < +оо, не ограничена при х —* +оо. Следовательно, несобственный интеграл f f { x ) d x
а
может сходиться и в случае, когда функция / не ограничена при х —* +оо. ►
+ о о
9 3 -
Доказать, что если интеграл 
J
f ( x ) dx сходится и 
/
— монотонная функция, то
а
/(х ) = о 
^ при X —» +оо.
■4 Из сходимости интеграла следует, что |/(х )| —►
0 при х —<• +оо (в противном случае 
интеграл расходился бы, так как функция / в силу монотонности должна быть знакопосто­
янной при всех достаточно больших х, поэтому функция х
//( < )
di , а ^ х < +оо, была
бы неограниченной при х —►
+оо). Таким образом |/ | — монотонно убывающая функция. 
Поскольку интеграл сходится, то для него выполняется критерий Коши:
Ve > О 3 + > а : Vxi > + Л Vx2 > А
х-2
/
/ ( х ) dx < е.
Фиксируем произвольное хо > 
А  
и рассмотрим при х > х
0
интеграл
X
j
f (t ) dt.
Так как | / | — монотонно убывающая функция, то |/(х )| ^ |/(хо)| при х > х0, поэтому
|/(х )|(х - Хо) <
} т
dt < е.
Поскольку lim х
0
|/(х )| = 0, то из последнего неравенства следует, что lim х /(х ) = 0, т. е.
X —
►
-(- ОО 
X—
►
+ 
00
/(х ) = о ( i ) при X -» +оо. ►
9 4 .
Найти представление С-функции Римана с помощью несобственного интеграла.
В примере 
21
, гл. 3, показано, что

§ 4. Несобственные интегралы
305
Если Л > 0, то
+ оо
«
а
) = /
М Лх=£ ? А 1+я + ---+£ ) ’
п=[х]-
1
Исследовать на сходимость несобственные интегралы:
2
9 5
◄ Из неравенства 1 п ж < ж - 1 ,1 < ж < 2 , следует неравенство (In ж) 
1
> (ж - 1 ) 1, Поэтому
2
2
f dt 
[ dt 
, 
1
J hTt>J —i=ln
ГГТ-
2
Так как lim In —Ц- = +оо, то интеграл Г т+- расходится, следовательно, согласно пункту
Х
-.1
+ 
0
« -1
j + o 1ПХ
4.5, интеграл I — расходящийся. ►
7Г
9 6 . / =
+°
< Сравним в правосторонней окрестности точки х = 0 подынтегральную функцию с 
функцией / : ж !-*• pj-, 
0
< ж < ^, j < А < 1, рассмотрев предел
lim 
:
+0 
у/х
ЖЛ
lim
In (sin ж)
i - Л  
Ж 2
lim
*-. + 
0
ctg ж
( i - A)
= lim
Л+ i
Ж 
2
= lim
жЛ+5

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: