Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

Таким образом, функциональная матрица А(х) интегрируема на сегменте [а, 
6
] тогда и 
только тогда, когда на этом сегменте интегрируемы все ее элементы а;у и при этом'
ai}(x)dx^ , г =
1 , 
н, j  =
1 , 
т. 
(
1
)
Класс всех интегрируемых на сегменте [а, Ь] функциональных матриц А будем обозначать 
А
£ Л [а, 6].
ю
8 1 .
Вычислить 
I 
=
/ < Л
2
*)(1х, рассматривая его как предел 
интегральной суммы.
о
◄ Поскольку 
у/х
€ Л [0, 
10
] 
и
2х £ R
[0, 
10
], то 
(л/х, 
2х) £
Д [
0
, 10] и при любом разбие­
нии 
П 
сегмента [
0
, 
10
] и произвольном выборе точек 
£
[a;,-, x;+i] 
получим
1
= С ( П ™ о 
^
'? п ( 2 " ) ^ , 
где 
S n ( V J ) =
Sa(2x) 
=
2u A Xi.
§ 3. Интегрирование вектор-функций 
293
Разбивая сегмент 
[0, 
10
] 
на п равных частей и полагая £,■ = ц = 
г 
у
получим
3 гг —1
Е * *(«■)-!
•=0
 
i = 
0
(приняв во внимание, что Дх; = —■).
(
\
п
— 1
 
3
—
), 
где 
х„ 
=
^ 2 V i , Уп 
= 
п2 
. Так 
У п *
 
1=0
как существует
lim
х п+1 - х п _
___ Vn 
1
2
= lim
n — ОО J l n + l — 
У п 
n — со
3 
3
= lim
(n + 
1)2
_
то, согласно теореме Штольца, существует
. 1
" - “ . ( ( i + i ) ; - , )
3 ’
d(lim о Sn(y/Z) = 10 2 Шп 
= f л/То.
Поскольку ,Sn (2*) = I*- ■
и lim H . t l z l t  _ 210 - 1
V
7 
n 
2 # - l
»-oo n 
i£ 
~ ^ Г Г '
2 
n — \
lim 5п(2а" ) - 2 ~ 1
d(n)-o 
y ’ 
ln 
2
•
C
(
20
210
—1
\
J - VlO, - y y 1 .
1
8 2 . Вычислить I =
J
f ( x ) d x ,  где
- l
1
f(x) =
1
я 2 — 2я cos a + 1 ’ N/ ( r r ^ x + e 2 )(1 _ - 2 f a + ^ )
0 < or < тг, 
|a| < !, Щ <г> ab > 0.
)
◄ Согласно формуле (2), п. 3.1, имеем
/ 1 
1
i =
[ ______£ ______ , [
l J x 2 — 2x cos « + 1 ’ J
dx
j \ / ( l — 2ax + a2)(l — 2ix + b 2 ) J

294
Гл. 4. Определенный интеграл
поэтому интегрирование вектор-функции f на сегменте [—
1
, 
1
] сводится к вычислению двух 
определенных интегралов числовых функций.
Очевидно,
1
1 
I 
dx
h
■ /
х2 — 2х
 cos 
а
+
1
-1
/
d(x —
cos а ) 
1
 
/
, 
х
— cos tv \
7
------ ------
so 
'■ 
2
 
= -■
----- arctS ---- :--------
(ж — cos 
a)2
+ sm tv 
sm tv 4 
sin tv 
/
l
- l
sin tv \ 
В интеграле
1
— cos tv
a rc tg ---- ;----------
1
- ar
sin tv V 
sm tv
ctg 
1
t
)
(arctg (tg ~ ) + arctg (c tg f ) ) =
•
sin cv /
sm or \
V 
2
/
V 
2
 / /
2
sm a
i
/
dx
^ / ( 1
— 
2
ax
+ a2) ( l — 
2
bx
+
6
2) 
2
Vab J \У(А —
x )(B
— x)
i
= —
/
2
Vab J
dx
A
= ^ 
, В =
^ + - i - , произведем замену, полагая 
\ / ( A — x)(B
— 
x)
=
t(A — x
) . Тогда
2
 
2
(i 
2
 
26
где 
получим
\ ^ г \ у Д
h
_ L
/
V a
6
 
J
t2 
l
 
2
t
/ab
In
t
 
- 1
t 
+ 1
1 
^ /
\fab
+
1 
\ _
1 
J 
1 +
л/аЬ
2o/ab 
\y/ab — 
1
/
y/ab 
1
— s/ab
H-i I fa 
a
+1
I V 
6
Окончательно имеем
8 3 . Вычислить
2
 sin a
f a b
 
l - V a
6
 /
1 = J (f(*), S ( x ) ) d x ,
0
f (x ) = ^ln (ж + l / l + ж2^ ,
где
, 
g (x ) =
◄ Поскольку g(ж) = v '(x ), где v (x ) 
=
(л/1 + ж2, earctg;c), f '(x ) =
то, согласно формуле (3), п. 3.1, получим 
1
/ = (f(x ), v ( x
) ) | 0
-
J
(f'(x ), v (x )) 
dx
= ^ i / l + ж
2
 In (ж + \ / l + ж2^ 
4
x 
garctgx
V l + Ж2 ’ 1 + Ж2
1
v T + ж2
j j ir c t j l
(
1
+ г
2)2
v/T
+1
1
- /
а - r c t g X
1
+
( 1 + Ж 2 ) 2
Полагая в последнем интеграле arctg ж = ( и интегрируя по частям, находим
i* = V
2
l n ( l + ^ ) + ^ - l - f ^ ^ d
x  
V2 
^ (1+*2)2
[ e*rCtsx
 
, 
/ ,
I —
----- —
3
- 
dx
=
I e
cos
J ('t -t- T2 \ 2 
j
cos 
t d t = —
 (cos t + sin t)
Z
( 1 + X 2 ) 2
Окончательно получаем 
I
= i/21n ( l +
►
4
_ e4 
1
0
”
V
2
~
2
'
8 4 . Вычислить 
1 = J
[f(x), g(x)]rfx, где f (x ) = (ж, ж2, ж3), 
g(x )
= (e*,
2
аг Зяч
e , e ).

§ 3. Интегрирование вектор-функций 
295
(
е
2
я ^3® \
ех, 
~z~j ) то согласно формуле (4), п. 3.1, имеем
1
I = [f(x), v(x)]|L i -
J[f'(x),
v(x)] 
dx
= [f(l), v (l)] - [ f ( - l ) , v ( 1)J -
—1
-
xe3x dx -
| y* 
x2e2x
x2ex dx
+
k ^
e2x dx — 2 J xex dx
Вычисляя интегралы и принимая во внимание, что
[f(l), v(l)] - [f(—
1
), v ( - l) ] = i ( j s h 3 - c h
2
^ + j ^
2
c h l - |с Ь з ) + k (ch
2
-
2
sh 
1
),
e3x dx
+
окончательно получим
I = i ( p sh 3 - ^ ch 3 - ch 2 + | sli 2 - | e 2) +
+ j ( | s h 3 - ^ ch 3 + 2 ch 1 — 
6
sh 1 + 12e~: ^ + k (ch 2 - ^ sh 2 + 4ch 1 -
6
sh l )
где i, j, k — орты осей координат. ►
8 5 .
Вычислить 
1 = 
J
z(x) 
dx, 
тц,е 
z(x) 
=
eit(cos
2
x 
+
isin
2
x).
о
◄ Применив формулу (1), п. 3.2, получим
(
ГГ 
7Г
J
 
eI (l + cos
2
x) dx + t 
j
 
e*(l — cos 
2
x) dx 
] 
. 
о 
0
Интегрируя по частям, находим
1
 
Г 
}
I = - ( e x(l + cos2x + *(1 — cos2x)) + 2(г ~ l) / eX sin2x ^x) = e" — 
1
+
(1
_ i) / e* sj
n 
J
sin 2x 
dx.
Поскольку
ГГ 
ГГ
J ex
sin 
2
x 
dx
=
Im 
J e<1+2i>x dx = Im
a( l + 2 . ) x
1
+
2
*
= Im ^----- i- =
—~(e*
- 1)
1 + 2i
t o
I  
=
e *
-  
1
+ ( i
- l)(e* 
- 1 ) | = -
g 
1
(3 - 2t). 
»-
2
ir
q
£* 
w
т 
/
m x —im x j 
j
0 ,
есЛН 
УТ1 5 ^ fl
o b . 
Доказать, что 
I = 
e 
e 
dx = < 
’ 
^ ’
J  
1 27Г, если m = n.
◄ Применяя формулу Эйлера, получим
i r u
— 
i m x
t ( n — m ) #
/ 
\ 
i 
• • 
/ 
4
е е
=
e
v 
}
= cos(» — 
m)x
+ t s m( n — 
m)x.
Если 
m
= n, то 
егпхе~г7пх —
следовательно,
2
тт
I  = I dx = 2т.

296
Гл. 4. Определенный интеграл
Если т ф п, то
2
ir
; = 
j
с о * . -
.»)« 2, +. /».(.. -...). * = 
«Ю(« -
"‘ИГ + •“*<» - “К . = »■
8 7 .
Вычислить I
1
= 
J
A(x)dx, где
А ( х ) = [ ап(Х) 
6112
(*) ^ 
Д1, ( И -
* _
' '
^ 
021
(х) 
022
(х) J ’ 
' ’ 
(х
2
+
1
)(х
2
021
(х) = X3 \ / l + Х2, 
022 (х) =
д
/2
+ cos 
2
х
+ 2 ) ’ 
“12^ ' ) 
х4 + Зх2 + 2 ’
О < х < 1.
◄ Согласно формуле (
1
), п. 3.3, имеем
1
/
А(х) dx —
/ 1 
1
/ / a n (x ) d x f a i
2
(х) dx
f a
2
i (x)dx f  
022
(х) dx
и решение примера сводится к вычислению четырех интегралов.
Интегрируя тождество
( я 2 + 1 ) ( * 2 + 2 ) — * 2 + 1 
* 2 + 2 ’ н а х о д и м
I
/
, . , 
, 
1
X
о n ( x ) o x = I arctg х ---- — arctg
\/2
л
/2
7Г 
1 
1
= т ---- ;= arctg -—г.
о 
4
V
2
л
/2
Поскольку 
д
4
+
з
12
Т
2
= РТГ ~ 7 ^ и xто
) \ _
1
, х
2
+
1
+
2
) 
2
П X
2
+
2
= l (
in2_i„I) = I,ni.
2
V 3 
2
/
2
3
Так как х
3
dx =
j x 2 
rf(l +
х2) =
|((1
+ х2) 
— 
1
) d(\ 
+ х2), 
то 
1
1
^  
021
(х) dx — — 
^*((1 
+
x 'j-l — (T 't-x )3 j(/^ l-f‘ X ) 
—
14(1
+
х
2)
з
- - ( ! + * )
з
Принимая во внимание тождество 2 + cos 
2
х = 3 — 2 sin х , находим
1
-£ (« * ♦ § )■
о 
о
Окончательно получаем
/ 7 - Т75 arctS Т7?
1 =
* 4
V
4 
Л  
х/5
s(v^+!) ^ arcsin (\/tsinl

Упражнения для самостоятельной работы
Вычислить следующие интегралы:
3
/ 
, 
\
2
 
( - я 1 ■
cos
5
xVsm х \
63. f f ( x ) d x , f ( x ) = 
, ( ,
10
^ ) ) •
64. f A(x)dx, А ( х ) = I 
]•
2
® 
\
у / 2 —х
l + C O S 2 X
}
65. f A ( x ) f ( x ) d x , А(х) = ( ^
% ), f(x) = (In
2
х, arc tg i). 
. ‘х

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: