§ 5. Функции ограниченной вариации

314
Гл. 4. Определенный интеграл
где 
inf 
{«7(0} О * ^
SUP 
{«/(<)}.
Следовательно, f \ g \ d t ^ V(f; а, х) < / \g\dt, а так как д 
6
Я [а, 4], то и |«
7
| € Я[а, 
6
], в
X 
N
силу чего V{f; а, х) = / |f/(t)| dt. По теореме 
4
имеем
а
р(х) - д{х)
X 
X
= J
9{t)dt, 
p(x) + q(x) =
j
|«7(0|d<.
Следовательно,
X
X
x
X
P(*) = \ J
9
( t ) { l + s g n g ( t ) ) d t = J g + ( t ) d t , q(x) = ^ J g(t)(sgn g(t) - 1) dt = J g~(t)dt.
1 1 2 .
Пусть / : [ « , / ? ] —*■
R 
—
функция ограниченной вариации на сегменте [ft, /?], а 
функция F  : [а, Ь] —«• R удовлетворяет условию Липшица на сегменте [а, Ь], причем [а, Ь] Э 
/([ft, /?])• Доказать, что композиция F 
о
/ есть функция ограниченной вариации на сегменте
[«. 
Р]-
◄ Функция F удовлетворяет условию Липшица на сегменте [а, Ь] , если существует такое 
число L = const, что Vxi, Х
2
€ [а, 
6
] =s- |F (x i) - Г(х2)| < £ |x i - х2|.
Пусть П — произвольное разбиение сегмента [ft, 0\. Тогда получим
гг — 1 
тг—1
Vn(F о / ; ft, р) = Y , \ F ( f ( U +i)) - F{f(t,))\ ^ . L  £
|/(*i+ i) - /(<01 = LVu(/; «, p).
i=o 
;=o
Из полученного неравенства следует, что композиция F o f  имеет ограниченную вариацию 
на сегменте [ft, /3]. ►
Упражнения для самостоятельной работы
100. Пусть / : [а, Ь] —►
К — функция ограниченной вариации на сегменте [а, 
6
], a tp : 
[а, 
Р]
—►
R — монотонная функция и [а, Ь] Э <^([а, /?]). Доказать, что композиция / о ip 
является функцией ограниченной вариации на сегменте [о, р].
X
101. Доказать, что полная вариация функции F : 
х
 
«-> f f (t )d t , а ^
х
 
^ Ь, / g Л [а, Ь],
а
равна
j\f{t )\ dt .
а
102. Доказать, что если функция х «—►
/ ( х ), а <С х ^.Ь, имеет ограниченную вариацию на 
сегменте [о, 
6
] и |/(х )| > е > 0 Ух G [а, Ь], то функция х «-+ у щ ,  а ^ х 
Ь, также является 
функцией ограниченной вариации на этом сегменте.
103. Вычислить: 
a) 
V(sinx; 
0
, 2ж); б) V(cosx; 
0
, 2ir).
104. Вычислить функции положительной, отрицательной и полной вариаций функции 
х «-►[*] — х, 
0
5
$ х 2
.
§ 6. П рилож ение определенного интеграла к 
решению задач геометрии
6
.
1
. Длина дуги спрямляемой кривой.
О п ред елен и е 
1
. Путем в R’n будем называть непрерывное отображение f : [а, Ь] —*• 
Rm, [а, Ь] С R.

§ 6. Приложение определенного интеграла
315
О п ред елен и е 
2
. Если непрерывное отображение f : [о, 
6
] —►
Rm биективно, то путь 
будем называть дугой.
О п ред елен и е 3. Следом дуги f : [а, Ь] —*■
Rm или кривой у называется образ сегмента 
[а, Ь] при отображении f :
у -  {у € Rm : Уз = />(х), а ^ X ^ Ъ, j  = 1, w}. 
. ,
О п ред елен и е 4. Пусть f — дуга в пространстве Rm. Если f (а) = f (
6
) u f(x i) ф f ( x
2
) 
Эля любой пары различных точек i i и Х
2
из интервала ]а, Ь[, то кривая у называется 
простой замкнутой кривой.
О п ред елен и е 5. Кривая у спрямляема, если вектор-функция f имеет ограниченную 
вариацию на сегменте [а, Ь], а длиной кривой у будем называть полную вариацию V(f; а, Ъ).
Теорема. Если вектор-функция f : [о, 
6
] —►
Rm непрерывна на сегменте [а, Ь], то 
кривая у спрямляема, а ее длина I может быть вычислена по формуле
f  
'
1= I \f'(x)\dx, 
(
1
)
а
где |f'(*)| = ^ /
1
,2(*) + /
2
2( * ) + и--- + /£(*)■ 
:
Рассмотрим частный случай теоремы, когда т = 
2
, а кривая у задана параметрическими 
уравнениями х =
= ’’/’(t), а ^ t ^ /3. Тогда |f'(t)| = ^ /V
2
(t) + Ф,2(<) и формула (1) 
принимает вид
13
I =
J
\Z
(
2
)
а
Для случая m = 3, когда кривая у задана параметрическими уравнениями х — 
у = 
z — x{t), ft ^ t ^ fi, при выполнении всех условий теоремы имеем
0
I
 = 
J
 
+ 
+ 
(з)
ск
В частном случае, когда кривая у в R
2
представлена в виде f i(x) = х, /г(х) = /(*),. 
а ^ х ^ Ь, где / : [a, b] —> R, /
6
 
6
], формула (2) принимает вид 
; >
■
6
1 = 
j
 
\ / l + / e (x)dx. 
.(4).
а
Если же кривая 
7
в R
2
задана в полярной системе координат, т. е. параметрическими 
уравнениями 
. г
X = p{
у = p(¥>)sinyj, 
р : [v>0, 
-*■ К+ , 
Р € 
уч],
• 
: 1
то формула (
2
) принимает вид 
...
V
>2
1 = j
 v V M
+ Pa W ) d
 
(5)
V I
В частном случае, когда кривая в полярной системе координат задана в виде <р = <р(р), 
pi ^ Р $ Р
2
> то в интеграле (5) следует произвести замену переменной.- После замены получим 
следующую формулу:
^ = j
х / 1 + (Р¥>'(р))2 <*Р-
Р1
(6)

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: