Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл
§ 1. Производная явной функции
жүктеу/скачать 16,21 Mb. Pdf көрінісі
|
Anti-Demidovich Lyashko I I i dr Tom 1 Vvedenie v matematicheskij analiz proizvodnaja integral 2001 ru T 358s
§ 1. Производная явной функции 125 V ±f {x) = lim ' f ( x + h ) - f ( x ) h-*± 0 V ±f ( x) = Jim _ Дг.+ьЬ »?1 для функций: , , J *sin x > 0 , x J 0 , 1 * < 0 ; 66 . Найти D 2 0( x ), если Dl(x) a-»± о axsin 2 - + bxcos2 x Ф 0 , 0 , 1 = 0 . Dk+i(x) = * = 1 , 19 , D o = 1 , = i . ( l - x 2!?2^ ) ) ! ) * . , ^ ) ’ Указание. Функцию D* искать в виде £*(*)= где Л, a, 6 — функции, подлежащие определению. Вычислить производные функций / , если: 67. / : х ь-»■ / *з 2 ' СЛИ [Ж| ^ 68 . / : а: и-. И ([х] - ( - 1 ) [х] cos тгх) , х > 0. 4 — -+- з sgn ш, если |х| > 1 . х 4 ' ' 69. / : х 1 -> | + \ (г - [х] - j ) (l - 2 \х - [г] - | | ) . 70. Доказать, что множество точек, где функция / имеет неравные правую и левую производные, не более чем счетно. 71. Показать на примерах, что в общем случае f+(x0) Ф /'(хо + 0 ) и fL(xo) Ф /'(хо - 0 ). 72. Можно ли утверждать, что если /'(х о -+• 0) = /'(х о — 0), то функция / непрерывна в точке хо? 73. Производная для последовательности (х п) определяется по формуле Xт[ — Xт 1+1 X,i, 11 £ I n . Найти: а) (хпуп)'\ б) (1пх„)'; в) (е1" )'; г) ( хп + уп)'; д) 0 ( х „ ) ) '; е) ; ж) (2П)'; з) (sin » 2)'; и) (a rc tg » )'. 74. Написать уравнение касательной к кривой, радиус-вектор которой а) f (t) = (sin f, cost, 4t), в точке M ^ ; б) f (t) = (a rc tg t2, arcsint, sh t, c h t), в точке M (0, 0, 0, 1). 75. Написать уравнение нормальной плоскости к кривой, радиус-вектор которой а) f (t) = (t, t 2, t3), в точке M( 1, 1, 1); б) f (t) = In |/ ( t ) |, at 2, tcli t, sh t^j при t = 1, где a = \ J ^ — e-2 — 1. 76. Найти угол между кривыми в точке их пересечения, если радиусы-векторы кривых f)(t) и f* 2 (t) описываются формулами: а) fi(t) = (e- 2 t, th t) , f2(t) = (t + 1, sin 3t, tesh '); б) fi(t) = (t, t 2, t 3, t 4, t&), f2(t) = (sint, sin 2t, sin 3t, sin4t, sin5t). 77. Показать, что вектор-функция X : 1 1 —► (sin t, — cos t, e_ t)T удовлетворяет уравнению X '(f) = A (t)X (t) + f ( t) , где i 1 A(t) = cos t sin t \ In |t| tg tln |t| 78. Подобрать вектор-функцию f так, чтобы вектор-функция X : t (t, t 2, t3) удовле творяла уравнению / —2t 2 t -3 \ X '(t) = A(t) X (t) + f (t), где A(t) = I 0 - t 1 I . V t -1 0 0 / 126 Гл. 2 . Дифференциальное исчисление функций одной переменной — sin t \ / 2 cos t t 4 I , f ( t ) = I s in t —t 4e-£ t ) \ — e f(l + 1) 79. Показать, что вектор-функция Х : ( н diag A(t) удовлетворяет уравнению X '(t) = A (t)X (t) + f ( t) , где A(t) = sin t cos t sin t — cos t жүктеу/скачать 16,21 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|