В повседневной жизни и при изучении других предметов

58 

 

   составлять и решать линейные и квадратные уравнения, уравнения, к ним сводящиеся, 

системы линейных уравнений, неравенств при решении задач других учебных предметов; 

    выполнять  оценку  правдоподобия  результатов,  получаемых  при  решении  линейных  и 

квадратных  уравнений  и  систем  линейных  уравнений  и  неравенств  при  решении  задач 

других учебных предметов;  

  выбирать  соответствующие  уравнения,  неравенства  или  их  системы  для  составления 

математической модели заданной реальной ситуации или прикладной задачи;  

 уметь интерпретировать полученный при решении уравнения, неравенства или системы 

результат в контексте заданной реальной ситуации или прикладной задачи. 

 Функции 

    Оперировать  понятиями:  функциональная  зависимость,  функция,  график  функции, 

способы  задания  функции,  аргумент  и  значение  функции,  область  определения  и 

множество  значений  функции,  нули  функции,  промежутки  знакопостоянства, 

монотонность функции, четность/нечетность функции;  

  строить  графики  линейной,  квадратичной  функций,  обратной  пропорциональности, 

функции вида: k y a x b       , y   x , 3 y   x , y   x ; 

    на  примере  квадратичной  функции,  использовать  преобразования  графика  функции 

y=f(x) для построения графиков функций y   af  kx   b    c ; 

    составлять  уравнения  прямой  по  заданным  условиям:  проходящей  через  две  точки  с 

заданными  координатами,  проходящей  через  данную  точку  и  параллельной  данной 

прямой; 

   исследовать функцию по ее графику; 

    находить  множество  значений,  нули,  промежутки  знакопостоянства,  монотонности 

квадратичной функции;  

 

оперировать 

понятиями: 

последовательность, 

арифметическая 

прогрессия, 

геометрическая  прогрессия;    решать  задачи  на  арифметическую  и  геометрическую 

прогрессию 

. В повседневной жизни и при изучении других предметов: 

    иллюстрировать  с  помощью  графика  реальную  зависимость  или  процесс  по  их 

характеристикам;   использовать свойства и график квадратичной функции при решении 

задач из других учебных предметов. 

 Текстовые задачи 

    Решать  простые  и  сложные  задачи  разных  типов,  а  также  задачи  повышенной 

трудности; 

   использовать разные краткие записи как модели текстов сложных задач для построения 

поисковой схемы и решения задач; 

    различать  модель  текста  и  модель  решения  задачи,  конструировать  к  одной  модели 

решения несложной задачи разные модели текста задачи; 

59 

 

    знать  и  применять  оба  способа  поиска  решения  задач  (от  требования  к  условию  и  от 

условия к требованию); 

   моделировать рассуждения при поиске решения задач с помощью граф- схемы; 

   выделять этапы решения задачи и содержание каждого этапа; 

    уметь  выбирать  оптимальный  метод  решения  задачи  и  осознавать  выбор  метода, 

рассматривать различные методы, находить разные решения задачи, если возможно;  

 анализировать затруднения при решении задач; 

    выполнять  различные  преобразования  предложенной  задачи,  конструировать  новые 

задачи из данной, в том числе обратные;  

  интерпретировать  вычислительные  результаты  в  задаче,  исследовать  полученное 

решение задачи; 

    анализировать  всевозможные  ситуации  взаимного  расположения  двух  объектов  и 

изменение их характеристик при совместном движении (скорость, время, расстояние) при 

решении  задач  на  движение  двух  объектов  как  в  одном,  так  и  в  противоположных 

направлениях; 

    исследовать  всевозможные  ситуации  при  решении  задач  на  движение  по  реке, 

рассматривать разные системы отсчета; 

   решать разнообразные задачи «на части», 

    решать  и  обосновывать  свое  решение  задач  (выделять  математическую  основу)  на 

нахождение части числа и числа по его части на основе конкретного смысла дроби; 

   осознавать и объяснять идентичность задач разных типов, связывающих три величины 

(на работу, на покупки, на движение), выделять эти величины и отношения между ними, 

применять их при решении задач, конструировать собственные задач указанных типов;  

 владеть основными методами решения задач на смеси, сплавы, концентрации; 

   решать задачи на проценты, в том числе, сложные проценты с обоснованием, используя 

разные способы;  

 решать логические задачи разными способами, в том числе, с двумя  блоками и с тремя 

блоками данных с помощью таблиц;  

  решать  задачи  по  комбинаторике  и  теории  вероятностей  на  основе  использования 

изученных методов и обосновывать решение 

   решать несложные задачи по математической статистике; 

    овладеть  основными  методами  решения  сюжетных  задач:  арифметический, 

алгебраический, перебор вариантов, геометрический, графический, применять их в новых 

по сравнению с изученными ситуациях 

. В повседневной жизни и при изучении других предметов: 

    выделять  при  решении  задач  характеристики  рассматриваемой  в  задаче  ситуации, 

отличные от реальных (те, от которых абстрагировались), конструировать новые ситуации 

60 

 

с учетом этих характеристик, в частности, при решении задач на концентрации, учитывать 

плотность вещества; 

   решать и конструировать задачи на основе рассмотрения реальных ситуаций, в которых 

не требуется точный вычислительный результат 

;   решать задачи на движение по реке, рассматривая разные системы отсчета. Статистика 

и теория вероятностей 57 

   Оперировать понятиями: столбчатые и круговые диаграммы, таблицы данных, среднее 

арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения выборки, размах выборки, 

дисперсия и стандартное отклонение, случайная изменчивость;  

 извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках;  

 составлять таблицы, строить диаграммы и графики на основе данных; 

    оперировать  понятиями:  факториал  числа,  перестановки  и  сочетания,  треугольник 

Паскаля; 

   применять правило произведения при решении комбинаторных задач; 

    оперировать понятиями:  случайный опыт, случайный выбор,  испытание, элементарное 

случайное  событие  (исход),  классическое  определение  вероятности  случайного  события, 

операции над случайными событиями; 

   представлять информацию с помощью кругов Эйлера;  

  решать  задачи  на  вычисление  вероятности  с  подсчетом  количества  вариантов  с 

помощью комбинаторики.  

В повседневной жизни и при изучении других предметов:  

  извлекать,  интерпретировать  и  преобразовывать  информацию,  представленную  в 

таблицах,  на  диаграммах,  графиках,  отражающую  свойства  и  характеристики  реальных 

процессов и явлений; 

    определять  статистические  характеристики  выборок  по  таблицам,  диаграммам, 

графикам, выполнять сравнение в зависимости от цели решения задачи; 

   оценивать вероятность реальных событий и явлений. 

 Геометрические фигуры 

   Оперировать понятиями геометрических фигур;  

  извлекать,  интерпретировать  и  преобразовывать  информацию  о  геометрических 

фигурах, представленную на чертежах;  

  применять  геометрические  факты  для  решения  задач,  в  том  числе,  предполагающих 

несколько шагов решения; 

   формулировать в простейших случаях свойства и признаки фигур; 

    доказывать  геометрические  утверждения; 

  владеть  стандартной  классификацией 

плоских фигур (треугольников и четырехугольников).  

61 

 

В повседневной жизни и при изучении других предметов:  

  использовать  свойства  геометрических  фигур  для  решения  задач  практического 

характера и задач из смежных дисциплин. 

 Отношения  

  Оперировать  понятиями:  равенство  фигур,  равные  фигуры,  равенство  треугольников, 

параллельность  прямых,  перпендикулярность  прямых,  углы  между  прямыми, 

перпендикуляр,  наклонная,  проекция,  подобие  фигур,  подобные  фигуры,  подобные 

треугольники; 

   применять теорему Фалеса и теорему о пропорциональных отрезках при решении задач; 

   характеризовать взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей. 

 В повседневной жизни и при изучении других предметов: 

   использовать отношения для решения задач, возникающих в реальной жизни. 

 Измерения и вычисления 

    Оперировать  представлениями  о  длине,  площади,  объеме  как  величинами.  Применять 

теорему  Пифагора,  формулы  площади,  объема  при  решении  многошаговых  задач,  в 

которых  не  все  данные  представлены  явно,  а  требуют  вычислений,  оперировать  более 

широким  количеством  формул  длины,  площади,  объема,  вычислять  характеристики 

комбинаций  фигур  (окружностей  и  многоугольников)  вычислять  расстояния  между 

фигурами,  применять  тригонометрические  формулы  для  вычислений  в  более  сложных 

случаях, проводить вычисления на основе равновеликости и равносоставленности;  

 проводить простые вычисления на объемных телах;  

 формулировать задачи на вычисление длин, площадей и объемов и решать их. 

 В повседневной жизни и при изучении других предметов:  

 проводить вычисления на местности; 

    применять  формулы  при  вычислениях  в  смежных  учебных  предметах,  в  окружающей 

действительности. Геометрические построения  

 Изображать геометрические фигуры по текстовому и символьному описанию;  

 свободно оперировать чертежными инструментами в несложных случаях, 

    выполнять  построения  треугольников,  применять  отдельные  методы  построений 

циркулем и линейкой и проводить простейшие исследования числа решений; 

    изображать  типовые  плоские  фигуры  и  объемные  тела  с  помощью  простейших 

компьютерных инструментов.  

В повседневной жизни и при изучении других предметов: 

    выполнять  простейшие  построения  на  местности,  необходимые  в  реальной  жизни;   

оценивать размеры реальных объектов окружающего мира 

. Преобразования 

62 

 

    Оперировать  понятием  движения  и  преобразования  подобия,  владеть  приемами 

построения  фигур  с  использованием  движений  и  преобразований  подобия,  применять 

полученные  знания  и  опыт  построений  в  смежных  предметах  и  в  реальных  ситуациях 

окружающего мира; 

   строить фигуру, подобную данной, пользоваться свойствами подобия для обоснования 

свойств фигур;   применять свойства движений для проведения простейших обоснований 

свойств фигур. 

 В повседневной жизни и при изучении других предметов: 

   применять свойства движений и применять подобие для построений и вычислений. 

 Векторы и координаты на плоскости  

  Оперировать  понятиями  вектор,  сумма,  разность  векторов,  произведение  вектора  на 

число,  угол  между  векторами,  скалярное  произведение  векторов,  координаты  на 

плоскости, координаты вектора; 

    выполнять  действия  над  векторами  (сложение,  вычитание,  умножение  на  число), 

вычислять  скалярное  произведение,  определять  в  простейших  случаях  угол  между 

векторами,  выполнять  разложение  вектора  на  составляющие,  применять  полученные 

знания  в  физике,  пользоваться  формулой  вычисления  расстояния  между  точками  по 

известным координатам, использовать уравнения фигур для решения задач; 

    применять  векторы  и  координаты  для  решения  геометрических  задач  на  вычисление 

длин, углов. 59 

 В повседневной жизни и при изучении других предметов:  

 использовать понятия векторов и координат  для решения задач по физике, географии и 

другим учебным предметам. 

 История математики 

    Характеризовать  вклад  выдающихся  математиков  в  развитие  математики  и  иных 

научных областей;   понимать роль математики в развитии России. Методы математики 

   Используя изученные методы, проводить доказательство, выполнять опровержение;  

 выбирать изученные методы и их комбинации для решения математических задач;  

  использовать  математические  знания  для  описания  закономерностей  в  окружающей 

действительности и произведениях искусства; 

    применять  простейшие  программные  средства  и  электронно-  коммуникационные 

системы при решении математических задач.  

Обучающийся  получит  возможность  научиться  в  7-9  классах  для  успешного 

продолжения  образования  на  углубленном  уровне  Элементы  теории  множеств  и 

математической логики  

  Свободно  оперировать  понятиями:  множество,  характеристики  множества,  элемент 

множества, пустое, конечное и бесконечное множество, подмножество, принадлежность, 

включение, равенство множеств, способы задание множества;  

63 

 

 задавать множества разными способами; 

   проверять выполнение характеристического свойства множества;  

 свободно оперировать понятиями: высказывание, истинность и ложность высказывания, 

сложные  и  простые  высказывания,  отрицание  высказываний;  истинность  и  ложность 

утверждения  и  его  отрицания,  операции  над  высказываниями:  и,  или,  не;  условные 

высказывания (импликации); 

   строить высказывания с использованием законов алгебры высказываний. 

 В повседневной жизни и при изучении других предметов: 

   строить рассуждения на основе использования правил логики; 

    использовать  множества,  операции  с  множествами,  их  графическое  представление  для 

описания реальных процессов и явлений, при решении задач других учебных предметов. 

 Числа 

    Свободно  оперировать  понятиями:  натуральное  число,  множество  натуральных  чисел, 

целое число, множество целых чисел, обыкновенная дробь, десятичная дробь, смешанное 

число,  рациональное  число,  множество  рациональных  чисел,  иррациональное  число, 

корень  степени  n,  действительное  число,  множество  действительных  чисел, 

геометрическая  интерпретация  натуральных,  целых,  рациональных,  действительных 

чисел;  

 понимать и объяснять разницу между позиционной и непозиционной системами записи 

чисел; 

   переводить числа из одной системы записи (системы счисления) в другую; 

    доказывать  и  использовать  признаки  делимости  на  2,  4,  8,  5,  3,  6,  9,  10,  11  суммы  и 

произведения  чисел  при  выполнении  вычислений  и  решении  задач;    выполнять 

округление  рациональных  и  иррациональных  чисел  с  заданной  точностью;    сравнивать 

действительные числа разными способами; 60   упорядочивать числа, записанные в виде 

обыкновенной и десятичной дроби, числа, записанные с использованием арифметического 

квадратного  корня,  корней  степени  больше  2;    находить  НОД  и  НОК  чисел  разными 

способами и использовать их при решении задач;  

  выполнять  вычисления  и  преобразования  выражений,  содержащих  действительные 

числа, в том числе корни натуральных степеней. 

 В повседневной жизни и при изучении других предметов:  

  выполнять  и  объяснять  результаты  сравнения  результатов  вычислений  при  решении 

практических  задач,  в том  числе  приближенных  вычислений, используя  разные  способы 

сравнений;  

  записывать,  сравнивать,  округлять  числовые  данные  реальных  величин  с 

использованием разных систем измерения; 

    составлять  и  оценивать  разными  способами  числовые  выражения  при  решении 

практических задач и задач из других учебных предметов.  

64 

 

Тождественные преобразования  

 Свободно оперировать понятиями степени с целым и дробным показателем;  

  выполнять  доказательство  свойств  степени  с  целыми  и  дробными  показателями;   

оперировать  понятиями  «одночлен»,  «многочлен»,  «многочлен  с  одной  переменной», 

«многочлен  с  несколькими  переменными»,  коэффициенты  многочлена,  «стандартная 

запись многочлена», степень одночлена и многочлена; 

   свободно владеть приемами преобразования целых и дробно-рациональных выражений; 

    выполнять  разложение  многочленов  на  множители  разными  способами,  с 

использованием комбинаций различных приемов;  

  использовать  теорему  Виета  и  теорему,  обратную  теореме  Виета,  для  поиска  корней 

квадратного трехчлена и для решения задач, в том числе задач с параметрами на основе 

квадратного трехчлена 

;   выполнять деление многочлена на многочлен с остатком; 

   доказывать свойства квадратных корней и корней степени n; 

    выполнять  преобразования  выражений,  содержащих  квадратные  корни,  корни  степени 

n; 

    свободно  оперировать  понятиями  «тождество»,  «тождество  на  множестве», 

«тождественное преобразование»; 

   выполнять различные преобразования выражений, содержащих модули. 

 В повседневной жизни и при изучении других предметов: 

    выполнять  преобразования  и  действия  с  буквенными  выражениями,  числовые 

коэффициенты которых записаны в стандартном виде; 

    выполнять  преобразования  рациональных  выражений  при  решении  задач  других 

учебных  предметов;    выполнять  проверку  правдоподобия  физических  и  химических 

формул на основе сравнения размерностей и валентностей. 

 Уравнения и неравенства  

  Свободно  оперировать  понятиями:  уравнение,  неравенство,  равносильные  уравнения  и 

неравенства,  уравнение,  являющееся  следствием  другого  уравнения,  уравнения, 

равносильные на множестве, равносильные преобразования уравнений; 61 

    решать  разные  виды  уравнений  и  неравенств  и  их  систем,  в  том  числе  некоторые 

уравнения 3 и 4 степеней, дробно-рациональные и иррациональные; 

   знать теорему Виета для уравнений степени выше второй; 

   понимать смысл теорем о равносильных и неравносильных преобразованиях уравнений 

и уметь их доказывать;  

 владеть разными методами решения уравнений, неравенств и их систем, уметь выбирать 

метод решения и обосновывать свой выбор;  

65 

 

  использовать  метод  интервалов  для  решения  неравенств,  в  том  числе  дробно- 

рациональных и включающих в себя иррациональные выражения;  

  решать  алгебраические  уравнения  и  неравенства  и  их  системы  с  параметрами 

алгебраическим и графическим методами; 

   владеть разными методами доказательства неравенств; 

   решать уравнения в целых числах;  

  изображать  множества  на  плоскости,  задаваемые  уравнениями,  неравенствами  и  их 

системами. В повседневной жизни и при изучении других предметов: 

    составлять  и  решать  уравнения,  неравенства,  их  системы  при  решении  задач  других 

учебных предметов;  

выполнять  оценку  правдоподобия  результатов,  получаемых  при  решении  различных 

уравнений, неравенств и их систем при решении задач других учебных предметов; 

   составлять и решать уравнения и неравенства с параметрами при решении задач других 

учебных предметов;  

  составлять  уравнение,  неравенство  или  их  систему,  описывающие  реальную  ситуацию 

или прикладную задачу, интерпретировать полученные результаты. 

 Функции  

  Свободно  оперировать  понятиями:  зависимость,  функциональная  зависимость, 

зависимая  и  независимая  переменные,  функция,  способы  задания  функции,  аргумент  и 

значение функции, область определения и множество значения функции, нули функции, 

промежутки  знакопостоянства,  монотонность  функции,  наибольшее  и  наименьшее 

значения,  четность/нечетность  функции,  периодичность  функции,  график  функции, 

вертикальная, горизонтальная, наклонная асимптоты; график зависимости, не являющейся 

функцией, 

    строить  графики  функций:  линейной,  квадратичной,  дробно-линейной,  степенной  при 

разных значениях показателя степени, y   x ; 

    использовать  преобразования  графика  функции  y    f  x   для  построения  графиков 

функций y   af  kx   b    c ; 

   анализировать свойства функций и вид графика в зависимости от параметров; 

   

свободно 

оперировать 

понятиями: 

последовательность, 

ограниченная 

последовательность,  монотонно  возрастающая  (убывающая)  последовательность,  предел 

последовательности, 

арифметическая 

прогрессия, 

геометрическая 

прогрессия, 

характеристическое свойство арифметической (геометрической) прогрессии; 

    использовать  метод  математической  индукции  для  вывода  формул,  доказательства 

равенств и неравенств, решения задач на делимость; 

   исследовать последовательности, заданные рекуррентно; 

   решать комбинированные задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии. 

жүктеу/скачать 3,22 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: