Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы а. Т. Мусин математика II

1
ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ 
ЖОҒАРЫ ОҚУ ОРЫНДАРЫНЫҢ ҚАУЫМДАСТЫҒЫ 
А. Т. Мусин
МАТЕМАТИКА II
(Лекциялар. Тесттер жинағы)
Оқу құралы
Алматы, 2012

2
ƏОЖ 510(075.8)
КБЖ 22.1я73
М 79
ISBN 978-601-217-301-7 
ƏОЖ 510(075.8)
КБЖ 22.1я3 
© Мусин А. Т., 2012
© ҚР Жоғары оқу орындарының
    қауымдастығы, 2012
М 79
Баспаға Қарағанды «Болашақ» университетінің
Ғылыми Кеңесі ұсынған
Пікір жазғандар:
физика-математика ғылымдарының докторы, профессор Е. С. Смаилов;
физика-математика ғылымдарының докторы, профессор М. И. Рамазанов;
физика-математика ғылымдарының кандидаты, доцент С. Қ. Пішенбаев.
Мусин А. Т. 
Математика ІI (Лекциялар. Тесттер жинағы): Оқу құралы. – 
Алматы: ЖШС РПБК «Дəуір», 2012. – 392 б.
ISBN 978-601-217-301-7
Ұсынылатын оқу құралы университеттердің математика, физика, меха-
ника, информатика, ақпараттық жүйелер жəне оларға жақын мамандарды 
дайындайтын факультеттердің студенттеріне арналып жазылған. Жоғары ма-
тематика курсының төмендегідей: көп айнымалыға тəуелді функциялардың 
дифференциалдық есептелінуі, дифференциалдық тең деулер, екі еселі жəне 
үш еселі интегралдар, қисықсызықты интегралдар, беттік интегралдар, өріс 
теориясы элементтері, ықтималдықтар теория сы жəне математикалық стати-
стика элементтері атаулы тарауларының қыс қаша мазмұндамасын қамтиды.
Соңғы жылдары университеттерде қалыптасқан бағдарламаға жəне 
жаңа оқу технологиясына сай жазылған.

3
I тарау. 
БІР ЖƏНЕ БІРНЕШЕ СКАЛЯР АРГУМЕНТТІ 
ВЕКТОР-ФУНКЦИЯЛАР
§ 1. Бір немесе бірнеше скаляр аргументті вектор-
функциялар. Олардың геометриялық мағынасы
Векторлық алгебраны пайдалану нəтижесінде аналитикалық 
геометрияның негізгі мəселелерін баяндау жеңілдене түседі. 
Осыған ұқсас векторлық анализ, яғни аргументтері немесе 
мəндері скаляр немесе вектор болып келетін функциялар теория-
сы дифференциалдық геометрияны оқып үйренуге көмектеседі.
1.1-анықтама. Бір Т облысында өзгеретін t
і 
(і = 1, 2, … n) ска-
лярлар жəне мəндерін 
3
R
A
∈
 векторлар жиынынан қабылдайтын 
айнымалы ā векторы берілсін. Егер Т облысынан алынған əрбір 
t
і
 скалярлар жинағына белгілі бір заңмен А жинағының бір ғана 
векторы сəйкес келсе, онда ā векторы n  скаляр аргументті 
вектор-функция деп аталып, былай белгіленеді
 
 
 
ā = ā(t
1
,...,t
n
)                                                   (1.1)
Жалпы, n скаляр аргументті вектор-функция дегеніміз - R
n
-
де жататын Т облысының А векторлар жиынына бейнеленуі.
Егер кеңістікте 
k
j
i
,
,
 векторлық базисі берілсе, онда ā 
векторының координаталарын x, y, z арқылы белгілеп,
ā = 
k
z
j
y
i
x
+
+
жіктемесіне келеміз (1-сурет).
1-сурет.

4
Сонымен, (1.1) вектор-функциясының берілуі сол аргу мент-
терге тəуелді 3 скаляр
 
 
 
      x = x (t
1
,…., t
n
),
 
 
 
       y = y (t
1
,…., t
n
),                                         (1.2)
 
 
 
      z = z (t
1
,…., t
n
)
функцияларының берілуіне пара-пар.
Бір жəне екі аргументті скаляр функциялары геометриялық 
тұрғыда қарапайым сипатталатындығы мəлім. Сол сияқты 
вектор-функцияның да геометриялық талқылауы бар екенін бол-
жау заңды. Ол геометриялық сипатты бір немесе екі аргументті 
вектор-функцияның барлық мəндерін кеңістіктің бір нүктесінен 
салғаннан алуға болады. Егер де бұл нүктені координаталар басы 
деп есептесе, онда вектор-функцияның барлық мəндері 
)
(t
r
r
=
 
немесе 
)
,
( v
u
r
r
=
 радиус-векторлары болады.
Мынадай анықтама енгізген қолайлы.
1.2-анықтама. Бір немесе екі аргументті вектор-функция-
ның барлық мəндері болып келетін радиус-векторлар ұшта-
рының геометриялық орны осы функцияның келбеті деп ата-
лады.
Аналитикалық геометрияда бет деп нүктелерінің декарт ко-
ординаталары
 
 
 
         F(x, y, z) = 0                                                (1.3)
теңдеуін қанағаттандыратын геометриялық орын, ал сызық деп 
нүктелерінің декарт координаталары сондай
 
 
                        
⎩
⎨
⎧
=
=
0
)
,
,
(
2
,
0
)
,
,
(
1
z
y
x
F
z
y
x
F
                                                  (1.4)
екі теңдеуді қанағаттандыратын геометриялық орнын атайды.
Дифференциалдық геометрияда сөз етілген ұғымдар үшін 
өзгеше анықтамалар алынады.
n = 1 болғанда, (1.2) 
 
 
                x = x(t),  y = y(t),  z = z(t)                                       (1.5)
түріне келеді.

5
Бұдан  t параметрінен құтылсақ (егер t өзгеру облысында 
ондай құтылу мүмкін болса), келбет (1.4) теңдеулер жүйесін 
қанағаттандыратын нүктелерден тұратындығын табамыз. 
Дəл сол сияқты (1.2)-ден n = 2 болғанда екі аргументті вектор-
функция келбеті нүктесінің координаталары үшін мынаны ала-
мыз:
x = x(t
1
, t
2
),  y= y (t
1
, t
2
),  z = z (t
1
, t
2
)
бұдан t
1
, t
2
 -ны шығарып тастап, (1.3) түріндегі теңдеуге келеміз.
Сонда мынадай негізгі нəтижеге келеміз:
Теорема  1.1.  Бір аргументті вектор-функция келбеті, жалпы 
айтқанда, сызық, екі аргументті вектор-функция келбеті, жалпы 
айтқанда, бет (2-сурет).
Қарапайым сызыққа өзімізге белгілі түзу сызық жатады. Оның 
теңдеуі аналитикалық геометрияда 
 
 
 
           
l
t
r
r
+
=
0
                                                                                  (1.6)
түрінде жазылады, мұнда 
0
r
 жəне 
l
 - тұрақты, ал 
r
 - айнымалы 
вектор. Айнымалы 
r
 радиус-векторын бір аргументті қарапайым 
вектор-функция ретінде қарастыруға болады (3-сурет).
3-сурет                                      4-сурет  
2-сурет

6
Жазықтықтың теңдеуін екі аргументті вектор-функция ар-
қылы жазуға болады. Тұрақты радиус-векторлары 
3
2
1
,
, r
r
r
 бо-
латын үш нүкте арқылы өткен жазықтықтың теңдеуі 
0
)
,
,
(
=
−
c
b
a
r
                                   (1.7)
түрінде жазылады, мұнда 
1
3
1
2
1
,
,
r
r
c
r
r
b
r
a
−
=
−
=
=
 (4-сурет).
Бірақ 
b
a
r
,
−
, жəне 
c
 векторларының компланарлық шартын 
тек (1.7) түрінде ғана емес, былай да 
c
v
b
u
a
r
+
=
−
немесе
 
 
 
    
c
v
b
u
a
r
+
+
=
                                                (1.8)
түрінде жазуға болады, мұндағы u жəне v - параметрлер, ал 
r
 
олардың функциясы.
§2. Векторларға қатысты шек теориясы
Вектор-функциялардың геометриялық мағынасын ашқаннан 
кейін оларға анализдің негізгі ұғымдарын таратқан жөн. Сəл 
өзгешелігі бар екі вектордың модуль бойынша айырмасы да 
кіші болған соң, айнымалы вектордың шек ұғымын айнымалы 
скалярдың шек ұғымына келтіретіндей етіп енгізген жөн.
1.3-анықтама. 
)
(t
a
 - айнымалы, 
0
a
 - тұрақты вектор, 
0
t
 - 
тұрақты сан болсын. Егер t аргументі t
0
 cанына ұмтылғанда
 
 
 
      
0
)
(
lim
0
0
=
−
→
a
t
a
t
t
                                               (1.9)
болса, онда 
0
a
 векторын 
)
(t
a
 векторының шегі дейміз.
Енді векторларға арналған шек қағидасының негізгі тео ре-
маларын дəлелдейік.
Теорема 1.2. Егер айнымалы вектордың шегі бар болса, онда 
оның модулінің де шегі бар жəне ол шектің модуліне тең, яғни
0
)
(
lim
0
a
t
a
t
t
=
→
                              (1.10)

7
Дəлелдеме. Шектің анықтамасы бойынша 
0
)
(
lim
0
0
=
−
→
a
t
a
t
t
                                   (1.11)
болатындығы дəлелдену керек.
Үшбұрыштың белгілі қасиеті бойынша (үшбұрыштың кез 
келген қабырғасы қалған 2 қабырғасының қосындысынан арт-
пайды жəне олардың айырымынан кем емес) (5-сурет): 
0
0
)
(
)
(
a
t
a
a
t
a
−
≤
−
Олай болса (1.9) бірден (1.11)-ге келтіреді. Төмендегі теоре-
ма лардың  тұжырымдарында 
)
(
),
(
t
b
t
a
 вектор-функция ларының, 
m(t),  n(t),… скаляр функцияларының t -ның t
0
 -ге ұмтылғанда 
шектері бар жəне олар сəйкес 
,...
,
,...,
,
0
0
0
0
n
m
b
a
 ге тең деп санай-
мыз, яғни
 
 
        
,...
)
(
lim
,
)
(
lim
0
0
0
0
b
t
b
a
t
a
t
t
t
t
=
=
→
→
                               (1.12)
 
 
     
,...
)
(
lim
,
)
(
lim
0
0
0
0
n
t
n
m
t
m
t
t
t
t
=
=
→
→
   
Теорема 1.3. Вектор-функциялар қосындысының шегі бар 
жəне ол қосылғыш вектор-функциялар шектерінің қосындысына 
тең.
Дəлелдеме. Екі вектор-функцияның қосындысын алайық: 
).
(
)
(
t
b
t
a
+
. Векторлар қосындысының модулі олардың модуль-
дерінің қосындысынан артпайтындықтан,
{
} {
}
{
}
{
}
.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
0
0
0
0
b
t
b
a
t
a
b
t
b
a
t
a
b
a
t
b
t
a
−
+
−
≤
−
+
−
=
+
−
+
Соңғы қосындыдағы əр қосылғыш (1.9) жəне (1.12)-ге сүйене 
отырып, нөлге ұмтылады.
Демек
{
} {
}
0
)
(
)
(
0
0
→
+
−
+
b
a
t
b
t
a

8
Олай болса 
 
{
}
)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim
0
0
0
0
0
t
b
t
a
b
a
t
b
t
a
t
t
t
t
t
t
→
→
→
+
=
+
=
+
.           (1.13)
Теорема 1.4. 
m t a t
a t b t
( ) ( ), ( ( ), ( ))
⋅
, 
)
(
)
(
t
b
t
a
×
 түрін дегі көбей-
тінділердің шектері бар жəне олар сəйкес 
0
0
0
0
0
0
,
,
b
a
b
a
a
m
×
⋅
⋅
 
көбейтін ділеріне  тең.
Дəлелдеме.
 
{
} {
}
0
0
0
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
a
m
t
m
a
t
a
t
m
a
m
t
a
t
m
−
+
−
=
−
теңдігінен 
 
0
0
0
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
a
m
t
m
a
t
a
t
m
a
m
t
a
t
m
−
+
−
≤
−
болатыны шығады. (1.12) қатынастарының күшімен соңғы теңсіз-
дік тің оң жағындағы 
0
)
(
a
t
a
−
 жəне 
0
)
(
m
t
m
−
 көбейткіш тері 
0
t
t
→
 жағдайында нөлге ұмтылады. Олай болса
 
0
)
(
)
(
lim
0
0
0
=
−
→
a
m
t
a
t
m
t
t
яғни 
 
.
)
(
)
(
lim
0
0
0
a
m
t
a
t
m
t
t
=
→
Əрі қарай, скаляр көбейтіндісінің белгілі қасиеттері бойынша 
 
(
)
(
)
0
0
0
0
0
)
(
,
))
(
,
)
(
(
)
,
(
)
(
),
(
b
t
b
a
t
b
a
t
a
b
a
t
b
t
a
−
+
−
=
−
.
Бұдан алдыңғыға ұқсас
 
(
)
0
0
0
0
0
)
(
,
))
(
,
)
(
(
)
,
(
))
(
),
(
(
b
t
b
a
t
b
a
t
a
b
a
t
b
t
a
−
+
−
≤
−
                              
Кез келген 
p
 жəне 
q
 векторлары үшін 
 
q
p
q
p
q
p
q
p
⋅
≤
⋅
⋅
=
⋅
)
,
cos(
 

9
болғандықтан,
a t b t
a b
a t
a b t
a b t
b
0
0
0
0
0
( ( ), ( )) ( , )
( ( )
( )
( )
−
≤
−
+
−
.
(1.12) қатынастары бойынша 
0
)
(
(
a
t
a
−
 жəне 
0
)
(
b
t
b
−
 
көбейткіштерінің нөлге ұмтылуынан жазылған теңсіздіктің оң 
жағы нөлге ұмтылады, демек
t
t
a t b t
a b
0
0
0
lim( ( ), ( ))
.
→
= ⋅
Енді кез келген 
p
 жəне 
q
 векторлары үшін
q
p
q
p
q
p
q
p
⋅
≤
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ∧
⋅
=
×
,
sin
болғандықтан
(
)
(
)
(
)
(
)
.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
b
t
b
a
t
b
a
t
a
b
t
b
a
t
b
a
t
a
b
t
b
a
t
b
a
t
a
b
a
t
b
t
a
−
⋅
+
⋅
−
≤
−
×
+
×
−
≤
≤
−
×
+
×
−
=
×
−
×
(1.12) қатынастарының күшімен теңсіздіктің оң жағы нөлге ұм-
тылады, демек
.
))
(
)
(
(
lim
0
0
0
b
a
t
b
t
a
t
t
×
=
×
→
Теорема дəлелденді.
§3. Вектор-функциялардың үзіліссіздігі мен 
дифференциалдануы. Вектор-функцияларды 
дифференциалдау ережелері
Вектор-функция ұғымының арқасында 1 аргументті вектор-
функциясы үзіліссіздігі мен дифференциалдануының анықта ма-
сын енгізейік.

10
1.4-анықтама. Егер
)
(
)
(
lim
0
0
t
a
t
a
t
t
=
→
                              (1.14)
болса, 
)
(t
a
 вектор-функциясы 
0
t
t
=
 мəнінде үзіліссіз деп 
аталады.
1.5-анықтама. 
)
(t
a
 вектор-функциясының 
)
(
)
(
)
(
lim
0
/
0
0
0
t
a
t
t
t
a
t
a
t
t
=
−
−
→
                         (1.15)
шегі бар болса, оны 
0
t
t
=
 мəнінде дифференциалданатын 
вектор-функция дейміз.
)
(
0
t
a
′
 векторы айтылған вектор-функцияның 
0
t
t
=
 нүкте-
сінде алынған туындысы делінеді. Егер 
)
(t
a
 вектор-функция-
сының туындысы 
2
1
t
t
t
≤
≤
 кесіндісінің əрбір t мəнінде бар бол-
са, онда 
)
(t
a
′
 функциясы t - ға тəуелді вектор-функция болады. 
Егер 
)
(t
a
′
 функциясы үзіліссіз жəне дифференциалдамалы бол-
са, оның туындысы 
)
(t
a
 вектор-функциясының екінші туынды-
сы деп аталады да, 
)
(t
a
′′
 деп белгіленеді.
Төменде екі жəне саны одан кем болмайтын скаляр аргумент-
ті вектор-функцияларды қарастырамыз. Бұл жағдайда кəдімгі 
анализдегідей дербес туындылар, аргументтерінің бірі арқылы 
туынды ретінде анықталады.
Вектор-функция шегінің қасиеттерін пайдалана отырып, век-
тор-функция үзіліссіздігінің төмендегі қасиеттерін дəлелдеу 
қиын емес:
1) үзіліссіз вектор-функциялардың қосындысы үзіліссіз век-
тор-функция болады;
2) үзіліссіз вектор-функциялардың (бірі скаляр, бірі вектор-
функ ция) 
)
(
)
(
t
a
t
m
 көбейтіндісі үзіліссіз вектор-функция;
3) үзіліссіз вектор-функциялардың скаляр көбейтіндісі үзіліс-
сіз функция;

11
4) екі үзіліссіз вектор-функциялардың векторлық көбей тіндісі 
үзіліссіз вектор-функция.
Енді вектор-функцияларды дифференциалдау ережелеріне 
тоқ  тайық.
Туындының 
)
(t
r
′
 белгілеуімен қатар, 
d r
dt
 белгілеуін қол-
данамыз.
Теорема 1.5. Векторлар қосындысының туындысы қосылғыш-
тардың туындыларының қосындысына  тең, яғни
{
}
d
da( t )
db ( t )
a( t ) b( t ) ....
...
dt
dt
dt
+
+
=
+
+
    (1.16)
Теңдеудің дəлелдеуін келесі теңдіктен алуға болады:
{
}
{
}
.....
)
(
)
(
...
....
)
(
)
(
0
0
0
0
0
0
0
+
−
−
+
−
−
=
−
+
+
−
+
+
t
t
b
t
b
t
t
a
t
a
t
t
b
a
t
b
t
a
Бұған қоса 1.3-теорема жəне 1.5-анықтаманы пайдалану ке-
рек.
Теорема 1.6. Скаляр функцияның вектор-функцияға көбейтін-
дісінің туындысы 
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
(
t
a
t
m
t
a
t
m
t
a
t
m
′
+
′
=
′
                 (1.17)
формуласы бойынша есептелінеді.
Теореманың дəлелдемесі
0
0
0
0
0
0
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
t
t
a
t
a
t
m
a
t
t
m
t
m
t
t
a
m
t
a
t
m
−
−
+
−
−
=
−
−
тендігі негізінде алынады.
Салдар. Векторлы немесе скалярлы тұрақты көбейткішті 
туынды белгісінің сыртына шығарып алуға болады, яғни 
const
c
const
=
=
,
λ
 болғанда

12
      
(
)
(
)
d
da( t )
d
dm( t )
a( t )
,
m( t )c
c
dt
dt
dt
dt
λ
λ
=
=
      (1.18)
Теорема 1.7. Вектор-функциялардың скаляр жəне векторлық 
көбейтінділерінің туындысы төмендегі формулалар арқылы 
есептеледі:
 
 
( )
d
da
db
a ,b
,b
a ,
dt
dt
dt
⎛
⎞
⎛
⎞
=
+
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
,                              (1.19)
 
 
(
)
d
da
db
a
b
b
a
dt
dt
dt
⎛
⎞
⎛
⎞
×
=
×
+
×
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
Бұл теореманың дəлелдемесі төмендегі 
(
) (
)
a t b t
a b
a t
a
b t
b
b t
a
t
t
t
t
t
t
0
0
0
0
0
0
0
0
( ), ( )
,
( )
( )
, ( )
,
,
−
⎛
⎞ ⎛
⎞
−
−
=
+
⎜
⎟ ⎜
⎟
−
−
−
⎝
⎠ ⎝
⎠
0
0
0
0
0
0
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
t
t
b
t
b
a
t
b
t
t
a
t
a
t
t
b
a
t
b
t
a
−
−
×
+
×
−
−
=
−
×
−
×
теңдіктерінен шығады.
Теорема 1.8. 1) t = t(s) скаляр функциясының қайсібір s=s
0
 
нүктесінде 
)
(
0
s
t
t
s
′
=
′
 туындысы болып; 2) 
)
(t
r
r
=
 вектор-
функцияcының сəйкес 
0
0
)
(
t
s
t
=
 нүктесінде 
)
(
0
/
t
r
r
t
′
=
 туындысы 
болсын. Сонда күрделі 
)
(
0
t
r
r
t
′
=
 вектор-функцияcының s = s
0
 
нүктесіндегі туындысы 
)
(t
r
 жəне 
)
(s
t
 функциялары туынды-
ларының көбейтіндісіне тең, яғни 
( )
( )
/
/
/
s
t
s
t
r
s
t
r
⋅
=
                               (1.20)
Теореманың дəлелдемесі

13
( )
( )
( )
(
) ( ) ( ) ( ) ( )
0
0
0
0
0
0
s
s
s
t
s
t
t
t
t
r
t
r
s
s
s
t
r
s
t
r
−
−
⋅
−
−
=
−
−
теңдігінен шығады, мұнда 
( )
0
0
s
t
t
=
.
Бұл теорема скаляр айнымалыны ауыстырғанда вектор-
функ 
ция туындысының бағыты өзгермейтінін, ал ұзындығы 
өзгеретінін көрсетеді. 1.5 - 1.8 теоремаларынан вектор-функция-
ларды дифференциалдаудың негізгі ережелері скаляр функ-
циялардың сəйкес ережелерімен беттесетіндігі шығады. Аралас 
көбейтіндінің туындысы
(
) (
) (
) (
)
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
′
+
′
+
′
=
′
,
,
,
,
,
,
,
,
              (1.21)
формуласы бойынша есептеледі.
Дербес туындыларды есептеу ережелері мен формулалары 
кəдімгі анализдегідей. Оларға мынадай белгілеулер қолданамыз
(
) ( )
,
,
,
lim
0
u
u
r
u
r
u
v
u
r
v
u
u
r
=
∂
∂
=
Δ
−
Δ
+
→
Δ
           (1.22)
                
(
) ( )
.
,
,
lim
0
v
v
r
v
r
r
v
u
r
v
v
u
r
=
∂
∂
=
Δ
−
Δ
+
→
Δ
Теорема 1.9. 
( )
t
r
 вектор-функциясының үзіліссіздігі мен 
дифференциалдануының қажетті жəне жеткілікті шарты оның 
x = x(t),  y = y(t),  z = z (t)
координаталарының үзіліссіздігі мен дифференциалдануында.
Дəлелдеме. Жеткіліктілікті дəлелдейік. x = x(t), y = y(t), z = z(t) 
скаляр функциялары үзіліссіз (дифференциалдамалы) болсын, 
онда қосынды мен көбейтіндінің үзіліссіздігі (дифференциалда-
ну)  қасиеттерінен
( ) ( )
( )
( )
k
t
z
j
t
y
i
t
x
t
r
+
+
=
вектор-функциясы үзіліссіз (дифференциалдамалы).

14
Қажеттілік. 
( )
t
r
 вектор-функциясы үзіліссіз (дифференци-
алдамалы) болсын. Скаляр көбейтіндісінің үзіліссіз (дифферен-
циалдамалы) болу қасиетінен
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
k
t
r
t
z
j
t
r
t
y
i
t
r
t
x
,
,
,
,
,
=
=
=
координаталарының да үзіліссіз (дифференциалдамалы) болатын-
дығы шығады. Теорема дəлелденді.