Учебное пособие для студентов направления «Педагогическое образование»

9 
свойств. Таким образом, математические объекты реально не существуют. 
Все они созданы человеческим умом в процессе исторического развития и 
существуют лишь в мышлении человека и в тех знаках и символах, которые 
образуют математический язык. Поэтому говорят, что математические 
объекты – это идеальные объекты, которые описывают реальные объекты. 
Все математические объекты обладают какими-то признаками. 
Например, квадрат обладает следующими признаками: 
- имеет четыре стороны; 
- все стороны равны; 
- имеет четыре внутренних угла; 
- все углы прямые и т.д. 
Признаки – это все то, в чем объект сходен с другими объектами или 
отличен от них; все то, благодаря чему объект можно узнать определить, 
описать. 
Каждый 
объект 
обладает 
признаками 
существенными 
и 
несущественными. Существенный признак – такой, который необходимо 
принадлежит объекту при всех условиях, без которого данный объект 
существовать не может. Несущественный признак – это признак, отсутствие 
которого не влияет на существование объекта. Несущественные признаки 
могут изменяться, при этом объект остается тем же самым. Но если изменить 
существенные признаки, то это будет уже другой объект. Например, 
признак «иметь все равные стороны» для квадрата является существенным, а 
длина стороны – это несущественный признак для указанного объекта.
Необходимо отметить, что при решения конкретных задач 
несущественные признаки объекта могут стать существенными для решения 
данной задачи. Например:
- разбить квадраты на две группы: 

10 
При решении этой задачи ученики будут ориентироваться на такие 
признаки, как цвет, размер, расположение, которые для понятия «квадрат» 
являются несущественными. 
Чтобы понять, что представляет собой данный математический объект, 
достаточно знать его существенные признаки. В этом случае говорят, что 
имеется понятие об этом объекте. Таким образом, понятие – это целостная 
совокупность суждений о существенных признаках соответствующего 
объекта.
Когда говорят о математическом понятии, то обычно имеют в виду 
множество объектов, обозначаемых одним термином (словом, названием). 
Так, когда говорят о таком понятии, как квадрат, то имеют в виду все 
геометрические фигуры, которые являются квадратами. Множество всех 
квадратов составляет объем понятия «квадрат». Таким образом, объем 
понятия – это множество всех объектов, обозначаемых одним и тем же 
термином. 
Любое понятие, кроме объема, имеет содержание. Содержание 
понятия – это множество всех существенных признаков объекта, отраженных 
в этом понятии. 
Подход к объему понятия как к множеству дает возможность наглядно 
представлять отношения между понятиями. Обозначим объем понятия a 
через А, объем понятия b – В и т.д. Пусть понятия a и b таковы, что объем 
понятия a является собственным подмножеством объема понятия b, т.е. А
В
Т.к.
А и В – это множества, то отношение между ними можно изобразить 
на кругах Эйлера: 
В этом случае говорят, что: 
В 
А 

11 
- понятие b является родовым для понятия a, понятие a – видовым по 
отношению к понятию b; 
- понятие b шире понятия a, понятие a уже понятия b; 
- понятие b обобщение понятия a, понятие a – частный случай понятия 
b. 
Например, понятие «многоугольник» является родовым по отношению 
к понятию «треугольник», а понятие «треугольник» - видовым по отношению 
к понятию «многоугольник». Об этих же понятиях можно сказать, что 
понятие «многоугольник» шире, чем понятие «треугольник», а понятие 
«треугольник» 
уже 
понятия 
«многоугольник», 
либо 
понятие 
«многоугольник» есть обобщение понятия «треугольник», а понятие 
«треугольник» - частный случай понятия «многоугольник». 
Существуют понятия, которые не находятся в родовидовых 
отношениях. Такими, например, являются понятия «треугольник» и 
«прямоугольник», т.к. их объемы не пересекаются. 
Понятия рода и вида относительны: одно и то же понятие может быть 
родовым по отношению к одному понятию, видовым по отношению к 
другому. Например, понятие «прямоугольник» - родовое по отношению к 
понятию «квадрат» и видовое по отношению к понятию «четырехугольник».
Для одного и того же понятия можно указать несколько родовых 
понятий, среди них назвать ближайшее. 
Итак, всякое понятие имеет определенный объем и содержание. Они 
взаимосвязаны: чем больше объем понятия, тем меньше его содержание. И 
наоборот: чем меньше объем, тем больше содержание. Это утверждение 
справедливо только для понятий, которые находятся в родовидовых 
отношениях. Так, например, объем понятия «равносторонний треугольник» 
меньше объема понятия «треугольник», т.к. в объем первого понятия входят 
не все треугольники, а только равносторонние. Но содержание понятия 
«равносторонний треугольник» содержит больше свойств, чем содержание 
понятия «треугольник», потому что равносторонний треугольник обладает не 

12 
только всеми свойствами треугольника, но и особыми свойствами, которые 
присущи только равносторонним треугольникам. 
Задания для самостоятельной работы:  
1. 
Изобразить на кругах Эйлера отношения между понятиями a, b, c, 
если: 
а) a – «однозначное число», b – «трехзначное число», c – 
«многозначное число»; 
б) a – «отрезок», b – «треугольник», c – «квадрат»; 
в) a – «треугольник», b – «многоугольник», c – «геометрическая 
фигура»; 
г) a – «прямой угол», b – «острый угол». 
2. 
Назвать пять существенных признаков понятия «равнобедренный 
треугольник» и изобразить с помощью кругов Эйлера отношение между 
объемом данного понятия и объемом понятия « остроугольный 
треугольник». 
3. 
Какие 
из приведенных признаков трапеции 
являются 
существенными, а какие несущественными: 
а) две стороны трапеции параллельны; 
б) оба угла при большем основании равны; 
в) оба угла при меньшем основании равны; 
г) сумма внутренних углов трапеции равна 360 °.
4. 
Находятся ли в отношении рода и вида следующие пары понятий: 
а) «равнобедренный треугольник» и «остроугольный треугольник»; 
б) «круг» и «окружность»; 
в) «трехзначное число» и «двузначное число»? 

жүктеу/скачать 0,53 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: