Учебное пособие для студентов направления «Педагогическое образование»

18 
Например: «Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все 
углы прямые». 
Вид – прямоугольник. 
Род – четырехугольник. 
Видовые отличия: все углы прямые 
Операции, раскрывающие действие определения объектов, в этом 
случае будут следующими: выбирается ближайший родовой объект, затем на 
этот объект накладываются как бы ограничения, видовые характеристики 
(отличия). На основе видовых характеристик вводится новый объект, но с 
меньшим объемом, чем родовой, т.к. у него больше свойств. Вот этому 
объекту с большим числом свойств и меньшим объемом присваивается новое 
звание (термин). 
2) Генетическое определение понятий. 
Генетические 
(от 
слова 
генезис 
– 
происхождение), 
или 
конструктивные, определения являются частным случаем определений через 
род и видовое отличие. В таких определениях видовое отличие указывает на 
происхождение определяемого объекта или на способ его образования.
Рассмотрим, например, определение треугольника: «Треугольником 
называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной 
прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков». В этом определении 
указано родовое понятие для треугольника – фигура, а в качестве видового 
отличия указан способ построения такой фигуры, которая является 
треугольником: нужно взять три точки, не лежащие на одной прямой, и 
соединить каждую их пару отрезком.
3) 
Рекурсивные определения.
В таких определениях указываются некоторые основные элементы из 
объема понятия и даются правила, позволяющие получить новые элементы 
из уже имеющихся. Например, определение арифметической прогрессии: 
«Арифметической прогрессией называется последовательность, в которой 

19 
каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним 
и тем же числом».
В математике существуют понятия, которые логически не 
определяются. Такие понятия называют основными или первичными. 
Примерами таких понятий являются: точка, прямая, множество, величина. 
К определению понятий выдвигается ряд требований 
1. 
Определение должно содержать указание на ближайшее родовое 
понятие. Как бы ни было построено определение математического понятия, в 
нем должно быть указано ближайшее родовое понятие к определяемому 
понятию.
Нарушение этого требование приводит к различного рода ошибкам. 
Например, иногда учащиеся, формулируя определение понятия, не 
указывают родовое понятие. На вопрос, что такое прямоугольник, они 
отвечают: «Прямоугольник – это когда все углы прямые». Такая небрежность 
в формулировке определений недопустима, т.к., что означает «это», можно 
только догадываться. 
Другой тип ошибок связан с тем, что в определении указывается не 
ближайшее родовое понятие, а более широкое. Пример такого определения: 
«Квадрат – это четырехугольник, у которого все стороны равны». В этом 
определении указано не ближайшее для квадрата родовое понятие – 
«прямоугольник», а более широкое – «четырехугольник». И тем самым это 
определение становится неверным, т.к. четырехугольником, у которого все 
стороны равны, может быть не только квадрат, но и ромб. 
2. 
Определения не должны содержать «порочного круга». Считают, 
что определение содержит «порочный круг», если в его определяющей части 
содержится определяемый термин. Например, в определении «Решением 
уравнения называется число, которое является решением этого уравнения» 
содержится «порочный круг»- понятие «решения уравнения» определяется 
через «решение уравнения». Может случиться, что «порочный круг» 
содержится в цепочке определений. Например, «Умножением чисел 

20 
называется действие, при помощи которого находят их произведение» и 
«Произведением чисел называется результат их умножения». В этом примере 
умножение определяется через понятие произведения, а произведение – 
через умножение. Определения образовали «порочный круг».
3. 
Определение не должно быть тавтологией, т.е. повторять в иной 
словесной форме ранее сказанное. Сущность такой ошибки в том, что 
понятие определяется через само себя. Например, «Сложением называется 
действие, при котором числа складываются». Здесь сложение определено 
через понятие «складывание», что одно и то же. 
4. 
Определение должно быть достаточным. Это означает, что в 
определении должны быть указаны все признаки, позволяющие однозначно 
выделить объекты определяемого понятия. Если же это требование 
нарушается, то под определение можно подвести не только объекты 
определяемого понятия, но и другие объекты. Например, «Медианой 
треугольника называется отрезок, делящий его сторону пополам». Очевидно, 
что в этом определении указано недостаточное число признаков для 
медианы. Поэтому под это определение подходят не только медиана 
треугольника, но средняя линия треугольника, и вообще любой отрезок, 
делящий сторону треугольника пополам. 
5. 
Определение не должно быть избыточным. Это значит, что в 
определении не должно быть указано лишних признаков, вытекающих из 
других, уже указанных в определении. Например, «Прямоугольником 
называется четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и 
углы прямые». Свойство «иметь противоположные равные стороны» 
вытекает из свойства «иметь прямые углы». Значит, данное определение 
прямоугольника избыточно. 
Получение определения понятия – это не конец усвоения понятия, а 
лишь первый шаг на этом пути. Следующий важный шаг состоит в том, 
чтобы научить учащихся ориентироваться на содержание определения при 
выполнении различных действий с объектами. Другими словами, надо не 

21 
только задать точку зрения на вещи, но и добиться того, чтобы эта точка 
зрения была принята и реально использовалась учащимися. Если это не 
обеспечено, то в одних случаях определение может остаться в стороне: 
ученик будет опираться на другие свойства, которые он сам выделил в 
объекте. В других случаях ученики могут пользоваться только частью 
указанных свойств; в третьих – могут добавить к указанным в определении 
свои, что также приводит к ошибкам. 
Задания для самостоятельной работы:  
1. 
Выделите в определении: «Параллелограммом называется 
четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно 
параллельны»: 
а) определяемое понятие; 
б) определяющее понятие; 
в) родовое понятие; 
г) видовое отличие. 
2. Какие свойства параллелограмма включены в его определение? 
3. Объясните, какие требования нарушены в приведенных ниже 
определениях понятий: 
а) прямые a и b называются параллельными, если они не имеют общих 
точек; 
б) смежными называются углы, которые в сумме составляют 180°; 
в) тупоугольным треугольником называется треугольник, у которого 
все углы тупые; 
г) прямой угол – это когда все стороны взаимно перпендикулярны. 
4. Сформулируйте определение диаметра окружности, выбрав в 
качестве родового понятия отрезок. Назовите видовое отличие. 
5. Сформулируйте определение остроугольного треугольника. Какое 
понятие вы выбрали в качестве родового и какое видовое отличие назвали? 
6. Какие способы определения понятий использованы в учебниках 
математики УМК «Гармония» (авт. Истомина Н.Б.)? 

22 
а) Переведите на прозрачный лист бумаги любую маленькую фигуру и 
наложите ее на любую большую фигуру. Вот так: 
В этом случае говорят, что площадь прямоугольника больше, чем 
площадь треугольника, а площадь треугольника меньше площади 
прямоугольника. 
б) Периметр прямоугольника – это сумма длин всех его сторон. 
в) Для обозначения неизвестного числа математики договорились 
использовать латинские буквы. Например, x, y, a, b, c и др. Поэтому 
равенство с «окошками» можно записать так:
х – 12 = 78, y ∙ 5 = 45, a : 2 = 45, c + 12 = 102. Это уравнения. 
7. Рассмотрите, как вводится понятие «окружность» в различных 
УМК по математике для начальной школы. 

жүктеу/скачать 0,53 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: