«МӘҢгілік ел идеясы алаш зиялыларының ТҦЛҒалық ТҦҒыры»

154 
) теңсіздігін қанағаттандыратын барлық х сандары үшін 
теңсіздігі орындалатын 
оң саны табылса, онда f(x) 
функциясының х 
-ға сол жағынан (оң жағынан ) ұмтылғанда нақты мәнді 
шегі бар және ол В санына тең дейді де 
(
) 
символымен белгілейді. 
Теорема. f(x) функциясының 
нүктесіндегі шегі бар болады сонда тек 
сонда ғана, егер осы нүктедегі оның сол жақ және оң жақ шектері бар болса 
және олар тең болса. Ол жағдайда олардың жалпы мәні 
нүктесіндегі f(x) 
функциясының екіжақты шегі болады. 
Анықтама. Егер кез келген мейлінше аз 
оң саны үшін N номері 
табылып, барлық n N үшін 
теңсіздігі орындалатын болса, онда 
тұрақты а саны а
n
сандық тізбектің n шексіздікке ұмтылғандағы шегі деп 
аталады. 
Анықтама. Егер а санына жинақталатын кез келген 
тізбегі үшін f 
функциясы мәндерінің сәйкес 
А санына жинақтылатын болса, онда А 
санын f функциясының шегі деп атайды х а-ға ұмтылғанда
А=
 
Анықтама. Егер 
тізбегінің шегі 0-ге тең болса, онда ол ақырсыз кіші 
тізбек деп аталады (
) 
Анықтама. Егер 
тізбегінің шегі 
-ге тең болса, онда ол ақырсыз 
үлкен тізбек деп аталады (
) 
Қасиеті. Егер 
ақырсыз үлкен болса, онда 
ақырсыз кіші тізбек 
болады. 
Функция шектері тұралы касиеттері. 
1. 
Егер 
және 
шектері бар болса, онда 
тендік орындалады. 
2. 
Егер 
және 
шектері бар болса, онда 
тендік орындалады. 
3. 
Егер 
және 
шектері бар болса, онда 
тендік орындалады. 
4. 
Егер 
бар болса, онда кез келген с саны үшін 
тендік орындалады. 
b
x
x
x



0
0


 B
x
f
)
(
)
(


0
x
В
x
f
x
х
x



)
(
lim
0
В
x
f
x
х
x



)
(
lim
0
0
х
0
х




0
a
а
n


n
x
 
)
(
n
x
f
a
x
x
f

)
(
lim

n
a
0
lim



n
n
a

n
a





n
n
a
lim

n
a






n
a
1
a
x
x
f

)
(
lim
a
x
x
g

)
(
lim



)
(
)
(
lim(
x
g
x
f
a
x
a
x
x
f

)
(
lim

a
x
x
g

)
(
lim
a
x
x
f

)
(
lim
a
x
x
g

)
(
lim



)
(
)
(
lim(
x
g
x
f
a
x
a
x
x
f

)
(
lim

a
x
x
g

)
(
lim
a
x
x
f

)
(
lim
a
x
x
g

)
(
lim
0

)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim
x
g
x
f
x
g
x
f

a
x
x
f

)
(
lim
)
(
lim
)
(
lim
x
f
c
x
cf
a
x


a
x
x
f

)
(
lim

a
x
x
g

)
(
lim

155 
Шексіз аз функция. Шенелген функциялар. 
Анықтама. y=f(x) функциясы 
ұмтылғандағы шексіз аз функция 
деп аталады, егер 
ұмтылғандағы оның шегі нӛлге тең болса. Құрдым аз 
функция
. Құрдым аз функцияның шегі A=0 
болғандықтан, 
болады, онда шектің анықтамасы 
негізінде, алдыңғы берілген анықтамаға эквивалентті, құрдым аз функцияға 
тӛмендегідей анықтама беруге болады.
Анықтама. Кез келген 
саны үшін барлық x>N сандары үшін 
теңсіздігі орындалатын N саны табылса, онда f(x) функциясы 
ұмтылғанда құрдым аз функция деп аталады да 
деп жазылады. 
Теорема 1. Егер 
және 
функциялары құрдым аз функциялар 
болса, онда олардың қолданулары 
-да құрдым аз функция болады. 
Теорема 2. Егер y=f(x) функциясының 
ұмтылғанда шегі бар болса, 
онда ол кез келген 
интервалында шенелген болады. 
Теорема 3. Егер y=f(x) функциясының (
) нӛлге тең емес шегі болса, 
онда 
функциясы шенелген болады. 
Теорема 4. Құрдым аз функцияның шенелген функцияға кӛбейтіндісі 
құрдым аз функция болады. 
Салдар.'>Салдар. Құрдым аз функцияның санға кӛбейтіндісі құрдым аз функция 
болады.
Теорема 5.
-да құрдым аз f(x) функциясын, шегі нӛлге тең емес 
функциясына (
) бӛлгенде шығатын функция құрдым аз функция болады. 
Шексіз аз функция және оның қҧрдым аз функциямен байланысы. 
Анықтама. Кез келген L саны үшін х-тің x>N барлық мәндерінде 
теңсіздігі орындалатындай бір N санын табуға болса, онда y=f(x) функциясы 
шексіз үлкен функция деп аталады. 
Теорема. Егер 
-да f(x) функциясы шексіз үлкен функция болса, 
онда
функциясы 
-да құрдым аз функция болады. 
Теорема. Егер f(x) функциясы нӛлге айналмайтын 
-да құрдым аз 
функция болсын, онда 
функциясы 
-да шексіз үлкен функция 
болады. 
Шектер туралы теоремалар. 
Теорема 1. Егер 
-да f(x) функциясының А-ға тең шегі болса, онда 
оны А саны мен 
-да құрдым аз функция қосындысы түрінде жазуға 
болады[2]. 
Теорема 2. Егер f(x) функциясын А саны мен кез келген бір 
-да 
құрдым аз функцияның қосындысы түрінде жазуға болса, онда А саны f(x) 
функциясының 
-дағы шегі болады. 


х


х
0
0
,0
х
х
,
0
х
х
,
0
х
х
,







х
)
(
0
)
(
)
(
x
f
x
f
A
х
f




0




)
(x
f


х
0
)
(
lim



x
f
x
)
(х

)
(х

)
(
)
(
х
х





х
 

,
N


х
)
(
1
x
f
y



х
)
(х



х
L
х
f

)
(


х


х
)
(
1
x
f


х


х
)
(
1
x
f


х


х


х


х


х

156 
Теорема 3. Егер 
және 
болса, онда 
және 
функцияларының 
да 
да 
шегі 
бар, 
әрі 
болады. 
Теорема 4. Егер 
және 
болса, онда 
функциясының 
да шегі бар, әрі 
болады. 
Салдар. Тұрақты санды шектің таңбасының алдына шығаруға болады, 
яғни 
. Мұндағы к-тұрақты кӛбейткіш. 
Теорема 5. Егер 
және 
және 
болса, онда 
функциясының 
да шегі бар, әрі 
болады. 
Теорема 6. х-тің ӛте үлкен мәндері үшін 
теңсіздігін 
қанағаттандыратын 
және 
үш функциясы берілсін. Егер 
–да 
және 
функцияларының бірдей шегі болса, онда олардың арасындағы 
функциясынан да шегі болады және ол сол функциялардың шегіне тең 
болады.
Салдар.
функциясының 
. Яғни 
Ҥздіксіз функциялар. 
Анықтама. y=f(x) функциясы 
нүктесінде үздіксіз деп аталады, егер: 1) 
функция 
нүктесінде және сол нүктені қамтитын оның бір аймағында 
анықталған болса; 2) функцияның 
-дағы шегі болса; 3) функцияның 
-дағы шегі сол нүктедегі функцияның мәніне тең болса, яғни 
болса. 
Егер 
нүктесінде функция үздіксіз болса, онда 
нүктесі берілген 
функцияның үздіксіздік нүктесі деп аталады[3]. 
Анықтама. Егер 
нүктесі функцияның анықталу облысында не оның 
шекарасында жатса және оның үздіксіздік нүктесі болмаса, онда ол f(x) 
функциясының үзіліс нүктесі деп аталады. Ол жағдайда 
нүктесінде 
функция үзілісті деп аталады. Үзіліс нүктелерін екі түрге бӛлуге болады: 
Егер екі біржақты шектері 
бар болса, онда f(x) 
функциясының үзіліс нүктесі 
І-текті деп аталады. І-текті болмайтын үзіліс 
нүктелері, ІІ-текті үзіліс нүктелері деп аталады. 
Теорема. Егер нүктесінде f және g функциялары үздіксіз болса, онда fc 
(с-тұрақты),f+g, fg, функциялары, ал егер 
болса, онда 
функциясы да 
нүктесінде үздіксіз болады. 
A
x
f
x



)
(
lim
B
x
x



)
(
lim

)
(
)
(
x
x
f


)
(
)
(
x
x
f




х


)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim
x
x
f
x
x
f
x
x
x











B
x
f
x



)
(
lim
C
x
x



)
(
lim

)
(
)
(
x
x
f




х


)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim
x
x
f
x
x
f
x
x
x













)
(
lim
)
(
lim
x
k
x
k
x
x









B
x
f
x



)
(
lim
C
x
x



)
(
lim

0

C
)
(
)
(
x
x
f



х
)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim
x
x
f
x
x
f
x
x
x















  
x
g
x
f
х



 
x
f
x ,


x
g


х

x


x
g

x
f
x
Sinx
0

x
1
lim
0


x
Sinx
x
0
х
0
х
0
х
х

0
х
х

)
(
)
(
lim
0
0
x
f
x
f
х
x


0
х
0
х
0
х
0
х
х

)
(
lim
жјне
)
(
lim
0
x
x
0
0
0
x
f
x
f
x
x




0
х
0
х

0

x
g
g
f
0
х

157 
Егер осы теоремаларды ң шарттары орындалмаса, онда 
түріндегі анықталмағандықтар жүз беруі м үмкін, ондай аны қталмағандықтар 
алгебралық 
түрлендірулер 
арқылы 
айқындалады. 

жүктеу/скачать 2,86 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: