Три взгляда
жүктеу/скачать 57,19 Mb. Pdf көрінісі
|
музыке (см. § 10). Качественная симметрия ( S K). У ста новим общий случай связи обратных чисел с числами 2 П, т. е. связь 5 Г и S A. И зобразим S r (a / x = x / b ) в виде двух тождеств, показанных выше. Общий случай Важный частный случай т = ж - <12) Связь выражений (10) и (1 2 ), или обобщение S A и S r, возникает, если для х г выполняется соотношение х +1— х - 1 , что в соответствии с (10) означает х + , / х _1 = 2, или х = 2 • 1/х, (13) откуда x = V2- Подставляя значение х в выражение (11) имеем: а \ 2 а д/2 . . . . —- = -— -------------------- или — = — , (14) л/2 2 - 1 / а у 2 b так как 6 = 2 - 1/а. Эту симметрию н а зовем качественной ( S K). Выражение (14) — основной вид S K с центром x r = V2- Центр S K обозначим х к. Общая формула для х к в соответ ствии с (9) и (13) будет х = 2п • \ / х , (15) откуда х = (-\12)п1 п — целое. Итак, каче ственная симметрия есть геометриче ская симметрия а / х = х / Ь у (16) в том и только в том случае, когда х г = ^ а Ь = х к = (л]2) ", где п — целое. 13. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КАЧЕСТВЕННОЙ СИММЕТРИИ И ЕЕ ИНВАРИАНТЫ Числовые интервалы на числовой оси между двумя соседними степенями У2 назовем диапазонами S K; степени У2 — границами диапазонов. Четные степени V2 назовем четными граница ми (или четными центрами S K), нечет ные — нечетными. Слова «такой-то диапазон» обозначим Д или А , где / или / — номер соответствующего д и а пазона. Пусть имеем: - 3 - 2 - 1 + 1 + 2 - - (л /2 )"2 - ( л / 2 ) - 1 - (л/2)° - л/2 ^ Числа вверху ... — 3, — 2, — 1, + 1 , + 2 ...— номера диапазонов. Пусть чис- ло а находится в Д . Это значит V 2 > a > ( V 2 ) ° . Как минимум, S K пред полагает два диапазона (2 Д ). Д ва лю бых соседних диапазона охватывают интервал — октаву. Перенос числа из одного диапазона в другой (в частном случае — по ф ор муле (16); общий случай приведем ни ж е) есть преобразование. Приведем несколько примеров преобразования по формуле (16). П р и м е р 1. Возьмем какое-либо число а. Пусть а = 3 /2 , т. е. находится + 2 -j- 1 в Д . Преобразуем это число в Д . Гра- 2 + 1 — ницей между Д и Д является д/2. Те перь по формуле (16) а / х = х / Ь, где a = 3 / 2 , х = У2, найдем, что Ь = 4 /3 . Т а ким образом, число 3 /2 преобразова лось в 4 /3 . П р и м е р 2. Возьмем теперь число + i -1 4 /3 и переведем его из Д в Д . Гра- +i -1 г п ница между Д и Д есть (^/2) = 1 . По формуле (16) при данных a = 4 / 3 , х = \ найдем, что Ь = 3 /4 . П р и м е р 3. Снова возьмем число +1 - з 4 /3 и преобразуем его из Д в Д . Это можно сделать относительно х к = = (У2)- 1 . По формуле (16) при а = 4 /3 , x = (-\j2)~\ находим Ь = 3 /8 . П реобразование числа а в b в общем i t случае обозначим a_L6 или a _L Ь , или a£_La,- . Основные преобразования: 1) последоват ельное — перенос чис ла в соседний диапазон (см. выше * Если номера д и ап а зо н о в (/, /) обо знач ен ы нижним индексом числа, то индекс будем и з м е нять у одного и того ж е числа. прим. 1 или 2 ). Можно производить последовательные преобразования раз за разом (прим. 1 и 2 ). Количество последовательных преобразований о б о значим буквой Р. В зависимости от того, четно Р или нечетно, качествен ную симметрию разобьем на две сим метрии: переносную и зеркальную; 2) переносное — при четном Р. В этом случае любое число а преобра зуется в 2па у т. е. имеем качественное равенство в смысле формулы (9) а— 2па. (В примерах 1 и 2 число 3 /2 двумя последовательными преобразова ниями (Р = 2) переводится в 3 /4 . Но 3 /4 — 3 /2 , так к а к -^ -: ^ - = 2). П ере носное преобразование обозначим зн а ком — , т. е. at— a f. Переносная сим метрия не имеет центра симметрии, кроме случая а = ( д /2 ) л; 3) зер к а льн о е — при нечетном Р (примеры 1, 2 и 3). Его обозначим знаком _L, соответствующим той или иной границе диапазонов, подписывая под ним центр S K, относительно кото рого происходит преобразование, т. е. a _L ft, или указывая номера диапазонов Хк 1 a _L Ь (или a,_L a/), или и то и другое ' a _L Ь . х к Приведенные выше примеры теперь запишем так: 3) | _ | _ 4} ^ 4 / 3 _L3/4, + 1 • - з 4 /3 _L3/8. При мер записи развернутого вида преобразований: - 2 - 1 + 1 + 2 +3 L a 1 & 1 с 1 1 ^ 1 ...; (17) 4) п ер е н о с н о -зе р к а л ь н о е — в сл у чае, когда заданное число а = (л]2)п. В этом случае Р всегда четно и имеет место совпадение переносной и зеркаль ной симметрии, т. е. соотношение: (л/2У— (л/2Г Равно (V 2 )f± (V 2 )f, (18) если и п и т одновременно четно или нечетно; 5) тождественное — при четном ко личестве зеркальных преобразований относительно одного и того же центра S K, например: Ъ/2 _L 4 /3 , 4 /3 _L 3 /2 . V2 У2 Кроме S к выше мы разбирали сим + 1 + 2 + 3 ± а • 2° ± а ~ ' - 2 ± а - 2 метрию арифметическую ( S A) и геомет рическую ( 5 Г). Преобразование по А А S A будем изображ ать так _L , т. е. a_Lft, что означает: а преобразуется в Ь отно сительно центра х А= ( а + Ь) / 2. П ре образование по S r — знаком _1_ без дополнительных обозначений, т. е. a J - b (а преобразуется в b относительно центра x r = ^]ab). Следует отличать запись просто геометрической сим- i ! метрии a_L Ь от качественной a _L b (или -ь1 a,_L a,). Теперь возьмем в Д число а и преобразуем его по S K в другие диапазоны: + 4 + 5 • 2 2 ± а • 2 2 -L а + 6 + 7 ± а • 2 3 J ___ (19) — 1 — 2 — 3 - 4 - 5 — 6 — 7 а ~ ' ■ 2° ± а • 2 “ ' ± а ~ ' ■ 2 ~ 1 ± а • 2 “ 2 ± а ~ 1 • 2 ~ 2 ± а ■ 2 ~ 3 ± а ~ ' ■ 2 “ 3 ± . . . Отсюда видно: преобразования S K имеют простейший вид: а ± а к- 2п, (20) где /г = + 1, — 1, чередуясь в каждом последующем диапазоне, п — целое, меняющееся через диапазон на едини- цу. Если для Д k = + 1 , п = 0, то име ем выражение (19). На основании изложенного выведем общую формулу преобразований, по зволяющую из любого числа а, полу чить любое щ. Для этого проанализи руем два основных преобразования, определяющие качественную симмет рию: 1) переносное а у— а,; тогда a ,/a y- = = 2 п = 2 ni ~ ni y откуда ai = a r 2 n i ~ ni\ здесь aj = a ^ 1 = a p ’kiy так как в этом случае ki = kj = + 1 или — 1; 2) зеркальное a,-L a,, тогда а ,. а, = 2п = 2П[ + л/, откуда а,- = 1 / а у X Х 2 л/ + л/; здесь \/cLj = a f x = a f l'ki, так как в этом случае или k i = — 1, а k , = = + 1, или наоборот. Отсюда следует общая формула для любого а, (или закон I): щ = а ь г 2е, (21) где b = k i - k } и может принимать только два значения: b i = + l, b ло с в зависимости от Ь может также принимать только два значения: С\=П[ — п у; с 2 = П 1 -{- П]. Если b = b i, то “Г аГ гС 1/2 (V/2 Г2 Ф ь 0 9 -2 -1 -м + 2 (V2)-1 1 (v/5)1 2 (V2)2 0,618 0,809 1,236 1,618 P a = До Фа# До Ф а* До c = ci; если b = bo, то с = с2. Значения к и п определяются выражением (20); удобнее их брать из (19). Преобразования S K образуют груп пу, так как удовлетворяют всем требо ваниям четырех аксиом теории групп. Приведем примеры: 1) пусть а + 2 = = 1,618 (золотое сечение). Найдем а _ |. Из (19) k + 2 = — \, 2 = 4 - 1 ; k - \ = — \, п - 1 = 0 . Теперь по формуле (21) находим а _ 1 = 0 ,8 0 9 . Найдем так- + - же 1 , а _ 2, а _ 3, а _ 4...: __ L 1,618 J_ _L 1,236 _L 0,809 ± 0,618 _L 0,405 _L - 4 _L0,309 _L ..., т. e. золотое сечение может выражаться не только числами 1,618 и 0,618, как принято; 2) при переносно-зеркальной симметрии д а н ное число а = х к и / может принимать по два значения, соответствующие но- 4. С р а вн и т ел ь н ая и ллю страц и я п реобразован и й качественной симметрии. Пусть вер тикальн ые линии об о з н ач аю т пло скость с ко л ь зя щ е г о от р аж ен и я , перевод ящую л е вую фигуру в правую, прав ую в левую и т. д., и пусть эти фигуры согл асно качественному р а в е н ству дополн ительно увеличиваютс я так, что к а ж д а я л е в а я и к а ж д а я п р а в а я боль ш е п реды ду щей соответственно левой или правой в 2 р а за. Тогда под каж д о й такой плоскостью м ожно по д писать числа, соответствующ ие целым степеням V2. т. е. плоскости и фигу ры з ам ен я ю тся числами, а от р аж ен и е в плоскости — п реобразован ием чи сел по ф ормуле (21). На рисунке при веден пр и мер п р ео б р азо в ан и я по фо рм ул е (21) зол отого числа Ф~ 1 = 0,618 в д и ап а зо н ы — 2, — 1, + 1 , -J-2. Из рисунка видно так ж е, что д и ап а зо н ы к ач е ственной симметрии соответствуют по луоктав ам мерам двух соседних диапазонов, гра ницей которых является данное л'к. По формуле (21) найдем а _ 2 при дан ных а + ,= ^ / 2 и а + 9 = л/2- В обоих сл у чаях а _ 2 = (д/2)_ *. Пример, наглядно иллюстрирующий преобразования S Ky см. на рис. 4, из ко торого видно, что диапазоны S K соот ветствуют полуоктавам. Основные инварианты S K. Из фор мулы (21) следует: 1) отношения сим метричных чисел к границам собствен ных диапазонов (связанных S K (д 2)/2 -L JL (V2)/") равны в случае переносной и переносно-зеркальной симметрии и об- ратны в случае зеркальной; 2) отноше ния чисел одного и того же диапазона инвариантны относительно преобразо ваний S K в указанном смысле. Мы сформулировали три инвариан та. Инвариант 1: а//(У2)? = а//(У2)/\ где cii— a ,■ или щ = (л[2)е, где е — целое и а//(л/2)? = (л/2)Г/в/. г^е -L ah в обоих случаях и я, и m четно; если же и я, и m нечетно, то имеем инвариант 2. И нв а риант 3: ai/bi = a j / b h где а/— а/ и ai/bi = b j / a ji где a, _L щ. Запись инва риантов покажем на примере инва рианта 3: а - з / Ь - з = Ь - 2 / а - 2 = = a _ i / f t _ i = & + i/ a + i.. . Значения инва- + 1 -1 риантов попадают только в Д или Д . Общие определения инвариантов. Инвариант 1 есть отношение любого числа к четной границе собственного диапазона или к любой четной границе с последующим преобразованием по S K. Инвариант 1 совпадает с S K, что следует из формулы (21). Инвариант 2 есть отношение любого числа к нечет ной границе собственного диапазона или к любой нечетной границе с по следующим преобразованием по S K. Инвариант 3 есть отношение чисел о д ного и того же диапазона. 14. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ СИММЕТРИИ ЧИСЕЛ. ЦИФРОВАЯ СИММЕТРИЯ Симметрию чисел (аналогичную S K), основанную на связи принципов па и ап можно построить в общем виде. Если в выражении (15) число 2 заменить на га, то формула для центра общей числовой симметрии будет: х т _ = т п- \ / х , (22) откуда х г = (д/га)", где п — целое, m определяется в каждом случае. В соот ветствии с формулой (2), т. е. с совпа дением тождеств ( А = А П) га может при нимать только два значения m = 1, т = 2, так как уравнение (3) а п = па при а = п имеет следующие два реше ния: а = п = 1; а = п = 2 . Если т = 1, то х Г= \ , получаем частный случай S г, т. е. симметрия, основанная на свя зи принципов па и а г\ построена быть не может. Если т = 2, имеем S K. Сим метрия, построенная на любом другом числе (при т ф 2 и следовательно при А ф А П), будет соответствовать только формуле (1). Предполагая десятизнач ную систему фундаментальной, можно принять т = 10, а значит, x r = (-\i\0)n и, следовательно, числа 10я, где п — це лое, считать различающимися только по масштабу. Такая симметрия будет вы ражать сохранение определенного при знака — порядка расположения цифр в числе (цифровая симметрия), тогда как S K выражает принцип сохранения (или закон устойчивости) как таковой, так как основана на формуле (2) А = А П. Поэтому S K есть качественное обобщение симметрии. З а к о н II — наруш енная си м м е тр и я 15. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАРУШЕННОЙ СИММЕТРИИ. ГАРМОНИЧЕСКАЯ ПРОПОРЦИЯ Качественная симметрия есть вы ражение тождества противоположно стей, поэтому внутренней сущностью S к является нарушенная симметрия (SH). Действительно, S K обобщает S A и S r# но х А = а ~^Ь Ф х г = ^]аЬ, кроме случая а = Ь, т. е. пропорции симметрии (см. § 12). Согласно § 12 S K есть в а ж ный частный случай S r, при x r = ^ !ab = = x K = {-yj2)n, т. е. при хк = хг и. х кф х А. Мера этого нарушения определяется отношением х А/ х к (или х к/ х А), а при анализе числовых рядов в случае х тф х к — также и отношением х г/ х А. Указанные отношения соответствуют инвариантам 1 и 2 (см. § 13). Установим основные числа S H. Д о полнительное условие. В соответствии с § 12 (случай с = 1 ) условимся любое число а в некоторых случаях изобра жать в виде а = х / у при х - \ - у = 1*, т. е. мыслить число как отношение частей х / у некоторого абстрактного целого с = х - \ - у = \ (внутренняя симметрия числа). При а = 1, х = у = 1/2 — про порция симметрии. При а Ф 1, х Ф у Ф ф \ / 2 — нарушение пропорции симмет- т т 1 0,500 рии. Например, а = 1 = Q 5QQ ; Теперь применим отношение х А/ х к * Значения х н у определяются по формулам: а 1 * = н + 1 ’ у - а + х • к переносно-зеркальному преобразо ванию. Для этого определим х А между границами диапазонов S K ... (У2)2, д/2, (У2)°, (д/2)_ | , (л/2)- 2 симметричными относительно любого выбранного х к. Примем за центр отсчета х к = (У 2 )° = 1 . Тогда х А будет: 1) между д/2 и (л/2)- 1 — один шаг влево и вправо от 1,000 (шаг — интервал одного полного д и а пазона); 2) между (У2)2 и (^[2 ) ~ 2 — второй шаг от 1,000 и т .д . сделаем 14 шагов. Полученные значения x Al, x Ai... х Аха д л я жүктеу/скачать 57,19 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|