Три взгляда

запрет 
наложен. 
Но 
тут 
невольно 
всплывает  в  памяти  саркастическое 
ехидство  Мефистофеля  [13,  с.  220]:
«Чего  ученый  счесть  не  мог  —
То  за б л у ж д е н ь е   и  подлог».
Рискнем  преодолеть  действующий 
запрет,  только  для  этого  придется  на­
браться  терпения 
и 
хорошо  потру­
диться.
Когда 
упоминается 
слово 
«тре­
угольник»,  то  перед  мысленным  взором 
очерчивается  плоскость,  ограниченная 
тремя  отрезками,  попарно  пересекаю­
щимися:  три  стороны,  три  вершины  — 
статический  образ.  Но,  помнится,  еще 
П.  Тейяр  д е  Шарден  говорил,  что  не­
которые 
геометрические 
построения, 
на  наш  взгляд  совершенно  неподвиж­
ные,  являются  следом  и  верным  призна­
ком  кинематики.  Вот  и  будем  сл едо­
вать  данному  «завету».
Проведем  две  параллельные  прямые 
и  рассечем  пространство  между  ними 
секущей,  а  в  местах  пересечения  се­
кущей  с  параллельными  прямыми  вос­
ставим  нормали  к  этим  прямым.  Вы­
членяется 
прямоугольник, 
сеченный 
диагональю.  Каждая  половина  прямо­
угольника 
есть 
прямоугольный 
тре­
угольник  (гномон)*,  и  связаны  оба 
посредством  оптической  рефлексии  от­
носительно  центральной  точки  ди аго­
нали 
(рис. 
1):  стягивая  все  точки
одного  гномона  в  фокус  преломления 
(точка  0)  и  перенося  за  этот  фокус 
на  тождественное  расстояние,  мы  спро­
ектируем  рефлексный  («вывернутый») 
гномон.  Это  то  же  самое,  что  повернуть 
треугольник  m ln   около  точки  0  на  180°. 
Осуществляется 
операция 
полярной
*  П од  гномоном  древние  греки  понимали  п р я ­
моугольный  треугольник,  заклю ченны й  в  прост­
ран стве  м еж ду  палкой,  воткнутой  верти кальн о 
в  землю,  тенью ,  о тбрасы ваем ой   от  палки  на 
землю,  и  лучом  света,  скользящ и м   через  с во ­
бодный  конец  палки  к  концу  тени.
симметрии. 
Однако 
важнее 
другой 
подход.  Заставим  точку  т  двигаться 
равномерно  вдоль  основания  m l   так, 
чтобы  она  к  тому  же  еще  отклонялась 
в  сторону  противоположного  осн ова­
ния  Iln   пропорционально  горизонталь­
ному  ходу.  Тогда  след  движения  точ­
ки,  согласно  правилу  параллелограмма 
сил,  совпадет  с  диагональю.  Но  мы  не 
удовлетворимся  и  этим  приемом.  П о­
сему  построим  иную  модель,  так  как 
важнее  не  линейный  трек  в  виде  д и а ­
гонали  прямоугольника,  а  весь  гномон 
как  след  некоторого  процесса:  пусть 
все  придет  в  движение.
Представим,  что  по  стенке  «трубки» 
m i l   поступает  и  равномерно  стекает 
струя  окрашенной  жидкости.  С  момен­
та 
постоянного 
поступления 
струи 
«трубка»  равномерно  смещается  п а ­
раллельно  себе  в  направлении  поло­
жения  In.  Когда  «трубка»  достигнет 
этого  положения,  то  жидкость,  син­
хронно  стекавшая  по  стенке,  «зам е­
тет»  плоскость  гномона  m ln .   Возникнет 
след  комплексного  процесса.  Аллего­
рически  это  можно  представить  как 
смещение  новорожденного  водопада. 
А  так  как  другой  гномон  (n llm )   есть 
оптическая  рефлексия 
гномона  m l n , 
то  аналогичное  и  одновременно  только 
в  обратном  направлении  осуществится 
в  полярном  (опрокинутом,  инверсном) 
гномоне.  Мы  получаем  систему,  в  кото­
рой  процесс  подчиняется  принципам 
симметрии 
и  отражения 
на 
основе 
правила  пропорции,  ибо  изменение  по­
ложений  вдоль  горизонтали  и  верти­
кали  протекает  синхронно:  в  любой 
ф азе  процесса  наклон  диагонали  (этим 
и 
обусловливается 
пропорциональ­
ность) 
сохраняется,  состояние 
(ско­
рость)  процесса  стабильно,  изменяется 
лишь  количество  (масш таб)  окрашен­
ного  поля  гномона.  Отсюда  видно,  что 
диагональ  прямоугольника  не  «сече­
ние»  в  обыденном  смысле,  не  механи­
ческое  рассечение,  резание,  а  относи­
тельное  «расслоение»  поля  m l n l l   на

синхронизированные  процедуры  («р ас­
крашивание»),  из  которых  одна  явля­
ется  процессом  действительным,  а  др у­
гая  —  ее  оптическим  «эхом»:  одна  без 
другой  не  существует.  Мы  имеем  дело 
с  системой  из  двух  элементарных  ки­
нематических  актов,  подчиненных  прин­
ципу  комплементарности  (дополнитель­
ности  и  соответствия),  ибо  одна  про­
цедура  уравновешивается  ей  аналогич­
ной, 
но 
обратно 
ориентированной. 
Перед  нами  модель  динамического  ме- 
биуса,  где  функция  М ёбиуса  падает 
на  все  тот  же  диагональный  трек,  ибо 
процесс  его  формирования  выполня­
ется  неориентированно  во  встречных 
направлениях,  а  это  и  есть  характер­
ное  свойство  мёбиуса.  Только  в  ленте 
Мёбиуса  сначала  задается  ориентация 
в  одном  направлении  («н аруж у»),  а 
затем  (второй  цикл)  —  в  противопо­
ложном  («внутрь»).  В  нашем  ж е  сл у­
чае  двойная  ориентация  формируется 
параллельно  —  дихотоминно.
Представление  о  фазе  введено  на 
том  основании,  что  начальное  и  конеч­
ное  положения  «трубки»  составляют 
интервал,  в  пределах  которого  проте­
кает  процесс,  т.  е.  цикл.  Значит,  поло­
жение  m i l   —  начало  цикла,  a  In  —  его 
конец.  Но  в  циклическом  круговом  про­
цессе  начало  и  конец  совпадают.  П о­
этому 
свернем 
прямоугольное 
поле 
m l n l l  в  цилиндр:  начало  и  конец  цикла 
( m i l   и  In)  слипаются,  сплавляются,  а 
диагональ  образует  виток  спирали  на 
цилиндрической 
поверхности. 
Теперь 
нетрудно  убедиться,  что  имеет  место 
переход  с  «одной»  стороны  диагонали 
на  «другую»  (рис.  2)  на  стадии  д в о й ­
ного  цикла,  т.  е. 
бифазно, 
как  в  ленте 
Мёбиуса.  Только  второй  ход  (он  перей-. 
дет  в  пределы  рефлексного  гномона) 
не  разворачивается,  процесс  не  рас­
тет,  а  наоборот:  «краска»  убывает  *.
*  Ж и дкость  п ерестает  поступать,  струя  о п ад а ет, 
стек ая  через  нижний  конец  «трубки»,  о к р а ­
ш и вая  рефлексный  гномон;  прям оугольное  по-
Но  бифазность  все  равно  сохраняется, 
потому  как  то,  что  выполняется  от 
точки  m  к  точке  п ,  сопровождается 
рефлексным  ходом  от  точки  п  к  точке 
т.  Бифазность  дихотомична.  И звест­
ные  мёбиусы  об  этом  молчат.
Чтобы  изменить  состояние  прямо­
угольника  —  изменить  наклон  ди аго­
нали,  нужно  приложить  к  нему  уси­
лие,  ибо  система  из  двух  сопряж ен­
ных  гномонов,  тождественных  по  со ­
стояниям, 
абсолютно 
уравновешена, 
подобно  равноплечим  весам  с  оди на­
ковыми  грузами,  и  сама  себя  вывести 
из  равновесия  не  способна  —  нужен 
внешний  импульс,  толчок:  сжать  или 
растянуть 
прямоугольник, 
например 
вдоль  его  оснований,  т.  е.  произвести 
с  ним  топологическую  операцию.  К о­
нечно,  в  новом  состоянии  система  по- 
прежнему  будет  равновесной.
Топология  позволяет  выполнять  с 
плоскостью  разные  «вольные»  процеду­
ры:  изгибать,  сворачивать,  сжимать  и 
растягивать,  меняя  конфигурацию  и 
масштаб,  но  при  этом  нельзя  вносить 
механические  «повреждения»,  напри­
мер  резать.  В  частности,  евклидова 
поверхность  может  изменить  свою  х а ­
рактеристику  и  обрести  кривизну  — 
стать 
вспарушенной, 
неевклидовой. 
Важно,  чтобы  мерностная  оценка  со ­
хранялась:  то,  что  получится  после 
преобразования,  долж но  измеряться  в 
тех  ж е  мерах;  для  статической  ленты 
М ёбиуса  —  это  см2,  для  статической 
бутылки  Клейна  —  см3.
Чтобы  понять,  как  рассечь  круг  по 
диагонали,  нужно  напомнить  о  неко­
торых  утверждениях,  принятых  на  во­
оружение  геометрией.
1. 
Диагональ  есть  прямая,  соеди­
няющая 
две 
фиксированные 
точки 
(вершины)  многоугольника,  не  приле­
ж ащ ие 
к 
одной 
стороне. 
В 
этом
ле  « зам етается»   струей  на  стадии  двойн ого 
ци кла:  «над»  д и аго н аль ю   (первый  цикл)  и 
«под»  д и агон алью   (второй  цикл)  ан алоги чн о 
ходу  по  мёбиусной  поверхности.

1
2
смысле  треугольник  не  многоугольник 
(хотя  д в а   —  это  уж е  множество,  а 
три  —  тем  более),  т а к   ка к   в  нем  нельзя 
провести 
диагональ. 
Т р е у г о л ь н и к — 
элементарная  структура  многоугольни­
ка,  частным  и  вместе  с  тем  общим 
случаем 
которого, 
если 
следовать 
М.  М арутаеву  [22],  сл уж и т  квадрат.
2.  Окруж ность  есть  предел,  к  кото­
рому  стремится  вписанный  в  о к р у ж ­
ность  правильный  многоугольник,  чис­
ло  сторон  которого  неограниченно  в о з­
растает.
Отсюда  вытекают  две  а л ь т е р н а т и ­
вы:  а)  если  периферия  круга  ( о к р у ж ­
ность)  есть  инвариант  сторон  п р а в и л ь ­
ного  многоугольника  —  сверхугольник, 
то  любая  секущая,  проведенная  в  пре­
д ел ах  круга,  есть  диагональ;  б)  на 
периферии  круга  (на  окруж ности)  нет 
ни  одной  фиксированной  точки,  поэто­
му  провести  диагональное  сечение  в 
круге  в  принципе  невозможно.
Одно  положение  исключает  другое. 
Впрочем,  мы  упустили  из  виду,  что 
в  круге  есть,  по  крайней  мере,  одна 
уникальная 
фиксированная 
точка  — 
центр  круга.  Не  радиус  ли  выразитель 
диагонали?
Мы  попадаем  в  сети  догматов  и 
не  видим  исхода.  А  суть  в  том,  что 
круг 
оценивается 
как 
статическая 
плоскость,  ограниченная  статической 
окружностью,  в  то  время  ка к   уж е  в 
древности  круг  использовался  в  к а ­
честве  символа  циклического  д в и ж е ­
ния, 
как 
абстракция, 
о т р а ж а ю щ а я  
круговороты  мирового  процесса.
Это  положение  не  только  не  у т р а ­
тило  актуальности,  но  и  обогатилось 
спектром 
практических 
приложений. 
З н а ч и т   д о л ж н а   сущ ествовать  аналогия 
меж ду 
прямоугольником, 
сеченным 
диагональю,  и  кругом,  в  котором  та к ж е  
можно  выделить  двойной  ход:  д в и ж е ­
ние  по  окружности  и  смещение  вдоль 
радиуса.  И звестно  это  и здавн а  (так 
с к а за т ь   P l u s g u a m p e r f e k t u m ) .  И  ничто 
не  за п р е щ а е т  
выполнить  оба 
акта 
синхронно. 
Круг  —  дихотомический 
процесс,  регистрируемый  спиралью.
Теперь  мы  можем  произвести  с  п р я ­
моугольником  интересующие  нас  топо­
логические  п реоб разован ия  (рис.  3).
Д л я   удобства  примем  высоту  п рям о­
угольника  за  Н = \ =  const.  Тогда  все 
точки,  входящие  в  верхнее  (п о л о ж и ­
тельное)  основание  (ml),  будут  нор­
мально  отраж ены   в  аналогичны е  точки 
нижнего  (отрицательного)  основания 
(n i l ).  Изогнем  прямоугольник  подобно 
вееру  и  стянем  отрицательное  осно­
вание  (минус-полюс)  в  точку.  Т ополо­
гия 
не  нарушена:  «веер»,  стянутый
в  узел  со  стороны  нижнего  основания 
прямоугольника,  не  изменил  метрики, 
только  верхнее  основание 
(плюс-по­
люс)  обрело  кривизну,  стало  н еевкли ­
довым.  Однако,  к а к   и  в  исходной  по­
зиции,  все  точки  плюс-полюса  н о р м ал ь ­
но  (вдоль  радиусов)  отраж ен ы   в  свер­
нутый  в  точку  минус-полюс  и  удалены 
от  него  на  тождественное  расстояние. 
О стается  развернуть  «веер»  полностью 
до  совпадения  положений  сторон  m i l  
и  nl.  При  этом  точки  / л и   /   сольются, 
ибо  начало  и  конец  цикла  совпадают. 
Р азверн уты й   «веер»  стал   кругом,  в  ко­
тором  фиксирован  момент  слипания

3
радиуса  m i l   с  радиусом  nl.  Теперь  это 
радиус  тп.
После  проделанной  операции  д и а ­
гональ 
прямоугольника, 
подчиняясь 
правилу 
пропорции 
(синхронности), 
примет  конфигурацию  спирали  А р х и ­
меда  *.  Это  единственно  в озм ож н ая 
в 
круге 
траектория, 
и нв ариантная 
диагонали  прямоугольника.  И  это  д и а ­
гональ,  ибо  она  соединяет  две  ф и к си ­
рованны е  точки:  точку  периферии  (к ак 
н ачало  и  конец  цикла)  и  точку  центра, 
п рин ад л еж ащ ую  
другому  основанию 
(точки  периферии  нормально  о т р а ж е ­
ны  в  точку  ц е н т р а ) .
Спираль  Архимеда  в  круге  есть 
топологический  инвариант  диагонали 
прямоугольника.
З а м ен а  статической  точки  зрения 
кинематическим 
подходом 
р азр у б ае т 
очередной  гордиев  узел  **.  М а т е м а ­
тики  упустили  этот  параллелизм.  А  ведь 
отсюда  сразу  ж е   следуют  д в а   нетри­
виальных  положения:
1. 
Как  геометрическая  абстракция 
циклического  процесса  круг  НЕ  есть
*  П редставлен и е о  кон ф и гурац и и   спирали  А рхи ­
м ед а  мож но  получить,  за с т а в и в   «трубку»,  в 
которую   к а к   в  случае  п р я м о у го л ь н и ка,б у д ет  
втекать  ж идкость,  п о ворачи ваться  около  з а ­
крепленного  конца.  С ущ ественно  то,  что  оба 
конца  «трубки»  при  д виж ении  с  оди наковой 
скоростью   в  одном  направлени и  «зам етаю т» 
прямоугольную   конф игурацию ,  наруш ение  р а ­
венства  скоростей  ведет  к  кривизне.
предел  правильного  вписанного  в  него 
многоугольника  с  неограниченно  в о з ­
растаю щ и м   числом  сторон,  ибо  д и а г о ­
н алями  такого  многоугольника  я в л я ­
ются  прямые,  соединяющие  вершины, 
покоящ иеся 
на 
периферии 
( о к р у ж ­
ности)  круга,  в  то  время  ка к   д и а г о ­
наль  круга,  и  притом  единственная, 
есть 
искривленный 
трек 
(спи раль 
А рхимеда),  идущий  от  ф иксированной 
точки  периферии  к  центру  круга.
2. 
Сферу  можно  рассечь  по  д и а г о ­
нали;  секущим  треком  будет  поверх­
ность  тела, 
получаемого  вращ ением 
спирали  Архимеда  около  оси,  п р о х о д я ­
щей  через  концы  спирали,  л е ж а щ е й  
на  оси  сферы.
Только  здесь  следует  внести  с у ­
щественную  корректировку,  сп р а в и в ­
шись  с  которой,  мы  о б язате л ьн о   решим 
з а д а ч у   о  топологическом  п р ео б р азо ­
вании  сферы  в  тор  (и  об ратн о),  после 
чего  получим  возм ож н ость  зан ять ся 
главной  темой  —  феноменом  золотого 
сечения.
**  Ц и ли н д р и ческая  поверхность  со  спиральны м  
витком  —  это  тот  ж е   случай:  если  д и ам етр  
верхнего  основан ия  ц и ли ндра  увеличить,  а 
ни ж н его— ум ен ьш ить  (т ак   поступил  Ф.  Клейн, 
строя  свою  буты лку)  и  д а л ее  сомкнуть  в  точку, 
то  получится  конус,  который  изменением  угла 
м ож но  р азвер н у ть  д о   состояния  плоскости, 
когда  виток  д и аго н али   стан ови тся  спиралью  
А рхимеда.  Т ак   что  все,  рассм отренное  на 
примере  ц и ли ндра,  соответствует  кругу,  сечен­
ному  ди аго н аль ю — спиралью .

Г л а в а   2.  О т  статики  к  антроподинамике
К ак  сказать 
Что  значит 
С е р д ц е ?
Ш ум   сосны 
На  сум иэ.
И к к ю
Сферу  *  можно  получить  как  след 
(трек)  вращения  плоского  круга  во­
круг  оси  (диаметра),  и  для  этого  круг 
достаточно  повернуть  на  180°.  Но  если 
мы  поступим  так,  а  это  первое,  что 
приходит  на  ум,  то  допустим  грубей­
шую  ошибку,  которая  невольно  возни­
кает  без  введения  в  круг  диагональ­
ного  трека  —  спирали  Архимеда.  Спи­
раль  же  необходима,  поскольку  круг  — 
абстракция  бифазного  и  притом  ди хо­
томического  процесса:  один  двойной 
цикл  —  это  вращение  со  смещением 
от 
периферии 
к 
центру  (конвергенция), 
другой  —  вращение  со  смещением 
от 
центра 
к 
периферии 
(дивергенция). 
И,  следуя  принципу  рефлексии,  оба 
акта  реализуются  совместно  (дихото- 
мично),  причем  один  из  них  (какой-то) 
есть  «эхо»  другого:  один  —  «причина», 
другой  —  «следствие». 
Так 
должно 
быть,  ибо  принцип  комплементарности 
того  требует.
Тождество 
гномонов 
прямоуголь­
ника  при  его  свертке  в  круг  утрачива­
е т с я —  симметрийное  равенство  нару­
шено.  Это  видно  из  рис.  4.  С ледова­
тельно,  по  своим  состояниям  аналогич­
ные  (синхронные)  фазы  поворота  в
*  В  данном  слу ч ае  под  сферой  поним ается  с ф е ­
рическое  пространство.
каждом  гномоне  различны,  антисим­
метричны.  И  когда  методом  вращения 
мы  «заметаем»  плоским  кругом  со  спи­
ралью  сферу,  то,  чтобы  получить  тело 
вращения,  приходится  выполнить  о б о ­
рот  на  360°.  Только  тогда  спираль 
Архимеда  тоже  даст  тело  вращения  — 
спиралоид.  Но  при  этом  объем  «зам е­
тенной»  сферы  составит  двойную  (!) 
конфигурацию:  сфера  в  сфере,  или
дуплекс-сф ера  (рис.  5).  Это  и  есть  та 
самая 
существенная 
корректировка, 
которую  надлежало  показать.  Спира­
лоид  «расслаивает»  дуплекс-сферу  как 
многомерное  тело,  а  не  как  обычный 
физический  (статический)  объем.  Б у­
дучи  многомерным  топологическим  ин­
вариантом  евклидово  плоского  прямо­
угольника,  сеченного  диагональю,  спи- 
ралоидная  дуплекс-сфера  (С Д С )  ст а ­
новится  неевклидовым  (точнее,  псевдо- 
евклидовым)  образованием  и  к  тому  же 
мёбиусным,  однако  принципиально  от­
личным  от  всех  известных  мёбиусов. 
Но  об   этом  подробнее  в  дальнейшем. 
Здесь  только  добавлю,  что  к  решению 
этой  задачи  был  близок  И.  Кеплер, 
пытался  ее  сформулировать  еще  П л а­
тон,  но  оба  не  достигли  успеха  —  кон­
струкция  диагонального  сечения  в  круге 
и  его  феноменология  как  резонанс­
ного  контура  ускользали.

Выше  отмечалось,  что  гномоны  кру­
га  антисимметричны.  Тем  не  менее 
будет  полезно  д ать   дополнительные 
разъяснения,  так  к а к   не  каж д ы й   спо­
собен  сразу  ухватить  логику  столь 
сложного  в  пространственном  о т о б р а ­
жении  геометрического  построения.
Обыкновенная 
д и агон аль  
ф и к си ­
рует  статическое 
(механическое)  с о ­
стояние  для  всех  ф а з  
(положений) 
д виж ущ ейся  по  прямоугольнику  «труб ­
ки»:  наклон  диагонали  стабилен.  Иное 
дело  спираль.  Ее  любые  две  точки, 
сколь  угодно  мало  отстоящие  друг  от 
друга,  характеризую тся  разной  к р и ­
визной  (кривизна  рав н а  -^-),  и  к а с а ­
тельные  к  спирали  в  этих  точках  секут 
соответствующие  радиусы  круга  под 
различными  углами.  В  этом  легко  убе­
диться  (рис. 
6
).
Угол  (фо),  образуемый  к а с а т е л ь ­
ными  к  окруж ностям   и  к  спирали  в 
точке  пересечения  спирали  с  о к р у ж ­
ностью  (точка  т ) ,  и  угол  (фо),  со с т а в ­
ленный  касательной  к  спирали  в  точке 
центра  круга  (точка  п)  и  «разверткой» 
центра  (а  это  будет  прямая,  п а р а л л е л ь ­
ная  касательной  к  окружности  в  точке 
т ) ,  не  равны  по  абсолютной  величине, 
поскольку  во  втором  случае  спираль 
не  пересекает  радиус  круга,  а  вписы­
вается  в  него.  Следовательно,  н а ч а л ь ­
ные  фазы 
(сингулярные,  или  ноль- 
фазы )  обоих  гномонов,  к а к   и  все  п ро­
межуточные 
ф азы , 
за 
исключением 
средней,  т.  е.  ф азы   полуцикла,  р а з л и ч ­
ны,  а  потому  не  симметричны.  А н а л о ­
гией  данного  случая  яв л яю тс я  р а в н о ­
плечие  весы  с  разными  подвесами: 
неравенство  моментов  вращ ения  з а ­
ста вл я ет 
весы 
крутиться. 
Подобное 
качество 
присуще 
кругу, 
сеченному 
спиралью  Архимеда.  В  этом  з а к л ю ч а ­
ется  принципиальное  различие  топ оло­
гически  инвариантных  прямоугольника 
и  круга,  «расслаи ваем ы х»  по  д и а г о ­
нали*.
Мы  сталкиваем ся  с  любопытнейшим
*  Д л я   регистрации  пропорции  посредством  со­
отношения  сторон  прямоугольника  каж ется 
вполне допустимым  использовать лиш ь  прямой 
угол,  стороны  которого,  взятые  в  интересую­
щем  нас  соотношении,  способны  символизиро­
вать  избранную  пропорцию.  Но  это   неверно  в 
принципе.  Н а  примере  круга  мы  совершили 
очередную  ошибку,  сославш ись,  что  длина  ок­
ружности  ( С )   ка к  инвариант  длины  основания 
прямоугольника  и  величина  радиуса  (/?)  как 
аналог  его  высоты  описывают  соотношение 
C /R  =  2n.
  Это,  ка к  известно, 
константное
  со­
отношение  д ля  окружности  любого  радиуса. 
Отсю да  мы  бы  заклю чили,  что  состояние  круга 
абсолютно 
неизменно 
—  его  невозможно  изме­
нить даж е топологически,  уменьш ая  или  увели­
чивая  радиус.  О днако  конф игурация  спирали 
указы вает  на  лож ность  подобного  суж ден ия: 
минус-полюс  и  плюс-полюс  круга  исконно  пре­
бы ваю т  в  дисимметричных  состояниях.  В о т 
почему  столь  важен  угол  наклона  диагонали 
(ф ).  У тр ати в  симметрийную  тож дественность, 
периферия  и  центр  круга  обязаны  вступ ить  в 
процесс  какого-то  взаимодействия,  а  зоны,  на 
которые  спираль  (спиралоид)  «расслаивает» 
круг  (дуп л е кс-сф е р у),  являю тся  хар акте р и сти ­
ками  фазовы х  состояний,  реализуемы х  в  ходе 
тако го   совместного  взаимодействия.
5
■

абстрактным 
аппаратом, 
символизи­
рующим  «игру»  пропорциональных  от­
ношений,  причем  эта  «игра»  ведется 
«в  двух  лицах» 
без 
внешнего  вмеш а­
тельства  непрерывно  и  самопроизволь­
но,  т.  е. 
спонтанно: 
система  вращается 
сразу  в  двух  (!)  направлениях— по 
ходу  стрелки  часов  и  против.  И  все, 
что  приложимо  в  адрес  круга,  ост а­
ется  справедливым  и  для  СДС.
СДС  —  двунаправленно 
вращ аю­
щаяся 
система, 
спонтанно 
перехо­
дящая  из  состояния  в  состояние  на 
стадии  двойного  цикла,  что  составляет 
в  радианах  4л.  Правда,  вращение  здесь 
не  обычное,  и  мы  еще  коснемся  этой 
детали.
Не  здесь  ли  ключ  к  пониманию 
принципа  вечного  двигателя,  который 
для  автономного  существования  дол ­
жен  обладать  способностью  сам опро­
извольно  поддерживать  собственную 
динамику,  что,  без  сомнения,  обуслов­
лено  свойством  преобразовывать  сим­
метрий ные  качества  *.  А  ведь  спонтан­
н ость —  природный  феномен  всего  ж и ­
вого  **.  И  только  уяснив  глубинные 
принципы,  на  которых  функционирует 
биос,  цивилизация 
вступит  на  сле­
дующий  качественно  новый  уровень 
освоения  ресурсов  природы.  В  этом  от­
ношении  активно  растущий 
интерес 
инженеров,  конструкторов,  кибернети­
ков,  дизайнеров  и  архитекторов  к  био­
ническим  проблемам  свидетельствует  о 
начальной  стадии  приобщения  к  более 
тонким  механизмам,  лежащим  в  нед­
рах  органического  мира.  Вне  всякого 
сомнения,  если  удастся  осуществить 
идею  вечного  двигателя, 
то 
можно 
смело  утверждать,  что  его  конструк­
ция  будет  выполнена  по  принципу  ор ­
ганизации  биоструктур.  Вечный  двига-
*  С огласно  теорем е  Н етера,  эн ергетические  по­
тенц иалы   системы  спонтанно  изм еняю тся  с 
изменением  ее  симметрийных  свойств.  В  этом 
отнош ении  модель  С Д С   следует  счи тать  ф о р ­
мальной  иллю страцией  данной  теорем ы ,  пото­
му  что  механизм  С Д С   р аб о та ет   по  принципу 
пульсирую щ ей  симметрии.
тель  следует  формировать  не  как  ме­
ханизм,  а  как  организм.  Изобретатели 
ищут  «клад»  не  там,  где  он  закопан. 
Но  оставим  изобретателям  то,  что  с о ­
ставляет  хлеб  их  насущный.  Для  нас 
же  небезынтересно  то  обстоятельство, 
что  СДС  имеет  право  претендовать  на 
роль  общесистемной  модели,  поскольку 
современное  мировоззрение  соглаш а­
ется,  что  движение  природы,  ее  гло­
бальных  процессов  происходит  цикли­
чески 
(по 
кругу), 
а 
эволюционное 
становление  систем,  сопровождаемое 
изменение*м 
качественных  признаков, 
протекает 
спиралеобразно, 
ибо 
ка­
чественные  преобразования  (мутации) 
поднимают  систему  на  более  высокий 
уровень  организации, 
определяя 
ее 
совершенство.
После  того,  что  удается  выяснить 
в  столь  тривиальной  конструкции  гео­
метрического  прямоугольника,  позво­
лительно  выстроить  иерархическую  пи­
рамиду:
а) 
СДС  —  многомерная 
(глобаль­
ная) 
модель,  отвечающая  критериям 
общесистемного  содержания,  иллюст­
рирует  принцип  спонтанного  вращ е­
ния;
**  Не  меш ает  напомнить,  что  ф ундам ентом   сп он ­
танности  H o m o sa p ien s  яв л я ет ся   ж елан и е.  Но 
когда  человек  становится  рабом   своих  с тр а с ­
тей,  его  сознание  м еркнет  и  он  у п о д о б л яет­
ся  ж ивотному.  И  з а д а ч а   человека,  его  эв о л ю ­
ционный  рост  состоит  в  том,  чтобы  с о зн а ­
тельн о  у п р ав л ять  своими  эм оциям и,  ж е л а н и я ­
ми.  Здесь  с то л б о вая  дорога  ц и ви ли зации.  О б ­
щ ество людей  разум н ы х д о л ж н о   ста ть  об щ ест ­
вом  людей  сознательны х,  воспит анных.  В  этом 
цель  человеческих  устремлений.  Не  реверан с 
в  сторону  ин теллекта  —  « н аперстника»  ж е л а ­
ний,  а  акц ен т  на  культуру  расш иренного 
сознания,  которое  д о л ж н о   дом и н и ровать  в 
ф орм ировании  человека^ способного  отвечать 
перед  общ еством  з а   свои  поступки.  В от  по­
чему  столь  важ ен   культурный  слой  наш его 
исторического  н аследия,  при зван н ого  помочь 
человеку  ори ен ти роваться  в  культурны х  ц ен ­
ностях.  Вот  почему  обращ ени е  к  зн ан и ям   н а ­
ших  доблестных  п рародителей  способствует 
нам  лучш е  осм ы слить  достои нства  и  недос­
татк и   современной  культуры.

б)  круг,  сеченный  спиралью  Архи­
меда,  есть  плоскостной  псевдоевкли- 
дов  срез-проекция  СДС  (не  сечение 
вдоль  оси  С Д С !);
в) 
прямоугольник,  сеченный  д и а ­
гональю,  есть  топологический,  евкли­
дово-плоский  статический 
инвариант 
круга,  сеченного  спиралью;
г)  прямоугольный  треугольник  — 
элементарная 
статическая 
структура 
(фрагмент)  прямоугольника.
Далее.  СДС  —  современная  общ е­
системная  абстракция  эволюционного 
становления;  прямоугольник  с  ди аго­
налью  и  его  фрагмент  —  прямоуголь­
ный  треугольник  суть  геометрические 
атрибуты  древнейших  космогоний.  Вы­
ходит,  в  древности  ведали  принципы, 
принятые  на  вооружение  современной 
наукой.  Только  язык  туманного  про­
шлого  носил  более  простой,  я  бы  ск а­
зал,  компактный,  свернутый,  т.  е.  ко д о ­
вый  характер,  почему  не  всегда  и  у д а ­
ется  понять  и  трезво  оценить  сакраль­
ный  смысл  мифологического  текста.
Теперь 
придется 
разобраться 
в 
структуре  СДС,  чтобы  с  ее  помощью 
и  под  ее  углом  зрения  вынести  су ж д е­
ние.  Но  прежде  позволим  себе  сделать 
небольшую  передышку.
* 
*
*
Н епосвящ енны х  голос 
легко весен.
И.  В.  Г ё т е  ( Ф а у с т )
Прошло  то  время,  когда  в  адрес 
Модулора  отпускались  колкие  репли­
ки,  возникали  разногласия,  споры.  А 
ведь  если  говорить  профессионально, 
все  эти  реки  подчас  бранных  слов  не 
задели  и  краем  существа  того,  чем  так 
богат  инструмент  выдающегося  зо д ­
чего  XX  столетия.  Я  не  ошибусь,  если 
скаж у,—  изобрети 
Корбюзье 
только 
Модулор  и  не  построй  даж е  капеллы
в  Роншане,  имя  его  все  равно  было  бы 
вписано  в  историю  золотыми  буквами.
Рассказанное  на  предыдущих  стра­
ницах  без  ссылок  на  автора  Модулора 
(в  этом  не  было  пока  необходимости) 
в  действительности 
явилось 
плодом 
тщательного  анализа  системы,  кото­
рую,  к  сожалению,  неглубоко  изучают 
(не  изучают,  а  поверхностно  знако­
мятся)  в  высшей  архитектурной  шко­
ле.  И  замечательное  не  только  в  прак­
тическом  смысле,  но  как  духовное  з а ­
воевание  человеческого  гения  остается 
где-то  на  задворках  учебного  процесса, 
если,  конечно,  сам  студент  не  окажется 
вдумчивым  и  прозорливым  учеником. 
Ведь  самостоятельно  разобраться  в 
тонкостях  М одулора  подчас  не  под 
силу  даж е  профессиональному  зодчему 
с  большим  стажем  практической  д е я ­
тельности.  Впрочем,  голова  студента 
не  забита  прагматическим  хламом,  и 
есть  надежда,  что  его  подвижной  ум 
быстрее  схватит  многие  непростые  идеи, 
в  которые  его  стоит  посвятить  хотя  бы 
потому,  что  студент  молод  и  впереди 
у  него  долгий  и  неизведанный  ж изнен­
ный  путь.  И  свет  знания  на  избранном 
им  самим  пути  будет  ему  славным  и 
надежным  помощником.
Освежим  в  памяти  построение  з о ­
лотого  сечения  (З С ).  Его  надо  иметь 
в  виду,  анализируя  Модулор.  Но  и  не 
только  с  этой  целью.  Вот  способ,  ко­
торый 
был 
изобретен 
в 
древности 
(открытие  Хеси-Ра?) 
и  который  не 
устарел  в  наши  дни  (рис.  7 ).
В  прямоугольнике  с  соотношением 
сторон 
1 : 2   строится  диагональ,  на 
которую 
поворотом 
накладывается 
меньшая  сторона.  «Свободный»  оста ­
ток  диагонали  поворачивается  возле 
вершины  прямоугольника  до  совмещ е­
ния  с  положением  верхнего  основания. 
Переносимый  конец  остатка  диагонали 
рассекает  верхнее  основание  на  два 
неравных  отрезка  в 
пропорции 
ЗС

10
11
При 
целочисленном 
соотношении 
сторон  д иагональ  данного  п рям оуголь­
ника  исчисляется  иррациональным  з н а ­
чением,  равным  т/5.  Вычитая  из  и р р а ­
ционального 
отрезка 
целочисленное 
значение  стороны  прямоугольника,  мы
соверш аем  переход  от  величины  одной 
кратности  к  величине  иной  к р а тн о ­
сти  —  отрезки  несоразмерны.  Т а к   что 
метод  древних  позволительно  н азв ать 
методом  несоразмерных  отрезков.  И н о ­
го  метода  матем атика  не  предлагает. 
О казы вается,  сущ ествует  вариант 
и 
именно  такой,  который  выполняется  с 
использованием  только  целочисленных 
величин.  Я  н азв ал   это  построение  ме­
тодом  соразмерных  отрезков.  Вот  он 
(рис. 
8
).
Р асстояние 
меж ду  двумя 
п а р а л ­
лельными 
прямыми 
примем 
равным 
двум  единицам.  П роведем  нормаль  и 
отлож им  от  нее  на  верхней  прямой  от­
резок,  равный  трем  единицам.  Этот  от­
резок  повернем  к а к   радиус  до  пересе­
чения  с  нижней  прямой:  пространство 
меж ду  засечкой  и  нормалью  о к а з ы ­
вается  равным  д/5.  В  процедуре  п о ­
строения  М одулора  этот  интервал  обус­
лов ли в ает  положение  вертикальной  оси 
основного  кв а д р а т а   в  пределах  п р я м о ­
угольника 
с 
соотношением 
сторон
1  : 2   (рис.  9),  вследствие  чего  на  осно­
вании  этого  прямоугольника  в ы ч л ен я­
ются  три  отрезка,  подчиненные  соот­
ношению  З С   (рис.  10).
В  нашем  случае  аналогичный  ре­
зул ь тат  получится  после  того,  к а к   по 
обе  стороны  засечки  (точка 
0
)  мы  от­
л о ж и м   по  отрезку  величиной  в  одну 
единицу.  Восставив  на  концах  этих 
отрезков  перпендикуляры,  мы  с ф о р ­
мируем  к в ад р ат  (рис.  11).  Остается 
отлож ить  вдоль  его  основания  четыре 
единицы,  п рив язав   их  к  положению 
первой  нормали,  и  расположение  к в а д ­
р ата 
в 
пределах 
отрезка, 
равного 
четырем  единицам,  будет  то ж д е с т в е н ­
но  результату  Корбюзье  (рис.  12).  По 
ходу  построения  мы  пользовались  лишь 
единственным  (раци он альн ы м ) 
моду­
лем. 
Отличие 
от  древнего  способа 
состоит  в  том,  что  гипотенуза  задается 
в  целочисленных  единицах  (три  е д и ­
ницы),  в  то  время  как  древнеегипет­
ский 
метод  извлекает  иррациональ-

ную  гипотенузу  как  результат  цел о­
численных 
катетов. 
При 
намерении 
рассечь  отрезок,  равный  четырем  м о­
дулям 
в 
отношении 
ЗС , 
придется 
(рис.  13):  а)  провести  горизонтальную 
ось;  б)  провести  секущую  через  место 
пересечения  добавленной  горизонтали 
с  вертикальной  осью  кв а д р а т а   и  через 
точку  верхнего  основания,  отстоящую 
от  первой  нормали  на  два  модуля  (точ ­
ка  3') ,   б ла года ря  чему  нижний  отре­
зок,  состоящий  из  четырех  модулей, 
будет  рассечен  на  два  и нтервала  в  от­
ношении  ЗС.
К а к   видим,  на  любой  стадии  п о­
строения  используются  только  кр а т ­
ные 
(целочисленные) 
отрезки; 
пере­
хода  от  рационального  модуля  к  и р р а ­
циональному  не  требуется.  Тем  не  ме­
нее  я  вернусь  к  рассмотрению  д р е в ­
него  способа,  потому  как  его  удается 
слегка  видоизменить  и  получить  ключ, 
с  помощью  которого  Модулор  начинает 
раскры вать  некоторые  таинства,  о  ко­
торых  д огад ы в ал ся  Корбюзье,  когда 
говорил,  что  он  «страш ится»  пересту­
пить  порог  приоткрытой  двери,  за  ко­
торой  п рогляды вается  нечто  з а г а д о ч ­
ное.
М одификация 
древнего 
способа 
построения  ЗС   совершенно  н езн ач и ­
тельна, 
я 
бы  с к азал , 
элементарна. 
Но  она  д а е т   неожиданный  поворот 
всей  процедуре  построения  З С ,  и  не 
только  данной  пропорциональной  з а ­
висимости  (рис.  14).
Повернем  всю  д и а го н а л ь   д в у с м е ж ­
ного  кв адрата  *  до  совмещения  с  п о­
ложением  верхнего  основания  и  о тл о­
жим  на  ней  меньшую  сторону  от  точки
В   дальнейшем  прямоугольник  с  соотношением 
сторон  1:2 я  буду назы вать не двойным  квадра­
том  (согласно  Ко рб ю зье),  а двусмежным  квад­
ратом,  ибо 
двойной
  квадрат  (по  см ы слу)  — 
это  квадрат  в  квадрате,  в  то   время  как 
двусмежный
  квадрат  есть  прямоугольник,  со­
ставленный  смежением  двух  квадратов  вдоль 
одной  из  сторон  каж дого.  Впрочем,  это  отме­
чал  и  сам  Корбюзье.
12
13
14
15
16
Ь ~сьТ> =
b 
a + b0 
.  g  i
(Г
с
\г
г   " "
I
4
v J I  I
0
t'4_J
■ w
засечки  (точка  5 ').  Тем  самым  верхнее 
основание  расчленяется  в  отношении 
ЗС ,  т ак   как  выполняется  операция, 
инвари ан тн ая  древнему  способу.  Точ­
ку  сечения  (точка  3 )  нормально  опус­
тим  на  нижнее  основание,  которое,

естественно, 
рассечется 
в 
том 
же 
соотношении.  Однако  точку  сечения 
нижнего  основания  (точка  3')  можно 
получить  более  короткой  операцией: 
из  конца  (5')  положенной  диагонали 
проведем  луч  под  45°  к  основанию 
(рис.  15).  Если  теперь  из  точки  пере­
сечения  луча  с  нижним  основанием 
построить  отраженный  луч,  составля­
ющий  с  первым  угол  в  90°  (рис.  16), 
то  будет  очерчен  опрокинутый  прямой 
угол  с  равными  сторонами  в  простран­
стве  между  параллельными  прямыми, 
проходящими  через  верхнее  и  нижнее 
основания  двусмежного  квадрата.  О т­
сюда  начинаются  «магия»  и  «волш еб­
ство»  Модулора,  и  чтобы  в  том  у б е­
диться, 
проследим 
ход 
построения 
Модулора.
Исходную 
концепцию 
геометрии 
Модулора  Корбюзье  формулирует  сле­
дующим  образом:  «...третий  квадрат 
строится...  внутри  прямого  угла»  [17, 
с.  254— 255],  а  под  прямым  углом  под­
разумевается  двусмежный  квадрат.
Рассматривая 
последовательность 
операций  построения  Модулора,  нель­
зя  не  отметить,  что  формулирование 
принципа  не  соответствует  ходу  его 
геометрического  построения:  Корбюзье 
с н ачала  строит  основной  квадрат  и 
только  после  этого,  используя  тради­
ционный  способ  членения  отрезка  на 
золотые  доли,  определяет  около  него 
положение  двусмежного  квадрата,  а  не 
наоборот,  как  это  следует  из  ф орм у­
лировки.  Фактически  это  означает,  что, 
располагая  лишь  двусмежным  квадра­
том 
и  обусловленным 
внутри 
него 
положением  прямого  угла,  нельзя  уста­
новить,  какое  место  должен  занять 
основной  квадрат  в  пространстве  д в у ­
смежного  квадрата.  Но  это  деталь, 
так 
сказать, 
мелочная 
придирка  *.
*  «Мелочная  придирка»  показывает,  что  исход­
ной  позицией  М одулора  является  квадрат,  а 
не  двусмежный  квадрат.
Сам  ход  построения  Модулора  пока­
зан  на  рис. 
17. 
Квадрат  членится 
вертикальной  осью  (00 ),  и  в  одной  из 
его  половин  строится  диагональ  (она 
составит  величину  -д/5,  так  как  стороны 
квадрата  тождественны  и  для  удобства 
расчетов  половина  стороны  принима­
ется  равной  единице),  которая  опро­
кидывается 
на 
положение 
нижнего 
основания.  Затем  из  опрокинутого  кон­
ца  диагонали  испускается  луч  под  45° 
к  основанию  и  в  точке  пересечения  с 
верхним  основанием  задается  другой 
луч,  составляющий  вместе  с  первым 
угол  в  90°.  Отрезки  лучей  в  простран­
стве  между  положениями  оснований 
квадрата 
образую т 
равносторонний 
пр я моу гол ьный 
треугольник, 
опр еде - 
ляющий  габариты  двусмежного  квад­
рата,  в  который  вписан  этот  треуголь­
ник.  При  этом  основной  квадрат  ока­
зывается  так  расположен  в  пределах 
двусмежного,  что  на  основании  фор­
мируются 
три 
интервала,  подчиненных 
пропорции  ЗС:  Ь\  а-\-Ь\  а.  Справед­
ливости  ради  подчеркну,  что  в  таком 
виде  решение  было  дано  математиком 
Д ю ф о  де  Кодераном  из  Жиронды,  на 
что  Корбюзье  ревностно  прореагиро­
вал:  «Предложение  мсье  Д ю фо  в а ж ­
ное,  точное,  весьма  простое  и  изящ ­
ное.  Но...  ведь  я-то  шел  другим  путем!» 
[18,  с.  131].  Разумеется,  в  уточненном 
варианте  соль  построения  самого  Кор­
бюзье  не  утратилась, 
но  результат 
принял  рафинированный  вид,  ибо  в  сво­
ем  подходе  Корбюзье  пытался 
(не­
удачно) 
одновременно 
использовать 
две  иррациональные  величины,  кото­
рые  успешно  применяли  на  практике 
зодчие  всех  цивилизаций:  д/2  как  д и а ­
гональ  квадрата  и  У5  как  диагональ 
двусмежного  квадрата.
В  дальнейшем  этот  этап  построе­
ния  Корбюзье  использует  в  двух  пл а­
нах.
1. 
Ориентируя  построение  в  верти­
кальной  плоскости  и  смещая  основной 
квадрат  книзу,  он  выстраивает  компо­

зицию  из  трех  золоточленных  отрез­
ков  в  последовательный  ряд,  благо­
даря  чему  соотносит  его  с  пропорция­
ми  мужского  тела  (рис.  18).  И  здесь 
сразу  настораживают  два 
момента:
а)  рука  мужчины  не  вытянута  вверх 
полностью,  а  занимает  неопределенное 
положение; 
б) 
средняя 
линия  дв у­
смежного  квадрата 
не 
отвечает  уровню 
солнечного  сплетения,  как  об  этом  го­
ворит  Корбюзье,  ибо  действительное 
положение  солнечного  сплетения  не­
сколько  выше;  в  данном  случае  это 
лишь 
средняя 
линия, 
отмечаемая 
складкой  на  теле  чуть  выше  пупка.
2. 
Вводится  секущая  (т'/г'),  кото­
рая  проходит  через  точки  взаимопере- 
сечения  сторон  прямого  угла  со  сторо­
нами  основного  квадрата.  Она  прод­
левается  в  обе  стороны  до  пересечения 
с  продолжениями  оснований  двусм еж ­
ного  квадрата.  Затем  поверх  секущей 
( т п \   определяющей  габариты  прямо­
угольного  поля  (m/я //),  строится  спектр 
треугольников,  подобных  тому,  кото­
рый  отсекается  около  вершины  пря­
мого  угла  (рис.  19).  Треугольники  под­
чинены  пропорции  ЗС  и  занимают  зону 
«над»  секущей,  т.  е.  покоятся  в  верх­
нем 
гномоне 
m ln .  
Нижний 
гномон 
(n llm )  остается  пустым.  С  этого  мо­
мента  начинается  «туман»,  потому  что 
полученная  геометрия  отнюдь  не  М о ­
д у л о р   (!),  а  его  конструктивная  схема 
(К С ),  ибо  ритмы  интервалов  КС  и  ин­
тервалов  Модулора  никоим  образом 
не  тождественны  —  они  всего-навсего 
инвариантны.
Первое,  на  что  приходится  о б р а ­
тить  внимание,—  это  отсутствие  в  рит­
мике  КС  фиксированного  узла 
(его 
нет  ни  в  синем,  ни  в  красном  ряду), 
членящего  поле  КС  на  две  равные 
части,  что  имеет  место  в  М одулоре. 
Идея 
двусмежного 
квадрата 
цепко 
держ ит  логику  зодчего  в  своих  о б ъ я ­
тиях:  двусмежный  квадрат  —  ф ун да­
мент  его  концепции. 
Понимая, 
что 
в  шкалах  КС  не  отыскать  нужной
точки  *,  Корбюзье  прибегает  к  хирур­
гическому  вмешательству:  он  иссекает 

жүктеу/скачать 57,19 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: