Три взгляда

№
п.п.
х А
№
п.п.
ха
1
0,943
2
0,800
3
0,795
4
0,941
5
0,729
6
0,985
7
0,713
8
0,9961
9
0,7085
10
0,9990
11
0,7075
12
0,9998
13
0 ,7 0 7 2 ^
~   (V2)
14
0,9999 «
~ ( V 2 ) °
Т а б л и ц а   4
№
п.п.
* г а р
1
X   2 ± 1   =   _3_  =   о  750  =   0,429 
2 
2 
4 
0,571
2
- 2 ! _   =   А .   =   0,800  =   0*444 
22+ 1  
5 
0,556
3
Х _   =   JL   =   0,889  =   0*4ZJ 
23+ 1  
9 
0,529
4
24 
_   16  -   0  941  -   5*485 
24+ 1  
17 
’ 
0,515
5
=   3 2   =   0,970  =   0*49? 
25+ 1  
33 
0,508
6
-2^—  =   М   =   0,985  =   0*42!?
26+ 1  
65 
0,504
7
27 
_  128  _ 
a
  q q o  
_0,498
27+ 1  
129 
’ 
0,502
i
вать  по  формуле  (21),  т.  е.  по  S K  в  Д*. 
Если  i =   —  1,  то  получим  числа  табл.  4 
и  5.
Из  этих  таблиц  видно,  что  в  основе  на­
рушенной  симметрии  —  нарушенная  ди-
№
п.п.
Х \
№
П.П.
х а
1
0,750
2
0,884
3
0,889
4
0,751
5
0,970
6
0,718
7
0,992
8
0,7099
9
0,9981
10
0,7078
11
0,9995
12
0,7073
13
0,9999 ж  
« (V 2 )0
14
0,7071  ^
~  (V2)
Т а б л и ц а   5
№
п.п.
*гар
1
V2 
- 2 -  
=   0,943 
=  
3*425 
2 + 1  
0,515
2
_L 
2 i ± J   =   0  884  =   М 6 9  
У2 
22 
0,531
3
_L  22JJ 
=   0,795 
=  
0*443 
■ф. 
23 
0,557
4
-L 
2 l i _ l  
=  
о  
75,  =  
0 ^ 2 9
V2 
24 
0,571
5
_L 
25+ 1   _  
о  
790
  _   0.422 
V2 
25 
' 
0,578
6
J_ 
2f_=h J   =   0,718 
=  
0*41^ 
д/2 
26 
0,582
7
J _   2 l± _ l  =   0 713  =   Щ 6  
V2 
27 
0,584
*  В  дальнейшем  всегда,  когда  /  или  /  стоит 
после  скобки  или  когда  стоит  и  /,  и  /  ( /,/) , 
то  это  значит:  число,  полученное  в  скобках, 
следует  преобразовать  в  /-й,  или  /-й,  или  в  /-й 
и  /'-й  диапазоны.

5.  Дихотомия: 
д еление 
п о ­
полам
хотомия.  Действительно,  S K основана  на 
качественном  равенстве  а — 2па,  кото­
рое,  очевидно,  обобщает  п р и н ц и п   д и х о ­
томии.  Поэтому  S к  в ы р а ж а е т   т а к ж е   и 
дихотомию.  S„  н аруш ает  дихотомию: 
числа  S„  (см.  табл.  4)  п редставляю т 
собой  соотношение  чисел  дихотомиче­
ского  ряда  2,  4,  8,16  ...  (2 я)  с  числами, 
отличающ имися  на  единицу  от  чисел 
этого  ряда  (эта  же  суть  содерж ится 
и  в  табл.  5).
Выше  мы  приводили  примеры  в ы р а ­
жения  дихотомии  в  музыке  (октавное 
подобие)  и  в  биологии  (деление  кле­
ток  пополам).  Дополним  эти  примеры. 
Структура  музыкальной  формы  —  пе­
риоды,  предложения,  ф р азы   и  т.  д .— 
состоит  из  4, 
8
,  16,  32  тактов.  Это  о тн о ­
сится  ко  всем  стилям  и  эпохам.  П о ­
чему  это  так?  Вопрос  оста ва л ся  без 
ответа.  Но  в  соответствии  с  законом  1 
именно  так  и  д олж н о  быть.  Если  п о­
смотреть  на  отдельные  разделы   формы, 
то  они  в ы р а ж аю т  дихотомию;  если  же 
посмотреть  на  форму  в  целом,  то  в  ней 
на  каж дом   ш агу  наруш ается  д ихото­
мия 
в 
соответствии 
с 
законом 
II 
(см.  §  28).  То  ж е  самое  в  биологии. 
Н а  рис.  5  п оказано  деление  пополам  — 
дихотомия,  что  относится  и  к  делению 
клеток.  Если  посмотреть  на  каж д ы й  
отдельный  акт  деления  (на  рис.  5 — 
д ва  акта  д ел ен и я),  то  он  в ы р а ж а е т   д и ­
хотомию  (числа  2,  4, 
8
...).  Если  по­
смотреть  на  процесс  деления  в  целом, 
то  он  в ы р а ж а е т   нарушение  д ихото­
мии,  т ак   к а к   первый  элемент  (первая 
клетка)  приб авл яется  к  одной  из  сим­
метричных  половин  деления  и,  таким 
образом,  при  каж д ом   акте деления  одна 
из  половин  отличается  на  единицу  от 
чисел  2"  в  соответствии  с  законом  II. 
(Мысль  о  прибавлении  первой  клетки 
к  одной  из  симметричных  половин  д е ­
ления  вы сказана  врачом  В.  И.  Т ури ­
ным.)  Если  дихотомию,  показанную  на 
рис.  5,  представить  как  временной  п р о ­
цесс,  то  неодновременность  последую­
щих  актов  деления  будет  п орож д ать 
числовые  ряды  нарушенной  симметрии, 
хотя  в  основе  их  и  л еж и т  дихотомия 
(каж д ы й   акт  есть  деление  пополам). 
Отсюда  можно  предположить,  что  акты 
деления  д олж ны   находиться  в  опреде­
ленных  числовых  отношениях,  соответ­
ствующих  зак он ам   гармонии.  Таким 
образом,  в  самой  дихотомии  в ы р а ж а ­
ются  и  S K 
и
 
S h.  Симметрия  существует 
вместе  с  нарушением;  если  нет  симмет- 
рии,  то  нет  и  нарушения.  Поэтому  в  ис­
кусстве  (особенно  в  музыке  и  архи тек­
туре) 
прочный 
симметричный 
остов 
(костяк,  сетка)  позволяет  почувство­
вать  и  многообразное  в ы раж ение  S„ 
(см.  §  28).
16. 
СЕМЬ ОКТАВ 
КАЧЕСТВЕННОЙ  СИММЕТРИИ
Вернемся  к  табл.  2  и  3.  С огласно
(24) 
х г а р 
=  
х к / х д   - L
x
a . 
Поэтому  табл.  2
и  3  эквивалентны  табл.  4  и  5  и  х А  в 
табл. 
2
  и  3  можно  р а с см а тр и в ать   как
Х г а р .-
Все  значения  х А,  с в язы в аю щ и е  как

нечетные степени д
/ 2
  (в табл. 
2
  —  левый 
столбец,  в табл.  3  —  п р а в ы й ) ,  т а к  и  ч ет­
ные  (в  табл. 
2
  —  правый,  в  табл.  3  — 
левый  столбец)  с  ка ж д ы м   шагом  стре­
мятся  к  пределу  (lim  х А= х к) ,  т.  е.— 
соответственно  к  нечетной  и  четной  сте­
пени  д/2,  что  в  Д   соответствует  числам 
( д 2
) - 1
 = 0 , 7 0 7   и  (д /2 )°=   1,000(границы 
— 1
Д ) .   Совпадение  значений  х А  с  этими 
числами  в  пределах  трехзначности  з а ­
канчивается  на  13-м  и  14-м  шаге,  т.  е. 
нарушение  симметрии,  в ы р а ж аю щ еес я 
в  отклонении  от  единицы  отношения 
х д/Хк  (или  что  то  же  самое  —  значения 
х х   в  табл. 
2
),  количественно  с  каж д ы м  
шагом  растет 
(на 
13-м  ш аге  х А=  
=  45,2604;  на  14-м  шаге  х А= 6 4 ,0 0 3 9 ) , 
но  качественно  стремится  к  минимуму
(в  Д   имеем:  45,2604— 0,7072;
64,0039— 0,9999;  см.  табл.  2).  Т а к   как 
трехзначность  (в  смысле  трех з н а ч а щ и х  
цифр)  яв л яется  важ н ы м   свойством  к а ­
чественной  определенности  чисел 
(в 
пользу  этого  постулата  мы  приведем 
соображ ения  н иж е),  то  7  октав  (1 4 Д  =  
=  
2
')  приобретают  важ н ое  значение  в 
качественной  симметрии.
Любое  число  можно  п реоб разов ать 
по  S K  в  любой  далекий  диапазон.  Но 
перенос  числа  на  7  октав  имеет  ф у н д а ­
ментальный  смысл,  т ак   к а к   в ы р а ж а е т  
границы  качественной  определенности 
чисел. 
Возьмем, 
например, 
музыку. 
В  музыке  7  октав:  расстояние  от  самого 
нижнего  звука  до  самого  верхнего  как 
р а з   равно  семи  октавам .  Звуки  ниже 
или  выше  наш  слух  уж е  не  разли ча ет 
как  качественно  разны е  звуки.
Но  границы   качественной  опреде-
ш
I
 
1 
J  
1 
r
^
i
 
1
J  
1 
J  
‘ "
г
 
1
д о  
д о  
с о л ь  
д о  
ми 
со ль  си -б е м о л ь
6.  Ш к ал а  обертонов
ленности  чисел  связаны   не  только  с  се­
мью  октавами,  а  по-видим ом у,  вообщ е 
с  числом   7.  И з  излож енного  возникает 
любопытный  смысл  числа  7  ка к   к о л и ч е ­
ственной  меры,  о гр а нич иваю щ ей   к а ­
чественный  сдвиг.  С  этим  смыслом 
согласуются  не только 7 октав,  но  и  мно­
гие  другие  факты,  например  7  звуков  в 
гамме,  7  цветов  в  солнечном  спектре,
7  периодов  в  табли це  М енделеева.  Н и ­
же  мы  увидим,  что  в  музыкальных 
звукорядах  7  основных  качеств,  что 
расстояния  между  планетами  солнечной 
системы  о б н а р у ж и в а ю т  строгий  п о р я ­
док  и  охваты ваю т  в  целом  (от  Солнца 
до  Плутона)  именно  7  октав  и  многое 
другое.
У казанны й  смысл  числа  7  п р о я в л я ­
ется  и  иначе  —  в  граничных  областях. 
Возьмем  снова  музыку.  Известно,  что 
каж ды й   звук  состоит  из  множества 
призвуков  —  обертонов. 
Отношения 
звуков  —  музыкальные 
интервалы  — 
бывают двух  родов:  консонансы  (устой­
чивые,  гармоничные  созвучия)  и  д и с ­
сонансы.  Граничная  область  с в я за н а   с 
числом  7,  т.  е.  седьмой  обертон  —  пер­
вый  диссонанс,  что  видно  из  р а с п о л о ­
жения  обертонов  (если  считать  от  «до», 
то  первый  диссонанс  —  «си-бемоль»)
(см. 
рис. 
6
). 
Границы 
д и апазонов  
качественной  симметрии  т а к ж е   связан ы  
с  числом  7.  Эта  св язь  (т.  е.  св язь  -^2 
с  числом  7)  будет  п оказа н а  в  §  22.

17. 
ЧИСЛОВЫЕ  РЯДЫ 
НАРУШЕННОЙ  СИММЕТРИИ
Установим  количество  качественно 
определенных  чисел  в  табл.  2  и  3. 
Смысл  этих  чисел  —  нарушенная  сим­
метрия  (S„)  —  наиболее  ярко  выража­
ется  в  начальных  номерах  таблиц,  точ­
нее  в  первых  семи  шагах:  начиная 
с  восьмого  шага,  числа  очень  близки 
к  1,000  и  к  0,707;  семь  шагов  соответ­
ствуют  семи  октавам*.  Выбирая  из 
табл.  2  и  3  числа,  разница  между  кото­
рыми  больше  0,005  (а  это  числа  первых 
семи  шагов),  и  учитывая,  что  в  третьем 
и  четвертом  шаге  в  обеих  таблицах 
числа  близки  соответственно  ко  второму 
и  первому  шагам,  имеем  всего  чисел-
качеств  7 +  7 — 4 = 1 0  
(не  учитывая 
— 1
границ  Д;  табл.  6).
Эти  10  чисел:  0,992;  0,985  и  т.  д. 
назовем 
натуральным 
рядом 
чисел
И 
Н
S a( S  в).  Ря д  S  н  в  табл.  6  выписан  в  по­
рядке  убывания  численных  значений.
Н
Но,  согласно  табл.  4  и  5,  ряд  S  „  следует 
записать  так  (табл.  6 а ) .
Эти  10  чисел  делят  диапазон  S K
  (в
—  
I
данном  случае  Д )   на  11  частей  не­
равномерно  (разность  между  соседни­
ми  числами,  показанная  в  тысячных 
долях  в  табл.  6  и  6а,—  верхняя  стро­
ка  —  меняется  от  0,006  до  0,193),  но 
симметрично  (табл.  7,  где  x r =  ^jab =  
=  -v 0,750 • 0,943 =  V0,800 • 0,884 =  
= ...У Т 7 2 ),  что  дает  основание  разбить 
диапазон  S K  на  11  равных  частей,  т.  е. 
темперировать  диапазон.  Темперация 
диапазонов  S K достигается  с  помощью 
чисел  (д/2)"/ и ,  где  п  —  целое.  Д ля  уяс­
нения  этих  действий  вспомним  темпе­
рацию  в  музыке,  где  октава  разбита 
на  12  равных  частей, или  интервалов. 
Октава  есть  отношение  2:1.  Равномер-
Т а б л и ц а   6
—1
8 
7 
15 
27 
59 
84 
50 
21 
11 
6 
6
_L 
0,992 
0,985 
0,970 
0,943 
0,884 0,800  .  0,750 
0,729 0,718 0,713
0 9 4 [  
0,889 
0,795 
0,751
1,000
 
0
j
07
Т а б л и ц а   6а
1,000
' 
7 
15 
170 
50 
193 
59 
155 
11 
6 
6
0,992 
0,985 
0,970 
0,800 
0,750 
0,943 
0,884 
0,729 
0,718 
0,713 
J_
0,795 
0,751 
0,941 
0,889
0,707
*  В  таб л .  2  *д7= о ,7 1 3   с вя зы в ает  (д /2 )7  и  (д/2) 
ная 
темперация  октавы  достигается
т.  е.  семь  о к тав;  * д 14=  1,000  св я зы в а ет   ( У 2 ) 14 
числами 
2 ,г/12, 
где  п =  
0 , 
1,  2 ,  ...,  1 2 . 
При
и  ( V 2 ) -14,  т.  е.  удвоенны е  семь  о к тав,  отсчи- 
Этом  каждый  интервал 
(малая  секун-
т ан н ы е  в  дву х   н ап р а в л ен и ях   от 
единицы 
.  .,„
(в  т а б т   3  —  от  -у/2) 
да)  равен  2 '   .  Иначе  говоря,  равно­
г о

1,000
_
1
_
0,707
0,992
_L
0,713
0,985
X
0,718
0,970
_L
0,729
0,800
_L
0,884
0,750
_L
0,943
мерная  темперация  октавы  на 
1 2
  частей 
достигается  с  помощью 
1 1
  целых  степе­
ней  малой  секунды  ( 2 1/|2).  А н ал оги ч ­
ным  образом  темперируем 
и 
д и а п а зо н  
S K.  О н  равен  полуокгаве,  т. е.  о т н о ш е ­
нию 
1- 
Р ав н о м ер н ая  темперация 
д иапазона  S K  на  11  частей  соответ­
ственно вы разится числами  (л/
2
) п /п ,  где 
п =  О,  1,  2, 
11.  При  этом  ка ж д ы й
интервал  равен  (л/2)| / п .  Д л я   д и а п а з о ­
на  — 
1
  равномерная  темперация  на 
1 1  
интервалов  достигается 
с 
помощью 
1 0
  целых  степеней  числа
а  =  (л/2)"1/11 = 0 , 9 6 8 9 8 4 5 . . .  = 0 , 9 6 9 0 .
В  табл. 
8
  во  второй  с т р о к е — з н а ­
чения  степеней  а ,   в  третьей  —  шесть
Н
чисел  ряда  S  „,  близких  к  степеням  а. 
Из  оставш ихся  четырех  чисел  ряда
S „  
число 
0,985 л; 
д 
а ;  
0,992
0,718 « л / а
1 1
 
(об 
этих 
числах 
см. 
табл.  27).
Р я д   а„ =  а",  где  п  —  целое,  назовем
темперированным  рядом  чисел  S „ ( S H).
Т  
—   1
В  табл. 
8
  ряд  S „   выписан  в  Д   (как
Н
и  ряд  S H  в  табл.  6  и  6а).
Н 
Т
В  табл.  9  и  10  ряды  S  „  и  S „   выписа-
-  1 
—2
ны  в  Д   и  Д .   Согласие  численных  зна-
Н 
Т
чений  рядов  S H 
и
 
S „  
(показанное
Т
в  табл.  8)  означает: 
1
)  ряд  S H  есть
Н
обобщение  ряда  S  н,  причем  качествен­
ное  обобщение,  так  как  выражается 
степенями  одного  и  того  же  ч и сла   (а). 
Иначе  говоря,  темперация  —  один  из 
видов  качественного  обобщения;  2)  на­
личие  10  основных  чисел  S„,  так  как 
только  при  этих  10  числах,  выбранных 
из  табл.  2  и  3,  возможно  указанное 
обобщение;  3)  10  чисел  соответствуют 
7  октавам,  и,  следовательно,  7  октав 
приобретают  важное  значение  в  каче­
ственной  симметрии,  что,  в  свою  оче­
редь,  является  аргументом  в  пользу 
трехзначности  как 
важного  свойства 
качественной  определенности  чисел*.
*  Э то ,  в  частности,  означает,  что  при  сравнении
н 
т
рядов  S H  и  S H  с  числами,  полученными  из 
экспериментальных  ф актов,  последние  должны 
состоять  ка к  минимум  из  тр е х знач ащ их  цифр, 
причем  третья  цифра  долж на  бы ть достоверна, 
в  противном  случае  гармония  в ы являться  не 
будет.
Т а б л и ц а   8
а 
а 
а 
а 
а 
а 
_L 
0,969  0,939  0,910  0,882  0,854  0,828 
0,970  0,943 
0,884
а
0,802
0,800
а
 
а’ 
а'"
0,777  0,753  0,730
0,750  0,729
_1_
а
1,000
а
0,707

Т а б л и ц а   9
18.  МЕРА  НАРУШЕНИЯ  СИММЕТРИИ
Р я д   S„
1,000 =   (У2)С
0,992
0,985
0,970
0,800
0,795
0,750
0,751
0,943
0,941
0,884
0,889
0,729
0,718
0,713
0,707 =   (л/2)
0,702
0,696
0,686
0,565
0,562
0,530
0,531
0,667
0.666
0,625
0,629
0,515
0,508
0,504
0,500 =   (л/2)'
Т а б л и ц а   10
Р я д   S„
а 0  =
1,000  = (л/2)°
а 1  = 0,969
а 2  =
0,939
а 3  =
0,910
а 4  = 0,882
а 5  =
0,854
а 6  =
0,828
а 7  =
0,802
а 8  =
0,777
а 9  =
0,753
а 10 =
0,730
а 11 =
0,707  = (л /2 ) - 1
а |2 =
0,685
а ,3 =
0,664
а 14 =
0,644
а 15 =
0,624
а |6 =
0,604
а |7 =
0,586
а 18 = 0,567
а 19 =
0,549
а 20 = 0,532
а 21 =
0,516
а 22 
—
0,500  = (л/2)- 2
Число  а   —  мера  нарушения  симмет­
рии  —  сдвиг  от  1,000.  Основной  к о э ф ­
фициент  S
k
  х к =  ^/2 =  а ~ " .   Сдвиг  от
д/2 
в 
+Д  
з а д а е т с я  
числом 
а
- 1 0
( а - ю д
/2
 =  а ) ;
а ~  
l 0
 =  
( ^ ) 1 0 / 1 1
 = 2
5 / 1 1
 =  1,3703509... =  p.
Продолжение  сноски  со  с.  181
Числовы е  совп ад ен и я,  наблю даем ы е  в  и сто ­
рии  науки, носили либо случайны й  х ар ак т ер ,  л и ­
бо  в ы р аж ал и сь   в  виде  эм пирических  правил. 
Н астоящ ее  исследование  п о казы вает,  что  чи с­
л о в а я   проблема  ф у н д ам ен т ал ь н а  и  зак л ю ч ает  
в  себе  строгие  закон ы   гарм онии  м ира.  Но  эти 
закон ы   о б н ар у ж и в аю тся   л и шь   при  р ассм о тр е ­
нии  чисел  с  больш ой  точностью .  В торой  закон 
уж е  о б язы вает  к  этому.  Д ействительно,  число 
а   близко  к  единице,  поэтому  степени  а   с о зд аю т 
д овольно густую  числовую   сетку.  И менно  п оэто­
му  гарм ония  в ы явл яе тся  н ачи н ая  с  третьего 
и  дальн ей ш и х  зн ач ащ и х   циф р.  Т а к а я   си туац и я 
к ак   раз  со гл асу ется  с  сутью  наруш енной  сим ­
метрии.
Возьмем  орбиты  планет.  Они  почти  круги. 
О бъяснение  этого  «почти»  я в л я ет ся   проблемой 
(объясн ен ие  отклонения  от  круга  приливными 
силам и  после  О Т О   м ал о   у б ед и тель н о ).  У  В ен е­
ры  отнош ение  м ини м ального  и  м акси м альн ого 
радиусов-векторов  rmi„ /r max =  0,9865,  т. е.  на 
0,013 от ли ч ается  от  единицы.  Это  н езн а ч и те л ь­
ное  наруш ение  симметрии  не  п озволяет  орби ту 
Венеры  счи тать  кругом,  т.  е.  не  сн и м ает  п р о б ле­
му,  хотя  число  0,987  б л и ж е   к  единице,  чем 
а  =  0,969  ( 0,9865 х л [ а ) .  К роме  того,  зн ачени е 
темперированной 
секунды  0,944 
( « 2 -|/1 2 ),
соответствую щ ее  м узы кальном у  полутону,  т а к ­
ж е  близко  к  единице.  О д н ако  человеческий 
слух  р а зл и ч ает  не  только  полутон,  но  и  чет­
верть  тона;  и  вообщ е,  м ал ей ш ая  неточность 
восп роизведения  зв у к а  в  музы ке  нами  восп ри­
нимается  к ак   ф ал ьш ь.  Э тот  ф ак т  очень  су ­
щ ествен,  т а к   как  основой  всякого  познан ия 
яв л яется  чувственное  восприятие.  А  м узы ка  — 
одно  из  явлен ий,  в ы р аж аю щ и х   гармонию ,  и 
поэтому  п р ед став л яет  собой  тот  сам ы й  чувст­
венный  м атер и ал ,  на  который,  в  частности, 
опи рается  познан ие  гармонии.  Но  ведь  при  ис­
полнении  м узы кальн ы х  произведений  у  н а ст о я ­
щ их  исполнителей  к а ж д а я   нота  нап олн ен а  тон ­
чайш ими  м узы кальны м и  ню ансами.  У берите эти 
тонкости  и  гарм они и  не  будет.  А  ведь  эти 
тонкости  связан ы   с  отнош ением   звуков  и  з н а ­
чит  с  числами.  С лед овательн о,  гарм он и я  с в я ­
з а н а   с  тончайш им и,  слож нейш им и  и  точней­
шими  числовыми  закон ам и .

Таким  образом,  сдвиг от  четного  центра 
S K
  ( ( у 2 ) ° = 1 )   задается  числом  а,  сдвиг 
от  нечетного 
(д /2 ) 
—  числом  р.
Выше,  в  §  10  обращалось  внимание 
на  число  1 3 7 =   1 , 3 7 - 102*  как  на  одну 
из  фундаментальных  проблем  в  совре­
менной  физике.  Там  же  говорилось  и  о 
другой  важнейшей  проблеме  —  нару­
шенной  симметрии.  В  современной  нау­
ке  эти  проблемы  считаются  различными 
и  решить  их  надеются  по  отдельности. 
В  научной  литературе  нет  даж е  намека 
на  их  связь.  Это  естественно,  так  как 
связь  должна  вытекать  из  теории,  но 
такой  теории  в  рамках  существующих 
специальных  наук  просто  нет.  Получе­
ние  числа  р  из  закона  II  сразу  же  у к а­
зывает  на  связь  этих  двух  проблем. 
Число  р  выражает  сущность  нару­
шенной  симметрии  (так  как число  р есть 
сдвиг  от  основного  центра  S K
  х к =  д/2). 
Его  вовсе  не  обязательно  сравнивать 
с  физической  константой,  и  тем  более 
оно  не  обязательно  должно  совпадать 
с  ней.  Но  оно  с  ней  совпадает  с  огром­
ной  точностью  (разница  89  десятимил­
лионных  долей).
Физическая 
константа 
является 
экспериментальной  величиной,  поэтому 
последние  цифры  ее  все  время  ме­
няются  (уточняются).  Так  на  1963  г. 
Н с/е2=   1,370388-102;  на  1969  г.  Н с/е2 =  
=   1,3703602-10 2;  на  1975  г.  h c / e 2 =  
=   1,3703598-  102.  Как  видим,  последнее 
значение  числа  h c / e 2  совпадает  с  чис­
лом  р  в  первых  шести  знаках.
*  В  соответствии  с  §  14,  а  т а к ж е   с  §  19,  где 
п оказы вается  свя зь  чисел  137  и  10,  м н ож и ­
тель  102  не  сущ ествен  при  сравнении  чисел; 
он  яв л яет ся  лиш ь  количественной,  м асш табной 
характеристикой.
Любопытно  отметить  удивительную 
простоту  числа  р =  25/11.
Таким  образом,  две  проблемы  — 
нарушенная  симметрия  и  число  137  — 
с  точки  зрения  законов  гармонии  суть 
одна  проблема.  Кроме  того,  эта  пробле­
ма  здесь  частично  решена,  так  как  по­
лучение  числа  р  из  закона  гармонии 
уже  есть  ответ  на  вопрос  Дирака  — 
почему это  число  «имеет  именно  это  з н а ­
чение,  а  не  какое-нибудь  иное».
Степени  а   (как  и  числа  табл.  6) 
связаны  S г,  показанной 
в  табл.  7:
а   1   а 10,  a 2_La9,..., 
где  х г =  д/1/2 =
=  д/атг. 
Эта 
симметрия 
связывает 
четные  и  нечетные  центры  S K,  что  (со­
гласно  §  13)  означает  связь  инвариан­
тов  1  и  2.  Поэтому  инвариантность 
относительно  преобразований  S K
 для  чи­
сел  S H
  такова,  что  значения  инвариан­
тов  1  и  2  и  есть  значения  чисел  S H, 
+ i 
— 1 
взятые  в  Д   или  Д .
Таким  образом,  S K
  содержит  S H
  как 
свой  собственный  инвариант.  Кроме  то­
го,  S н  есть  обобщение  S K,  так  как  ряд
т
S н  (как показано  в  табл.  10)  охватывает 
и  центры  S к  Схк =  а т ,  где  т  кратно  11). 
Существенным  или  качественным  смыс­
лом  этого  обобщения  является  сдвиг  от 
у2,  задаваемый  числом  р =  а -10  (след­
ствие 
10  чисел  S H),  т.  е.  сущность 
S K
  связана  с  двумя  числами  1,37  и  10.
19.  СВЯЗЬ  ЧИСЛА  10 
С  ЧИСЛОМ  137
Темперация  диапазонов  S K
  устанав­
ливает  связь  чисел  1,37  и  10.  Эта  связь 
следует также  из  уравнения  (3)  ап =  па. 
Положив  а = 1 0 ,   имеем  дробное  значе­
ние 
/1
 =  0,137128857...,  т.  е.

Юол37 =  0 ,1 3 7 .  1 0 =   1,37 =  /. 
(32)
Так  как  в  этом  случае  в  уравне­
нии  а п =  п а у  а ф п ,   то  число  /  (почти 
тот  же  сдвиг  от  -д/2,  что  и  число  Р) 
раскрывает  содержание  5 Н
  как  связь 
разного  ( а ф п ) ,   т.  е.  разных  качеств, 
что  означает:  S H  есть  качественный 
инвариант  S K.
Мера  нарушения  симметрии,  отра­
жающая  связь  чисел  1,37  и  10,  выра­
зится  так:
/ / 7 2  =  0,969647...
(почти  тот  же  сдвиг  от  1,000,  что  и 
число  а ) .   Тот  факт,  что  / =  р  в  преде­
лах  трех  знаков,  указывает  на  сл ож ­
ность  проблемы  числа  137,  связанной 
не  с  одним  таким  числом:  /  и  р  —  уже 
два  числа.  Если  бы  числа  совпадали 
точно,  проблема  была  бы  проста.  В 
том-то  и  состоит,  в  частности,  сл ож ­
ность  проблемы  числа  137,  что  таких 
чисел  даже  в  рамках  данного  исследо­
вания  насчитывается  семь,  причем  все 
они  в  первых  трех  знаках  (или  округ­
ленно  до  трех  значащих  цифр)  равны 
137  (опять  трехзначность  связана  с 
качественной  определенностью  числа!). 
Число  137  как  бы  ветвится  начиная  с 
четвертого  знака.  Возникает  сложная 
проблема  связи  между  числами  в  дале­
ких  знаках,  т.  е.  проблема  внутричисло- 
вого  ритма.
Вернемся  к  равенству 
(32).  Его 
можно  переписать  так: 
102,137=   137.
Отсюда  видно,  что  мантисса  логарифма 
числа  137  равна  137.  Это  указывает 
на 
фундаментальность 
связи 
чисел 
137  и  10.  А  так  как  число  137  выделено 
в  природе,  то  выделено  и  число  10. 
Мы  получили  аргумент  в  пользу  выска- 
184
занного  положения  в  §  14  о  фундамен­
тальности 
десятизначной 
системы 
счисления  и,  следовательно,—  о  в аж н о­
сти  цифровой  симметрии  (см.  §  14).
Число  /  совпадает  с  мантиссой  л о ­
гарифма,  число  р  —  почти  совпадает. 
Однако 
это 
«почти» 
не 
случайно 
(см.  §  30).  Наконец,  равенство  / =  Р 
означает 
существование 
еще 
одной 
фундаментальной  связи  —  связи  между 
числами  2  и  10:  число  /  связано  с  чис­
лом  10,  см.  (32);  число  Р,  очевидно, 
связано  с  числом  2.  Связь  чисел  2  и  10 
означает  не  что  иное,  как  связь  фор­
мул  (1)  и  (2).  Действительно:  число  / 
получено  из  уравнения  (3)  при  а ф п , 
что  соответствует  только  формуле  (1); 
число  Р  следует  из  S K,  a  S K  основана 
на  уравнении  (3)  при  а =  п ,  что  соот­
ветствует  формуле  (2).  В  основе  этой 
связи  оказывается  число  0,417,  ф ун да­
ментальность  которого  будет  показана 
в  §  29.
20.  АДДИТИВНЫЙ
ПРИНЦИП  ОКТАВ
Октава  —  сущность  симметрии.  З а ­
кон  II  —  сущность  качественной  сим­
метрии.  Поэтому  октава 
(отношение 
2:1  = 2 )   есть  сущность  и  закона  II. 
Но  здесь  эта  сущность  выступает  как 
своеобразный 
принцип 
дихотомии  — 
прибавление  числа  2,—  который  назо­
вем  аддитивным  принципом  октав.  Он 
содержится  в  основных  формулах  за- 
кона 
II 
(30) 
c £ ! / = ( l + 2 * j ,  
и
 
(31)
с $ = [
72(1
  +2*)] „  из  которых  был  полу- 
чен  числовой  ряд  нарушенной  симмет-
н
рии  S  н-  Прибавление  чисел  2  в  этих 
формулах, 
очевидно, 
выражает 
их 
основную  суть.

Обобщим  формулу  (30)  рекуррент­
ным  выражением:
F mJ =  (ai +  2 й)
(33)
где  F m,i—  т -й  член  ряда  {Fm\   взятый  в 
/-том  диапазоне;  aj =  (F(m^  о.  /)/•  Иначе 
говоря,  каждый  член  ряда  {Fm)  опреде­
ляется  как  некоторая  функция  преды­
дущего  члена.  В  частном  случае  можно 
принять  i =  j .  Для  получения  рекур­
рентного  ряда  (по  формуле  (33))  бе­
рется  начальное  числа  а =  0,  или  в  о б ­
щем  случае  а =  а,\  т.  е.  любое  число,
взятое  (или  преобразованное  по  S K
  из
/
любого диапазона)  в  Д;  причем  /  может 
принимать  только  определенные  з н а ­
чения  (через  один  диапазон  в  соот­
ветствии 
с 
аддитивным 
принципом 
октав,—  напомним,  что  октава =  2 Д ) , 
в  соответствии  с  которыми  п  принимает 
также  определенные  значения.  В  зави­
симости  от  этих  значений  мы  будем 
получать  по  формуле  (33)  различные 
числовые  ряды.  Их  будем  обозначать 
разными  буквами,  т.  е.  {Fm} =  {fm},
{Fm) =  {Vm)  И  Т.  Д.
Приведем  пример  получения  ряда 
{fm}  по  формуле  (33)*.  Возьмем  значе­
ния  /  и  соответственно  я,  приведенные 
в  табл.  И.
Т абли ц а  11
/
. . . - 6
— 4
- 2
+   1
+  3...
п
. . . - 2
- 1
0
1
2...
*  В  дальнейшем  ряды  будем  обозначать  буква­
ми  без  фигурных  скобок.  Например,  ряд  /,
ряд 
V
  и  т.  д.
Пусть,  например,  / =   — 2,  п =  0  и 
пусть  i = j = — 2.  Пусть  также  началь­
ное  число  а =  0.  Тогда  по  формуле 
(33)  0 +  2 ° =   1.  Преобразуя  число  1
- 2
по  формуле  (21)  в  Д ,  получаем  1/2
- 2
(граница  Д ) ,   т.  е. 
/ 1
 =   1 /2 .  Пусть  те­
перь  а, =  а _
2
=
1
/
2
.  Тогда  по  формуле 
(33)  1/2 +  2° =  3 /2 .  Переведем  это  чис­
ло 
в 
Д: 
3 / 2   _L  27з, 
т.  е. 
/2
 =  2 /3 .
Пусть  теперь  а _ 2 =  2 / 3 ’  Тогда  2 / 3  +
+  2° =  5/3;  5 / 3   _L  3 /5 ,  т.  е.  / 3 =  3 /5 .
Действуя  далее  таким  же  способом,  по­
лучим  следующий  числовой  ряд  / ш:  1/2, 
2 /3 ,  3/5,  5 /8 ,  8 /1 3 ,  13/21,...,  который 
есть  не  что  иное,  как  отношения  чисел 
ряда  Фибоначчи:  0,  1,  1,  2,  3,  5,  8,  13, 
21...,  где  каждый  последующий  член 
(начиная  с  третьего)  равен  сумме  двух 
предыдущих, 
а 
отношение 
соседних 
членов  (т.  е.  ряд  / ш)  постепенно  стре­
мится  к пределу  —  числу  Ф,  т.  е.  золото­
му  сечению  (в  данном  случае  а _ 2 =
=  Ф _ 1 = - ^ —-  = 0 ,6 1 8 ...).  В  общем 
случае  lim  f mi =  ai.  Если  / = + 2 ,   то
т
—►  оо
а +2 =  
= 1 , 6 1 8  ... =  Ф;
1 
Л/5 +  1
если  i =   —  1,  то 
a _ i =   — ^—   =
=  0,8090... =  Ф/2; 
если 
/ =   +   1, 
то 
а + 1 = Л /
5
_  
1
  =   1,236... =  2/Ф , 
т.  е. 
во 
всех  диапазонах  S K  в  пределе  получаем 
золотое  сечение,  выраженное  соответ­
ствующим  симметричным  числом  **.
**  Заметим,  что  если  принять  / = - | - 1 ,  
п =
 1  или 
/ = — 4, 
п =  —
  1,  или  любую  пару  в  соответ­
ствии  с  табл.  И ,  то  по  формуле  (33)  при 
i = —2 
все  равно  получим  ряд 
f.

Теперь  изменим  значения  /  и  п  (см. 
табл.  12).
Т а б л и ц а   12
У
. . . - 7
— 5
- 3
- 1
+  2
+  4...
п
. . . - 2
- 1
0
1
2
3...
Принимая  начальное  число  а =  О 
или  а = а }  в  соответствии  с  табл.  12  по 
формуле  (33)  таким  же  способом,  ка­
ким  был  получен  ряд  /,  теперь  полу­
чаем  ряд  V.  Если  в  формуле  (33) 
/ =   +   1,  то  ряд  V  будет  следующий:
1,  4 /3 ,  11/8,  15/11,  41/30,  56/41...  Ряд
V  тоже  стремится  к  пределу  lim V mj =  ai.
гг 
• 
I I  
Л13 Н”  1
Если  i =   +   1,  то  а + 
1
 =   —
2
— =
=   1,3660254... =   1,37 =  г|.  Итак,  мы  сно­
ва  получили  число  1,37,  причем  из  той 
же  формулы  (33),  что  и  золотое  сечение.
Это  говорит  о  связи  чисел  Ф  и  1,37.  Об
этом  же  говорит  и  форма  представления
* 
л/3-h 
1
 
^  
л/5+1
обоих  чисел  г]  =  
—   и  Ф  =  
— .
Мы  привели  два  основных  случая 
решения  формулы  (33)  в  соответствии 
с  табл.  11  и  12,  так  как  сущность 
формулы 
(33)  —  прибавление 
числа 
2  —  в этих  случаях  выражается  в  явном 
виде:  число  2  в  первой  степени  при­
бавляется  к  числам  основных  ди апазо­
нов  (диапазонов  значений  инвариан­
тов)  +   1  и  —  1,  т.  е.  п =   1  при  / =   +   1 
(табл.  11)  и  п =   1  при  / =   —  1  (табл. 
12).
Из  последнего  решения  формулы
(33) 
в  соответствии  с  табл.  12  сле­
дует,  что  число  д/3  лежит  в  основе 
закона  II.  Число  г|  есть  предел  ряда  V . 
Сам  этот  ряд  состоит  из  отношений 
чисел  другого  ряда,  который  обозначим 
буквой  М  и  зададим  рекуррентным  соот­
ношением:  Mk =  M k~ 3 - 2 2 — М Ь- б   (la),
где  6 ^ 7 ,   т.  е.  & =  7,  8,  9, 
10  ...;
М, = 0 ,   М 2=   1,  М з =   1,  М 4 =  2,  М 5 =  3, 
М 6 =  4.  Ряд  М  изображен  в  табл.  13. 
Этот  ряд  (как  и  ряды  SH)  получен 
автором  впервые.  Он  явно  связан  с  з а ­
коном  II,  хотя  соотношение  ( l a )   не
зависит  от  закона  II.  Ряд  М   обладает 
множеством  свойств,  требующих  осо­
бого  освещения.  Укажем  на  некоторые
Т а б л и ц а   13
3 
3 
3 
3 
3
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I-------------
1
 
I------------------
1
М„ 
0  1 1  
2 3  4 
8  11  15 
30 
41  56 
112  153  209 
. . .
k 
1 2   3 
4 5  6 
7  8 
9 
10 
11  12 
13 
14 
15
1 
Z________ I
1_______ I ________ I
1_________
I
_________ I
I______________
I
______________ I
и  т.  д.

из  них:  1)  ряд  М  состоит  из  триплетов; 
первый  член  каждого  триплета  есть 
удвоенный  последний  член  предыду­
щего;  2)  отношения  соседних  членов 
в  каждом  триплете  постепенно  стре­
мятся  к  пределу  —  числу  ( д / 3 +   1) / 2  =  
=   1,37;  3)  ряд  М   связан  с  числом  7: 
для  получения  любого  члена  ряда  из
соотношения 
(1а) 
необходимо  знать 
предыдущие  шесть  членов,  т.  е.  к а ж ­
дый  член  возникает  как  седьмой!
Таким 
образом, 
определяющими 
числами  ряда  М  являются  3  и  7.  Эти 
свойства  ряда  М  указывают  на  с л о ж ­
ность  как  проблемы  числа  137,  так  и 
дальнейшего  понимания  закона  II.
З а к о н
21.  ПРИРОДА  ЗОЛОТОГО  СЕЧЕНИЯ.
ПРОПОРЦИЯ  ЦЕЛОГО.
Итак,  мы  получили  золотое  сече­
ние  из  законов  I  и  II.  Закон  I  означает 
преобразование  чисел.  Закон  II  (с  по­
мощью  закона  I)  порождает  числовые 
ряды,  в  том  числе  и  золотое  число.
О  золотом  сечении  существует  множе­
ство  трактатов.  В  последнее  время  оно 
все  больше  привлекает  внимание  уче­
ных:  используется  в  технике  —  см.  р а ­
боты  А.  П.  Стахова  [39,  40];  в  архи­
тектуре—  см.  работы  И.  Ш.  Шевелева 
[48,  49];  И.  П.  Шмелева  [50];  обнару­
живается  в  ритмах  мозга  [37],  в  астро­
номии  [8].  Нет  необходимости  доказы­
вать  его  фундаментальность  и  исклю­
чительность.  Она  доказана.  Но  приро­
да  золотого  сечения  оставалась  за г а ­
дочной.  Природа  законов  I  и  II  заклю­
чается  в  связи  принципов  па  и  а пу  вы­
ражающей  тождество  противополож­
ностей,  т.  е.  формулу  (1).  Убедимся, 
что  и  золотое  сечение  выражает  ф ор ­
мулу  (1).
Как  уже  говорилось,  золотое  се­
чение  —  это  деление  целого 
(точнее 
суммы)  на  две  неравные  части  так, 
чтобы  большая  часть  относилась  к
III  —  золотое  сечение
меньшей,  как  целое  к  большей:
b 
а
Разделим 
числитель 
и 
знаменатель 
правой  части  этого  равенства  на  Ь  и 
примем  а / Ь = х ,  получим  х 2 =  х - \ - \   или
2
 
1
 
r\ 
V5 Н~ 
1
х   — х  —  I  =   0, 
откуда 
х   =  
—   =
=   1,6180339... =  Ф  *.  Выражение  х 2 =  
=  х - \ - \   получаем  и  таким  образом: 
пусть  в  формуле  (34)  b  =   1,  тогда  име­
ем  а 2 =  а-\-  1.  Это  основное  уравнение 
Ф  содержит  глубокую  связь  принципов 
па  и  а п.
Действительно,  любое  число  можно 
представить  как  сумму  единиц  (целых, 
десятых,  сотых  и  т . д . ) .   Поэтому  мини­
мальная  ячейка  повторения  принципа 
па  (сущность  па)  есть  единица,  а  для 
заданного  числа  а - \ - 1.  Минимальная 
ячейка  повторения  принципа  а п  (сущ ­
ность  а п)  может  быть  только  а - а  =  а 2. 
Связь  этих  двух  сущностей  а 2 =  а - \ - 1 
и  определяет  основной  гармоничный 
смысл  золотого  сечения,  а  также  мно­
гообразное  выражение  связи  принци­
пов  па  и  а п  в  числе  Ф.  Например:
*  З д есь  и  д ал ьш е  отрицательны е  корни  р а с с м а т ­
р и вать  не  будем.

ф - \ - ф 2 =  ф 3  или  вообще:  Ф п- \ - ф п+ 1 =  
=  Ф п+2.  Этот  смысл  обычно  демонстри­
руется  на  прогрессии  Ф  (см.  § 1 1 )   или 
на  ряде  Фибоначчи  (см.  § 2 0 ) .   Гармо­
ничный  смысл  Ф  виден  и  из  следую­
щего:  в  выражении  (34)  а  —  среднее 
геометрическое  (хг —  принцип  а"),  но 
связывает  Ь  с  суммой  частей  а -\-Ь 
(принцип  п а ).  Из  сказанного  очевид­
но:  формула  (1),  т.  е.  тождество  п р о ­
тивоположностей,—  сущность  золотого 
сечения,  и  в  этом  —  его  гарм он ичн ы й 
смысл,  его  природа.
Теперь  обратим  внимание  на  то,  что 
в  золотом  сечении  сумма  частей  мыс­
лится  как  целое.  Согласно  §11  (сум­
ма  есть  абстрактное  целое,  реальное 
целое  не  равно  сумме  частей),  видо­
изменим  Ф,  сохраняя,  однако,  его  гар­
моничный  смысл:
6 +  А
(35)
В  этом  уравнении  основные  признаки 
золотого 
сечения 
сохраняются 
при 
а > ( Ь - |-Д),  т.  е.  а  —  большая  часть  це­
лого  —  по-прежнему  среднее  геометри­
ческое,  но  связывает  теперь  уж е  две 
суммы:  сумму  частей  а +  b  с  меньшей 

жүктеу/скачать 57,19 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: