Три взгляда

золотое 
сечение
Москва
Стройиздат 1990

ТРИ  ВЗГЛЯДА
НА  ПРИРОДУ
ГАРМОНИИ
section 
divine

золотое
сечение

Книга  эта  рассказывает  о  феномене  золотого 
сечения,  в  котором  авторы  видят  одно  из  наи­
более  ярких,  давно  уже  замеченных  человеком 
проявлений  гармонии  природы.  Феномен  золо­
того  сечения  рассмотрен  здесь  в  общей  картине 
исторического  становления  архитектуры,  на  фор­
мах  живой  природы  и  за  пределами  предметного 
мира,  в  области  музыкальной  гармонии  и  мате­
матических  абстракций.  Он  рассмотрен  и  как 
объективная  характеристика  объектов  искусст­
ва,  и  как  явление  в  области  восприятия.
Общеизвестно:  золотое  сечение  —  это  закон 
пропорциональной  связи  целого  и  составляющих 
это  целое  частей.  Классический  пример  золотого 
сечения  — деление  отрезка  в  среднепропорцио­
нальном  отношении,  когда  целое  так  относится 
к  большей  своей  части,  как  большая  часть  —  к 
и-\- b 
b
меньшей: 
— — =   —   . 
Такая  задача  имеет  ре-
b 
а 
}
шение  в 
виде корней уравнения  х~ — х — 1=0,
численное 
значение 
которых 
равно 
х\ =
=   +   Л
1  =   1,618034..  =  Ф   и  х>=  —  -л52~ 1 =
=   — 0.618034...=  — Ф " ' .
За  кажущ ейся  простотой  операции  деления 
в  крайнем  и  среднем  отношении  скрыто  множе­
ство удивительных  математических  свойств и  мно­
жество  форм  выражения  пропорции 
золотого
То, 
что 
человек 
называет 
целесообразностью  природы  и  как 
таковую  постигает,  есть  в  действи­
тельности не  что иное,  как единство 
мира, гармония причин и следствий, 
вообще  та  взаимная  связь,  в  кото­
рой  все  в  природе  сущ ествует  и 
действует.
J1.  Ф е й е р б а х
сечения.  Вот  примеры  ритмических  инвариантов 
золотого  сечения:
Ф  =  lim 
-у  +
 д/1
 + 
-\J7+
  V1
 + VTC 
или 
Ф  =  1 +  П т —
(
1
+ 
1
1
+ 
1
1
+ 
1
1
+ 
1
1-}-..., 
или
Ф   есть  предел,  к  которому  стремится  отноше­
ние  смежных  чисел  в  рядах,  где  каждый  член 
равен  сумме  двух  предыдущих,  причем  за  начало 
такого  ряда  можно  принять  любые  два  числа, 
например,  0  и  1,  1  и  3  или  1  и  4  и  т.  п.
0,  1,  1,2,  3,  5,  8,  13,  21,  34,  55.  89,  144,  233, 
377,  610,  ...
1,  3,  4,  7,  1 1,  18,  29,  47,  76,  123,  199,  322,  521, 
843,  1364,  2207  ...
1,  4,  5,  9,  14,  23,  37,  60,  97,  157,  254,  411,  665, 
1076,  1741,  2817  ...
4902010000—580
Ш  ------------- -----------   К Б—8—96— 1990
047(01)—90
I SBN  5— 274— 00197— 1
©
  И.  Ш.  Шевелев,  М. А. Марутаев,  И. А.  Шмелев,  1990

Золотое  сечение  в л ад ел о   мыслью   и  ч у в с тв а ­
ми  многих  вы даю щ ихся  мыслителей  прош лого 
и  п род олж ает  волн овать  умы  соврем енников  н а ­
ших  не  ради  сам их  м атем атически х  свойств,  а 
потому,  что  неотделимо  от  ценности  объектов 
искусства  и  в  то  ж е  врем я  о б н ар у ж и в а е т   себя 
к ак   п ри знак  структурного  единства  объ ектов 
природы.
С кульптура,  ар х и тек ту р а,  м узы ка,  аст р о н о ­
мия,  биология,  психология,  техника  —  вот  те 
сферы ,  где  т ак   или  иначе  о б н ар у ж и в ае т   свою 
ж и зн ь  золотое  сечение.  Соврем енны е  и ссл ед о ва­
тели  н аходят  его  при  описании  строения  р а с т е ­
ний,  пропорций  тел  ж ивотн ы х,  птиц,  ч еловека,  в 
стати стике  популяций,  в  строении  г л а за   и  стр о е ­
нии  космоса  и  т.  д.
Мы  не  м ож ем   сегодня  с  абсолю тной  д о сто ­
верностью   определить,  когда  и  к а к   понятие  з о л о ­
того  сечения  бы ло  вы делено  в  человеческом   з н а ­
нии  из  интуитивной  и  опытной  категорий.  Н о  с у ­
д и ть  обоснованно,  кто  прав:  те  ли,  кто  относит 
откры тие  золотого  сечения  к  ц и ви ли зац и ям   д р е в ­
него  Востока  (Е гипет,  И н д и я ),  или  те,  кто,  по­
добно  К еплеру,  св я зы в а е т  откры тие золотого с еч е­
ния  с  именем  П и ф аго р а ,  эта   книга  помож ет.
В  эпоху  Р ен ессан са  средн еп р о п о р ц и о н ал ь­
ное  отнош ение  им еновали  S ectio  d iv in a  —  б о ж е ­
ственной  пропорцией.  Л ео н ар д о   да  Винчи  д ает 
ему  имя  Sectio  a u re a   (золотое  сеч ен и е),  ж ивое 
поныне,  а  много  р аньш е,  в  1202  г.,  откры тием  
р я д а   Ф ибоначчи  было  о б н аж ен о   ф у н д ам ен тал ь ­
ное  свойство  золотого  сечения  —  единство  а д ­
дитивности  и  м ультипликативности.
С егодня  сущ ность  гармонии  невозм ож н о  вы ­
яви ть  ни  в  биологии,  ни  в  искусстве,  ни  в  а б с т ­
рактно-м атем атических  построениях,  если  р а с ­
с м атр и вать  их  р азд е л ь н о ,—  зд есь  м ож но  лиш ь 
н аб л ю д ать 
и 
осм ы сли вать 
ее 
проявлен и я. 
«Ф и лософ и я,—  говорил  Г али лео  Г ал и л ей ,—  н а ­
пи сана  в  той  величественной  книге,  к о то р а я  по­
стоянно  откры та  у  нас  перед  гл а за м и   (я   имею 
в  виду  В селенную ),  но  которую   невозм ож н о  по­
нять,  если  не  н аучи ться  предвари тельн о  ее  я з ы ­
ку  и  не  у зн ат ь  те  письмена,  которыми  она  н а ­
чер тан а» .  « Б о ж еств ен н а я   пропорция  —  бесц ен­
ное  сокровищ е,  одно  из  двух  сокрови щ   геом ет­
рии »,—  р а зв и в ае т   эту  ж е  мы сль  К еплер.  Д е й с т ­
вительно,  гарм они я  м ож ет  бы ть  р асш и ф р о в ан а 
ли ш ь  на  ее  собственном  язы ке,  отображ ен н ом  
ф ундам ентальны м и  принципам и  естествозн ан и я. 
П опыткой  пон ять  этот  особый  я зы к   гарм онии  и 
я в л яется  п р е д л а га ем а я   читателю   книга.  Н а п и ­
сан н ая   архитекторам и  и  ком позитором,  она,  ко­
нечно,  далеко  не  исчерп ы вает  всех  аспектов 
проблемы.  Но  она  стрем ится  п о к а за ть   новые 
пути  исследования  природы  гарм онии:  пути  р а з ­
личные,  основанные  на  рассм отрении  разны х 
объектов  искусства  и  естествозн ан и я,  но  при во­
д ящ и е  к  в заи м о связан н ы м   вы водам ,  хорош о  со­
гласованны м   с  реальностью .
А вторы  книги  у с та н а вл и ва ю т   ран ее  н еи зве­
стны е  законом ерности  и  с т а в я т   в  связи   с  этим 
золотое  сечение  в  ряд   закон ов  гармонии  (ч.  II ) . 
З д есь  впервые  м атем атически  строго  соединены 
в  одну  проблему  и стори ческая  проб лем а  про­
порций  архитектуры ,  теория  пропорций  в  искус­
стве  и  законы   ф о р м о о б р азо в ан и я  в  ж ивой  п ри­
роде  (ч.  I),  п р е д л а га ет ся   ки н ем ати ч еская  мо­
д ель  С Д С ,  о су щ еств ляю щ ая  принципы  сим м ет­
рии,  реф лексии  и  ком плем ентарн ое™   и  в ы я в ­
л я ю щ а я  
при роду 
возд ей стви я 
гарм онической 
пропорции  на  психобиоф изическое  состояние  че­
л о в ек а  в  среде  (ч.  I I I ) .
Р аскр ы ти е  объективны х  зако н о в  гарм онии, 
по  мысли  авторов,  ф орм и рует  прочный  ф у н д а ­
мент  м ировоззренческого  и  п роф ессион ального 
отнош ения  к  творчеству  и,  след овательн о,  к  ж и з ­
ни. 
И зучение 
и 
п ости ж ение 
зак о н о в  
г а р ­
монии  способно  н а п р ав и ть  творческую   д е я т е л ь ­
ность  человека  не  в  русло  эклектики  ф о р м о тво р ­
чества,  не  в  русло  ф о р м и р о ван и я  моды  в  и скус­
стве,  а  в  русло  сози д ан и я  нового,  созвучного 
объективны м   зак о н ам   восп рияти я,  которыми  о т ­
о б р аж ен ы   законы   гарм онии  в  природе.  В  этом 
состоит  одн а  из  сам ы х  остры х  п р о ф есси о н ал ь­
ных  и  социальны х  з а д а ч  
воспитания 
нового 
поколения.
И.  Ш евелев 
М.  М ар у таев  
И.  Ш мелев

Иосиф   Ш еф телеви ч   Ш е ве­
лев. 
С е м н а д ц а ти   л е т   д о б р о ­
в о л ь н о  
у ш е л  
на 
ф р о н т . 
П о сл е   В е л и к о й   О т е ч е с т в е н ­
ной 
войны  
о к о н ч и л  
а р х и ­
те к ту р н ы й   ф а к у л ь т е т   К и е в ­
с к о г о   и н ж е н е р н о -с тр о и те л ь ­
н о го  
и н с т и ту та . 
О к о л о  
20 
л е т 
п о св я ти л  
р е ста в р а ц и и , 
р у к о в о д и л   э к с п е д и ц и я м и   по 
в ы яв л е н и ю   п а м я тн и к о в   на­
р о д н о й  
а р х и т е к т у р ы , 
о дин  
и з 
о с н о в а те л е й  
К о с т р о м ­
с к о г о   м у з е я   н а р о д н о го   д е ­
р е в я н н о го   з о д ч е с тв а .
Н а у ч н ы е   и н те р е с ы : 
ф о р м о о б р а з о в а н и е  
в 
п р и ­
р о д е   и  в  и с к у с с т в е .  А в то р  
м о н о г р а ф и й  
« Г е о м е т р и ч е ­
с к а я   га р м о н и я »   (К о с т р о м а , 
1 96 3),  « Л о ги к а   а р х и т е к т у р ­
ной 
га р м о н и и »  
(М о с к в а , 
1973), 
« П р и н ц и п  
п р о п о р ­
ции»  (М о с к в а ,  1985).

Какое  из  чудес  могло  бы  с  большей 
силой  поразить  человеческое  вообра­
жение,  чем  появление  новой  жизни? 
Пространство,  которое  только  что  пред­
ставлялось  ничем,  становится  яблоком, 
деревом, 
человеком. 
Возникновение 
растения  или  живого  существа  —  явле­
ние  целостное.  И  оно  —  таинство,  пото­
му  что  человек  не  умеет  познавать  неде­
лимое,  не  расчленяя  его.  Любой  науч­
ный  эксперимент  измерением  и  в ообра­
жением  ученого  разделяет  пространст­
во  и  вещество,  в  то  время  как  в  ди на­
мике  реального  становления  простран­
ство  и  вещество  (форма  и  плоть)  еди ­
ны.  Яблоко  рождается,  становится  объ ­
ектом  бытия,  как  плоть  и  форма,  и  р аз­
делить  становление  плоти  и  формы  ни­
кому  не  дано;  целостность  —  вот  глав­
ное  качество  жизни.  Чтобы  познать 
сущность единства,  нужно  владеть  язы­
ком,  способным  описывать  целостные 
события  целостно.  Овладев  таким  язы­
ком,  мы  сделали  бы  важный  шаг  в  по­
нимании  природы  гармонии,  ибо  гармо­
ния  —  это  закон  связи  частей  неделимо­
го  целого  в  целое,  которому  эти  части 
принадлежат.
Ну,  а  что  происходит,  когда  скульп­
тор  лепит  из  впрок  заготовленной  гли­
ны  или  высвобождает  образ  из  мрамор­
ной  глыбы,  возраст  которой  миллионы 
лет?  В  искусстве  становление  плоти 
объекта  и  его  форма  разделены  в  про­
странстве  и  времени,  и  воображение 
художника,  порождая  образ,  также  с у ­
ществует  вне  пространства  объекта  ис­
кусства,  тогда  как  в  природе  форма 
возникающего  объекта  уж е  заключена 
в  его  семени.  Рассеченность  истоков, 
образующих  целое,—  вот  главная  при­
чина  одной  из  самых  трудных  проблем 
творчества  —  проблемы  формы.  Чтобы 
создавать  вещи  целостные  по  законам 
вечно  живой,  но  неуловимой  гармонии, 
достигать 
единства, 
мастер 
должен 
стать  в  полном  смысле  слова  орудием 
природы.  Способность  осуществить  эту 
миссию,  дарованная  природой,  есть  ге­
ний,  но  даж е  гений  стремится  со зн а ­
нием  постичь  законы  творчества,  заим ­
ствовать  их  у  природы,  отождествить 
себя  и  объект  творчества  в  момент 
творчества.  Совершенство  формы  в  ис­
кусстве  в  первую  очередь  определяется 
тем,  насколько  она  правдива,  насколько 
убеж дает  зрителя  и  слушателя  в  том, 
что  ее  фактура,  материал,  членения, 
экспрессия  возникли  в  ней  самой,  по 
единому,  ей  присущему  закону.  Так,  в 
мастерски  найденной  форме  сосуда  ж и ­
вут  соединенные  мгновением  возникно­
вения  свойства  расплавленного  стекла, 
гравитация,  вращение  и  чуткая  сила 
дыхания  стеклодува.
Искусство,  как  и  природа,  скрыто 
управляется  геометрическим  подобием. 
Рассказ  о  математических  законах  фор­
мообразования  неизбежно  оказывается 
на  стыке  искусства  и  научных  дисцип­
лин.  Это  требует  и  от  автора,  и  от  чита­
теля  выйти  за  предел  профессии,  стать 
над  нею.  Нужны  непредубежденность, 
раскрепощенность  сознания  и  терпение. 
Когда  раскачивают  многопудовый  ко­
локол,  первые  движения  тяжелы  и  мед­
лительны.  Язык  колокола  не  вдруг  кос­
нется  стенки,  породит  первый  звук.  Так 
и  здесь.  Подлинное  понимание  стано­
вится  возможным  лишь  после  того,  как 
уяснены  основополагающие  понятия  и 
то,  что  их  соединяет.  Постижение  глу­
боко  скрытых  взаимосвязей  приходит 
внезапно,  как возникает  первый  звук ко­
локола.  И  как  нельзя  без  предвари­
тельного  раскачивания  заставить  коло­
кол  зазвучать,  как  невозможно  о б о ­
рвать  уже  возникший  звук,  все  мощнее 
наполняющий  пространство,  также  не 
вдруг  обрывается  работа  сознания,  по­
груженного  в  глубины  нетривиальной 
проблемы,  чтобы  вернуться  на  круги 
своя,  к  привычным  представлениям  и 
интересам  ...  Это  —  движение  по  краю 
бездны.  И  прав  Бурдель,  говоря:  «И с­
кусство  —  завуалированная 
алгебра, 
отнимающая  жизнь  у  тех,  кто  стремит­
ся  приподнять  ее  покрывало».

Г л а в а   1.  Язык  пространственных  образов, 
геометрическое  подобие  и  парные  меры
Музыка  есть  арифметическое 
упражнение души, которая исчисля­
ет  себя,  не  зная  об  этом.
Г.  В.  Л е й б н и ц
Человека  нередко  называют  частью 
природы,  имея  в  виду его  место  в  эволю­
ции  жизни  и  то,  что  его  деятельность 
обнаруживает  тенденцию  согласован­
ности  с  законами  природы.  Именно  эта 
мысль  звучит  в  словах  Маркса:  «Чело­
век  формирует  материю  также  и  по 
законам  красоты».  Объективные  дан­
ные  современной  науки  позволяют  пред­
ставить  модель  работы  сознания,  со ­
гласованную  с  действительностью,  ко­
торая  позволила  бы  понять,  как  исто­
рически  возникли  и  закрепились  прие­
мы 
формообразования, 
характерные 
для  истории 
архитектуры  и 
прочно 
сопряженные 
с 
формообразованием 
в  живой  природе.  Категории  античной 
эстетики  —  мера,  соразмерность,  про­
порция,  трактуемые  античными  фило­
софами  как  категории  гармонии  приро­
ды,  получают  в  этой  картине  вполне 
конкретный  и  точный  смысл.  При  этом 
то,  что  следует  из  философских  и  эсте­
тических  взглядов  эпохи,  оказывается 
опосредовано  архитектурной  формой  в 
классических  ее  образцах.  Насыщенно, 
конкретно  и  математически  точно  рас­
крывается  фундаментальный  тезис  ан­
тичной  философии  «человек  —  мера  ве­
щей».  Вопрос  о  том,  как  смыкаются
Льва  узнаю т  по  когтю.
Н j p o д н а  я  п о с л о в и ц а
гармония  природы  и  методы  форм ооб­
разования  в  искусстве,  принадлежит  к 
числу  наиболее  общих  и  волнующих 
проблем  —  вечных  проблем,  стоящих 
перед  человеком.
Живая  природа  в  любых  ее  прояв­
лениях обнаруживает одну и  ту  ж е  цель, 
один  и  тот  же  смысл  жизни:  всякий 
живой  объект  повторяет  себя  в  себе 
подобном.  Главной  задачей  жизни  яв­
ляется  жизнь,  а  доступная  жизни  фор­
ма  бытия  —  существование  отдельных, 
целостных  живых  организмов,  струк­
турно  организованных  единиц.  Способ 
сохранения  достигнутой  в  процессе  ста­
новления  жизнеспособной  структурной 
организации 
закреплен 
природой 
в 
принципе  подобия.  И  не  только  прими­
тивные  организации,  но  и  такие  сл о ж ­
ные  «космические»  системы,  как  чело­
век,  демонстрируют  поразительную  спо­
собность  буквально  повторять  из  поко­
ления  в  поколение  те  ж е  формы,  ту  же 
скульптуру  лепки  лица,  те  же  черты 
характера,  те  же  жесты.  Природа  о б­
наруживает  подобие  как  свою  глобаль­
ную  генетическую  программу,  а  дихо- 
томичность  природы  открывает  ей  путь 
к  комбинаторике  и  тем  самым  к  измен­
чивости.  Отсюда  нетрудно  понять,  что

ключ  к  изменчивости  также  заключен  в 
подобии.  Подобие,  стало  быть,  правит 
живой  природой  в  целом.
Геометрическое  подобие  проявляет­
ся  в  природе  как  общий  принцип  прост­
ранственной  организации  живых  струк­
тур.  Факт  этот  настолько  банален,  что 
редкому  человеку  придет  желание  р аз­
мышлять  об  этом.  Какие  бы  метамор­
фозы  не  претерпела  в  процессе  роста 
в  дальнейшем  живая  клетка,  принадле­
жащ ая  целостному  организму  А  и  вы­
полняющая  функцию  его  воспроизве­
дения  в  новый,  особенный,  единичный 
объект  бытия  А \   она  является  «точ­
кой  начала»,  которая  в  итоге  дихото- 
мичных  делений  окажется  преобразова­
на  в  объект,  подобный  первоначально­
му 
Этим  объединяются  все
виды  живых  структур,  по  этой  причине 
и  существуют  стереотипы  жизни:  чело­
век,  кошка,  стрекоза,  дож девой  червь. 
Они  бесконечно  интерпретируются  и 
варьируются  механизмами  дихотомич- 
ных  делений  и  соединений,  но  остают­
ся  теми  же  структурными  типами,  теми 
же  стереотипами  организации,  формы  и 
поведения.
И  так  же,  как  подобны  одно  другому 
целостные  живые  существа  данного  ви­
да  жизни,  встроенные  в  ее  непрерыв­
ную  разветвляющуюся  цепь,  так  же  по­
добны  один  другому  и  отдельные  их 
члены,  функционально  специализиро­
ванные.  Лист  клена  силуэтом  и  нерва- 
турой  подобен  листу  клена,  а  лист  б е­
резы  — листу  березы.  Геометрическое 
подобие пронизывает таким  образом  все 
ветви  единого  дерева  жизни.
Обратимся  теперь  к  важнейшему 
звену  наших  рассуждений  об  эстети­
ческих 
достоинствах 
архитектурной 
формы  —  к  зрению  человека.  Мы  без 
труда  обнаруживаем,  что  функция  зр е­
ния  в  целом,  как  и  детальная  струк­
тура  органов  зрительного  восприятия, 
подчинена  глобальному  принципу  орга­
низации  жизни  —  принципу  геометри­
ческого  подобия.
Глаз  человека  —  поразительно  тон­
ко  сконструированный  биооптический 
механизм  (рис.  1  и  2 ).  Попадающий 
в  поле  зрения  объект  проецируется 
оптической  системой  глаза  на  высти­
лающую  дно  глазного  яблока  нервную 
ткань  (сетчатку)  в  виде  перевернутого, 
уменьшенного  и  неискаженного  и зо бр а­
жения.  Геометрическая  схема  оптиче­
ской  системы  глаза,  которой  соеди ­
няются  реальный  объект  и  сетчатка,— 
это  построенный  светом  «пропорцио­
нальный  циркуль».  Расстояние  между 
двумя  точками  предъявленного  зрению 
образа  спроецировано  на  сетчатку  по 
закону  пропорциональной  зависимости. 
Чем  дальше  удален  от  глаза  объект, 
тем  меньше  его  изображ ение  на  сетчат­
ке.  Но  это  лишь  одно  из  проявлений 
принципа  геометрического  подобия  в 
организации  зрения,  которому  подчи­
нена  система  зрительного  восприятия 
вплоть  до  местоположения  и  ориента­
ции  свето-  и  цветоприемников  сетчатки 
(палочек  и  колбочек).
Зрение  предназначено  кодировать 
пространственные 
образы 
внешнего 
мира  и  передавать  их  посредством  би о­
электрических  импульсов  в  зрительные