в  таблице  (м ежду  буквами

(Н )
н
А
Не
Б
Li
А
Be
В
В
Г
С
Д
N
Е
О
Ж
F
а
Ne
Б
N a
А
M g
В
AI
Г
Si
Д
Р
Е
S
Ж
С1
а
Аг
Б
1
2
3  "
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
< 
1 
>
15
Q
Q
< 
6 
1-
, 
о 
,
in
, 
6 
Г
to
< 
6
< 
3
15
18
IV  (V,  VI,  VII )
К
А
С а
В
Sc
3
Ti
И
V
К
Сг
Л
М п
М
Fe
Я
Со
О
Ni
п
Си
Р
Zn
С
G a
Г
Ge
Д
A s
Е
Se
Ж
Вг
а
Кг
Б
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
\
Л ан тан и д ы
(актиниды )
Се
т
Рг
У
Nd
Ф
Pm
X
Sm
Ч
Ей
ч
G d
ш
ть
т
Dy
У
Но
Ф
Ег
X
Тгп
Ч
Yb
ч
Lu
ш
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
44
которые  связывают  таблицу  в  целом, 
начиная  с  первого  элемента.  Их  назо­
вем  ритмами  целого.  В сего  имеем  7 
ритмов  целого:  один  основной  ритм  — 
18  и  шесть  внутренних  ритмов,  состав­
ляющих  ритм  18  из  двух  и  трех  ритмов; 
это  ритмы: 
2— 16, 
3 — 15, 
12
—6
 
и
2 — 10— 6,  3— 9— 6,  2— 1 — 15,  т.  е.  с у ­
ществует  7  независимых  способов  р аз­
бивки  таблицы  на  части  (ритмы),  ре­
гулярно  повторяющиеся  на  протяже­
нии 
всего 
ряда  элементов  начиная 
с  первого  (в  табл.  23  проведены  толь­
ко  те  линии,  которые  соответствуют 
ритмам  целого). 
Причем  одними  и 
теми  же  (указанными)  ритмами  свя­
зываются  как  аналогичные  элементы 
(18  подгрупповых  свойств  четвертого,
пятого,  шестого,  седьмого  периодов), 
так  и  неаналогичные  (18  подгруппо­
вых  свойств  первых  трех  периодов). 
Это  придает  ритмам  целого  известную 
самостоятельность  и  позволяет  сделать 
их  предметом  специального  исследо­
вания.
В  основе  разбивки  таблицы  на  рит­
мы  целого  лежат  два  ритма:  ритм 
10
, 
нарушающий  ритм 
8
  в  четвертом  перио­
де,  и  ритм  14,  нарушающий  ритм  10 
в  шестом  периоде.  Поэтому  ритмы  10 
и  14  назовем  ритмами-нарушителями. 
Основной  из  н и х — ритм  14,  так  как 
ритм 
10
  является  одновременно  и  со­
ставной  частью  ритма  целого 
2
—
10—6 
(см.  табл.  23).  Соотнесем  числа,  с о ­
ставляющие 
ритмы 
целого 
между

7.  М узы кальн ы й   р я д   в  расп олож ен и и   элем ен тов 
в  таб л и ц е  М енд елеева
собой,  и  отдельно  ритмы-нарушители. 
Возьмем  сначала  простой  и  самый  о с ­
новной  случай  —  только  четыре  ритма 
целого:  ритм 
18  и  три  внутренних
ритма,  составляющих  ритм  18  только 
из  двух  частей,  т.  е.  ритмы  2— 16,  3— 15 
и  12—
6
.  В  этом  случае  получаем  две 
группы  чисел:  а)  7  чисел,  составляю­
щих  ритмы  целого  2,  3, 
6
,  12,  15,  16,  18; 
б)  2  ритма-нарушителя  10,  14.  Вычис­
ляя  далее  все  отношения  между  чис­
лами  в  каждой  из  указанных  групп 
чисел,  получаем  всего  44  отношения.
-f
-1
 
-J- 
2
Преобразуя  их  по  S K  в  Д   и  Д ,  полу­
чаем  ряд  (А)  § 2 4 .  Возьмем  теперь  все
7  ритмов  целого.  В  этом  случае  имеем 
следующие  две  группы  чисел:  а) 
10
  чи­
сел,  составляющих  ритмы  целого: 
1
, 
2
,
3, 
6
,  9,  10,  12,  15,  16,  18;  б)  2  ритма- 
нарушителя  10,  14.  Снова  возьмем  все 
отношения  между  числами  в  каждой 
из  этих  двух  групп  чисел,  за  исключе­
нием  отношений: 
10
/ is, 
18
/ю , 
10
/э,  9/ю  
(т.  е.  за  исключением  соотношения  рит­
ма 
10
,  являющегося  и  составной  ча­
стью  ритма  целого,  и  ритмом-наруши- 
телем,  с  основным  ритмом  целого  18, 
а  также  с  ритмом  9,  так  как  18т^9).
Всего  имеем 
88
  отношений.  Преобра-
+ 
1
 
+2
зуя  их  по  S K в  Д   и  Д ,  снова  получаем 
ряд  (А)  §  24  [25,  с.  389].  Кроме  этого 
факта  наблюдается  и  смысловое  соот­
ветствие,  в  частности  отношение  рит- 
мов-нарушителей  10/ и  =  
5/7
  совпадает 
со  значением  тритона  в  музыке  —  х а ­
рактерного  диссонанса-нарушителя.
Таким  образом,  данн ы й  подход  поз­

воляет  связать  и  объяснить  не  только 
р я д   известных  проблем,  но  и  открыть 
новые,  ранее  не  существовавшие  п р о б ­
лемы.  К  таким  проблемам  относится, 
в  частности,  и  музыкальный  ряд  в  таб­
лице  Менделеева.  Этот  факт  позволяет 
предсказать  конечный  элемент  в  таб­
лице  с  номером  118  (см.  § 3 3 ) .
Обнаруженный  порядок  в  располо­
жении  элементов  не  находится  в  про­
тиворечии  с  объяснением  таблицы  со 
стороны  физических  законов.  В  таб­
лице  известен  другой  порядок  —  на­
туральный  ряд  чисел.  Смысл  натураль­
ного  ряда  выяснен  —  это  номер  поло­
жительного  заряда  ядра.  О бнаруж е­
ние  же  ряда  (А)  означает: 
1
)  сам  факт 
существования  подобного  порядка,  вы­
ражающего  гармонию; 
2
)  возможность 
предсказания  конечного  элемента;  3) 
проблему,  ориентирующую  исследова­
ние  на  поиски  гармонии  в  строении 
атома  и  атомного  ядра.
26.  КАЧЕСТВЕННАЯ  СИММЕТРИЯ 
В  ПЛАНЕТНЫХ  РАССТОЯНИЯХ
В  §  1  мы  привели  высказывание  Ге­
геля  о  планетных  расстояниях.  Спустя 
сто  лет,  в  1983  г.,  читаем:  «Более  двух­
сот  лет,  например,  классическая  не­
бесная  механика  хранит  величествен­
ное  молчание 
по  поводу  эмпириче­
ского  закона  Тициуса— Боде  (закона 
планетных  расстояний).  Этот  вызов, 
навеянный  представлениями  Кеплера 
и  его  „Гармонией  мира“,  ...был  бро­
шен  еще  в  1766  году,  но  и  до  сих  пор 
в  рамках  классических  представлений 
не  созрело  какое-либо  связное  пони­
мание  того,  что  расстояния  планет  от 
Солнца...  должны  подчиняться  опре­
деленной,  последовательно  теоретиче­
ски  обоснованной  закономерности»  [46, 
с.  19].
Напомним 
закон 
Тициуса— Боде: 
R =  
8
 +  3-2",  где  п =  0,  1,  2,  3,  ...  [35, 
с.  100].  Здесь  расстояние  выражено 
в  условных  единицах  (расстояние  от 
Солнца  до  Меркурия  принято  за 
8
), 
отношения 
между 
которыми 
весьма 
приблизительно  соответствуют  отноше­
ниям  планетных  расстояний  и  то  только 
до  Урана.  Этот  закон,  точнее  эмпири­
ческое  правило,  содержит  произволь­
ные  числа 
(8
  и  3)  и  необоснованные 
арифметические  действия.  «Закон  Боде 
лишился  всякого  уважения  науки  пос­
ле  того,  как  он  не  смог  правильно 
предсказать  орбиты  Нептуна  и  Плу­
тона»  [20,  с.  187].
И  все  же  расположение  планет  под­
чиняется 
строгому 
порядку 
(см. 
табл.  24).
Отношения  r / R   (г  —  среднее  рас­
стояние  планеты  от  Солнца,  R  —  от 
Солнца  до  Плутона)  охватывают  14 
диапазонов  5 К,  или  7  октав.  Все  числа
из  указанных  диапазонов  преобразо-
-
1
ваны  по  формуле  (21)  в  Д .  При  таком 
преобразовании  в  формуле  (
2 1
)  число 
с  принимает  по  модулю  значения 
0
, 
1
,
2,  3,  ...,  7,  показанные  в  табл.  24.  Таким 
образом,  порядок  в  расположении  пла­
нет  действительно  есть;  он  обнаружил­
ся  с  помощью  S K, 
т
. 
е.  выражает  закон
I.  При  этом  не  возникает  ни  произ­
вольных  чисел,  ни  произвольных  ариф­
метических  действий.  Этот  факт  (как 
и  все  приводимые  здесь  факты)  о б н а ­
ружен  автором  впервые.  Выходит,  что 
для  планетных  расстояний  не  требует-

ся  особых  законов;  они  просто  выра­
жают  законы  гармонии.
Обратим  теперь  внимание  на  значе­
ние  чисел  в  табл.  24.  Так  как  данные 
о  расстояниях  планет  у  разных  авторов 
противоречивы  (в  далеких  знаках),  то 
во  избежание  ошибок  числа  в  табл.  24 
округлены  до  пятого  знака  после  зап я ­
той.  После  преобразования  по  S K  в 
- 1
Д   они  округлены  до  трех  знаков.  Для 
сравнения  этих  чисел  с  числами,  полу­
ченными  из  законов  гармонии,  эти  по­
следние  будем  преобразовывать  по  S K 
в  диапазоны  чисел  соответствующих 
планет  и  затем  округлять  до  пятого 
знака  после  запятой.
Возьмем  Марс.  Пусть  с - \  =  0,809;
с _  ю =  0,03863.  Число  0,809  есть  золо-
- 1
 
+ 2 
тое  сечение,  взятое  в  Д ,  т.  е.  1,618  _L
/"N
-  
1
_L  0,809.  Обратим  внимание  на  точ- 
ность  совпадения.  Для  этого  золотое
сечение 
а + 
2
 =  Ф =   1,618034 
преобра-
-  
ю
зуем  по  S K
 
в
 
Д ,  
т
. 
е. 
в
 
диапазон  числа 
Марса,  и  затем  округлим  до  пятого 
знака  после  запятой.  По  формуле  (21) 
получаем  а _ю  =  0,03863.  Отсюда  вид­
но:  число  Марса  с _ т  =  0,03863  совпа­
дает  с  числом  а_ю .  Это  означает,  что 
Марс  делит  расстояние  от  Солнца  до 
Плутона  по  золотому  сечению.  Тем 
самым  действуют  законы  I  и  III.
Возьмем  Землю.  У  Земли 
С - \   =
=  0,811; 
п = 0 ,0 2 5 3 6 .  Преобразуем
-ь
1
С -
j  в  Д.  По  формуле  (21)  получаем 
с
+1
 =   1,233 =  £.  Число  £  выражает  тот 
же  смысл,  что  и  р = 1 , 3 7   (см.  § 3 0 ) .  
В  выражении  (49)  § 3 0   дается  точное
значение  числа  £ = 1 ,2 3 2 8 4 7 ...  Преоб-
-
11
разуем  его  по  S K
  в  Д ,   т.  е.  в  диапазон
Н азван и е
планет
r/R
2е
-  
1 
Д
Плутон
1
Нептун
0,76570  (Д )
2°
0,766
Уран
0,48534  (Д )
2 1
0,971
С атурн
0,24292  (Д )
2 2
0,972
Ю питер
0,13194  (Д )
23
0,947
Астероиды
0,0714 
(Д )
24
0,875
М арс
0,03863  (Д )
25
0,809
З ем ля
0,02536  (Д )
2
 5
0,811
Венера
0,01834  (Д )
26
0,852
М еркурий
0,00982  (Д )
2 7
0,796
*  Данные  о  расстояниях  планет  взяты  из  книги:  Ленг  К. 
Астрофизические  формулы. — М.,  1978.
числа  Земли 
(см.  табл.  24).  Пусть 
a + i  =  £.  Найдем  а _ ц .   По  формуле  (21) 
получаем 
a _ i  
1
 =  0,02535. 
Это 
число 
отличается 
от  числа 
Земли 
с _ ц  =  
=  0,02536  всего  лишь  на 
0,00001
  (или 
в  процентном  отношении  ошибка  со­
ставляет  0,039% ).  Таким  образом,  для 
Земли  действуют  законы  I  и  II.
Возьмем  теперь  Сатурн.  У  Сатурна 
С - \ =  
0,972; 
С -
5
 =  0,24292.  Но  число 
0,972 =  со,  т.  е.  выражает  золотое  сече­
ние  (см.  § 2 2 ) .   Возьмем  его  с  большей
- 5
точностью  и  преобразуем  по  S K  в  Д — 
в 
диапазон 
числа 
Сатурна 
(см. 
табл.  2 4).  Пусть  a _ i  =  со =  0,971737. 
Найдем  а _ 5.  По  формуле  (21)  полу­
чаем 
а
_ 5
 =  0,24293. 
Разница 
между 
числами  С-ъ  и  а
_5
  равна 
0,00001
  (или 
0,004% ).  Скептик,  не  верящий  в  су-

ществование  законов  гармонии,  счита­
ющий  числовые  совпадения 
случай­
ными  натяжками,  дескать,  что  хочу, 
то  и  получаю,  что  скажете  Вы  теперь? 
По  одной  и  той  же  формуле,  моно­
тонно,  преобразуя  числа  законов  II  и
III,  мы  получаем  фантастически  точ­
ные  соответствия!
Вот  еще  такое  соответствие:  У  Мер­
курия  с _  1 = 0 ,7 9 6 ;  С- и  =  0,00982.  Одно
н
из  чисел  ряда  S H
  (см.  § 1 5 ) ,   получен­
ное  по  формуле  (31)  и  помещенное 
в  табл.  5,  есть  число  0,795.  Возьмем
-  14
его  более  точно  и  преобразуем  в  Д   — 
диапазон 
числа 
Меркурия. 
Пусть 
а _  1= 0,7954951.  Найдем  а _ м.  По  фор­
муле 
(21) 
получаем 
a _ i
4
 =  0,00982. 
Это  и  есть  число  Меркурия.  Вспомним 
теперь совпадение  числа  р =   1,3703509... 
с  числом  h c / e
2
  с  огромной  точностью 
(с  разницей  8 9 - 10-7   или  с  ошибкой 
0,0006%,  см.  § 1 8 ) .   Очевидно,  такие 
соответствия 
случайными 
быть 
не 
могут.
Вернемся  к  табл.  24  и  обратим  вни­
мание,  что  у  Урана  почти  то  же  число, 
что  и  у  Сатурна: 
С - \  
= 0 , 9 7 1 ;   с
_ 3
 =  
=  0,48534. 
Пусть  a _  i =  со =  0,971737. 
Найдем  а _ 3.  По  формуле  (
2 1
)  полу­
чаем  а
_ 3
 =  0,48587.  Числа  с
_ 3
  и  а
_ 3 
различаются  на  0,00053.
У  Нептуна 
С -
1 = 0 ,7 6 5 7 0   связано  с 
Ф2.  Пусть  а
_ 3
 =  Ф - 2 .  Найдем  а _ \.  По 
формуле  (21)  находим  а _  1 = 0 ,7 6 3 9 3 . 
Числа 
С -
1
 
и 
a _ i  
различаются 
на 
0,00177.
У 
Юпитера 
С
- 1
 = 0 , 9 4 7 ,  
с
_ 6
 =
=  0,13194. 
Опять 
золотое 
сечение! 
Число  С
- 1
  часто  встречается  в  различ­
ных  явлениях  (например,  в  музыкаль­
ных  сочинениях) 
и  трактуется  нами 
как 
флуктуация 
числа 
Q =  0,9443 
(см.  § 2 2 ) .   Почему  именно  такая  флук­
туация  (0,947),  мы  пока  объяснить  не 
можем.  Пусть  a _ i  =  Q =  0,944272.  Най­
дем  a _
6
.  По  формуле  (21)  находим 
а
_ 6
 =  0 , 13238.  Число  а_б  отличается 
от  числа  Юпитера  с_б =  0 , 13194  на 
0,00044.
Число  Венеры  c _ i =  0,852  остается 
пока  загадочным.
Астероиды  —  это  отдельная  проб­
лема: 
их 
огромное 
множество. 
В
табл.  24  приведено  число  одной  из  т а ­
ких  планет  с  характерным  для  боль­
шинства  планет  расстоянием.
Обратим  теперь  внимание:  числа 
табл.  24  можно  рассмотреть  как  числа 
инварианта  1.  Д ля  получения  инвари­
анта  2  (согласно  §  13)  отнесем  числа 
табл.  24  к  нечетной  границе  S K,  напри­
мер  к  (У
2
)- 1 .  После  преобразования
-
1
по  S K
  в  Д   получаем  следующие  числа: 
у  Меркурия  0,8888,  что  совпадает  с  чис­
лом  ряда  S H
  0,889  (см.  табл. 
6
,  §  17) 
с  ошибкой  0,01%;  у  Венеры  0,830.  Это 
число  отличается  на  0,003  от  числа 
0,833 =  0,417-2  (опять  то  же  число, 
о  котором  речь  в  §  29);  у  Земли  0,872 
(инвариант  2  от  числа  £ = 1 , 2 3 3 ) ;   у 
Марса  0,874  (см.  табл.  17,  § 2 2 ) ;   Уран 
и  Сатурн  побили  рекорды  на  проч­
ность:  у  Урана  1,37;  у  Сатурна  1,37.
Посмотрим  теперь  на  расположение 
диапазонов  в  табл.  24.  Читателю,  на­
верное,  интересен  вопрос:  почему  число 
2
5
  в  табл.  24  повторилось  дважды  — 
у  Марса  и  Земли.  Частично  мы  ответим 
на  этот  вопрос.  При  выводе  формулы 
(21)  в  §  13  был  установлен  закон  изме­

нения  степеней  числа 
2
  в  качествен­
ной  симметрии.  В  §  13,  в  выражении
(
20
)  а А . а к -2п  число  п  определяется
как  целое,  меняющееся  через  диапазон 
на  единицу  (т.  е.  по октавам).  В  табл.  24 
диапазоны  действительно  идут  через 
один:  —
1
,  — 3,  — 5;  затем  нарушение, 
«сшибка» 
и 
следующая 
смещенная 
тройка  —
6
,  —
8
,  —
10
;  затем  две  «сшиб­
ки»  подряд:  — И ,  — 12  и  потом  — 14. 
Если  бы  не  было  этих  трех  наруше­
ний,  то  планеты  заняли  бы  не  14,  а  17 
диапазонов.  Следовательно,  повторе­
ние  числа 
25
  связано  с  размещением 
девяти  чисел  (а  если  считать  Плутон, 
то  10  чисел)  в  14  диапазонах,  т.  е. 
в  семи  октавах.  Это  поразительное  раз­
мещение  показано  в  табл.  25.  Плутон 
приведен  для  порядка,  ему  приписан 
диапазон 
+ 1  
(число  Плутона 
1  =
=  (д/2)°—  граница+Д   и  Д ) .   Из  табл.  25 
видно,  что  планеты  в  соответствии  с 
законом  I  распределились  по  октавам, 
и  только  Марс  и  Земля  попали  в  одну 
и  ту  же  октаву.  В  то  же  время  они 
распределились  и  по  тройкам:  Нептун, 
Уран,  Сатурн  —  нечетные  номера  ди а­
пазонов;  Юпитер,  Астероиды,  Марс  — 
четные;  Земля,  Венера,  Меркурий  — 
нечетные  и  четные.  Итак,  три  тройки 
в  сочетании  с  выражением  трех  зак о­
нов!  Прямо-таки  архитектурное  соору­
жение  или  музыкальное  произведение. 
В 
музыке 
триада 
(тройственность) 
выделяется  различными  способами:  то 
как  утверждение  триады  (АВА);  то 
как  изменение  в  четвертый  раз  и  тем 
самым 
выделение 
предыдущих 
трех 
и  т.  д.  Причем  это  относится  как  к  круп­
ной  форме,  так  и  к  интонациям.  Клас-
№   октавы
/
Н а зв а н и я   планет
0
+   1 
— 1
(П лутон)
Нептун
1
— 2
— 3
Уран
2
^ 
ю
1 
1
С атурн
3
— 6
— 7
Ю питер
4
1 
1 
CD 
О
О
Астероиды
5
— 10 
— 11
М арс
Зем ля
6
— 12 
— 13
В енера
7
— 14
М еркурий
сическим  примером  является  начало 
пятой  симфонии  Бетховена  (рис. 
8
).
Указанное 
распределение 
планет 
можно  представить  наглядно  (рис.  9). 
Семь  октав  в  расположении  планет! 
Поразительная,  фантастическая  связь 
проблем  —  человеческий  слух  и  рас­
стояния 
планет  —  связь, 
открываю­
щаяся 
только  с 
помощью 
законов 
гармонии  и  ни  из  каких  других  зако­
нов  не  вытекающая.
Но  не  только  слух.  Возьмем  види­
мый  спектр.  Здесь  тоже  октава:  отно­
шение  частот  конца  красного  и  конца 
фиолетового  как  раз  равно  2.  Эта  окта­
ва  видимого  спектра,  по  Ньютону,  со ­
стоит  из  семи  цветов  радуги  и  соответ­
ствует  музыкальной  гамме  (рис. 
10
).
Вернемся  снова  к  планетам.
Отношения  радиусов-векторов  ор-

\ >
  ЬЦ а  , Г П |  
t l   ■Г 'П |
^  J
табл. 
6
;  3)  число  Сатурна  также  не 
обязательно  сравнивать с У а
7
 =  0,89559.
8.  Н ач ал о   П ятой  симфонии  Б етховена
10.  С олнечны й  спектр  Н ью тона.  Н ью тон  у т в е р ­
ж д а л   соответствие  цветового  спектра  м у зы к ал ь­
ной  гам м е.  Это  утверж д ен и е  он  опуб ли ковал 
в  «О птике»  и  в  « Л ек ц и ях   по  оптике»
Если  МХ =  СМ  =  ' /
2
,  то  р а ссто ян и я  гран и ц  
цветов  от  точки  X  д а д у т   указан н ы й   числовой  ряд, 
соответствую щ ий  отнош ениям   частот  в  сем исту­
пенной  м узы кальной  гам м е 
(дорийский  л ад ) 
сам ой  симметричной  (по  расп олож ен и ю   тонов  и 
полутонов)  из гам м :  ре,  ми,  ф а,  соль, л я ,  си,  до,  ре. 
Этот  числовой  р я д   п р ед ставл яет  собой  часть 
р я д а   (А ),  взятого  в  д и ап а зо н ах   — 1  и  — 2.
бит  планет  соответствуют  степеням  а, 
т.  е.  выражают  закон  II  (табл.  26).
Замечания:  1)  у  Урана 
—   0,90988,
Г max
т.  е.  совпадает  с  а
3
  с  разницей  0,00007;
2)  числа  Венеры  и  Нептуна  не  о б я за ­
тельно  сравнивать  с  числом  д/а =  0,984, 
так  как они  согласуются  с  числом  0,985,
У  Сатурна 
=   0,89449.  Это  число
Г max
2
ближе  к  числу  —   =   0,89443  (разница
V5
0,00006),  т.  е.  связано  с  числом  Ф 
(см.  §
22
).
Укажем  теперь  на  следующую  сим­
метрию  в  табл.  26:  у  Меркурия  и  Плу­
тона  наибольшая  ошибка  совпадения 
со  степенями  а;  у  Венеры  и  Нептуна  — 
близкие  числа;  у  Земли  и  Урана  — 
явное  выражение  закона  II:  у  З е м ­
ли  —  первая  степень  а,  у  Урана  — 
высокая  точность  совпадения  с  а 3.
Итак,  солнечная  система  подчиня­
ется  гармонии.  С  этим  следует  счи­
таться.  Так,  например,  анализ  и  прог­
ноз  сложных  явлений  (в  том  числе  и 
аномальных)  на  планетах  не  может 
быть  успешным  без  учета  гармонии 
всей  солнечной  (и  д аж е  шире  по  воз­
можности) 
системы 
(взаимодействие 
планет).  Но  это  —  дальнейшее  разви­
тие  теории.
27. 
ФАКТЫ 
ИЗ  РАЗНЫХ  ОБЛАСТЕЙ 
ЗНАНИЯ
Вспомним  число  q  =   0,943  =
0,485
0,515
(см.  § 1 5 ) .  Оно  почти  равно  числу 
0,486
0 514
-  Когда  число  q  было
Q =  0,944 =
впервые  получено  (из  различных  тео­
ретических  построений,  до  построения 
S K), 
то 
не  ясны  были  ни  его  смысл,  ни 
тем  более  его  экспериментальное  при­
ложение.  Хотя,  казалось  бы,  смысл 
простой  —  нарушаются  половинки,  т.  е. 
вместо  0,500/0,500  у  нас  0,485/0,515.

Н азван и е
планет
Г 
m i n / Г  щах
О ш ибка
совп ад ен и я
М еркурий
0 , 6 5 9 ^  а 13
0,005
Венера
0,986 « -уа
0,002
Зем ля
0,967 «  а
0,002
М арс
0,829 «  а 6
0,001
Ю питер
0 , 9 0 8 ^  а 3
0,002
С атурн
0,894 &  у  а 7
0,001
Уран
0,910 =  а 3
0,000
Нептун
0,983 як  у а
0,001
Плутон
0,602 « а 16
0,0026
Тогда  же  было  получено  и  число  0,969. 
Но  смысл  его  не  сразу  был  понят.
Как  часто  мы  проходим  мимо  оче­
видных  фактов.  Мы,  например,  знаем, 
что  сердце  у  нас  слева,  что  внутрен­
ние  органы  в  организме  расположены 
несимметрично,  что  если  представить 
себе  разрез  лица  на  две  половинки, 
то  точной  симметрии  не  будет,  что  л е­
вая  и  правая  руки  не  точно  симмет­
ричны.  Мы  также  знаем,  что  орбиты 
планет  не  точно  круговые,  что  сами  пла­
неты  —  неточные  шары.  То  же  самое 
в  биологии  —  например  в  расположе­
нии  листьев  на  деревьях  и  в  самой 
форме  листьев  нет  точной  симметрии. 
В  искусстве  такая  же  картина:  нет  точ­
ных  повторений,  вернее,  они  есть  и  их 
нет  (парадокс).  Что  же  означают  эти 
факты?  Нарушение  гармонии  или  вы­
ражение  гармонии?  Нарушение  устой­
чивости  или  выражение  устойчивости? 
Обычная  логика  говорит:  симметрия  —
это  гармония,  устойчивость.  Наруше­
ние  симметрии  —  это  нарушение  гар­
монии,  неустойчивость.  Если  принять 
эту  логику,  то 
мир  дисгармоничен. 
Признать  же 
нарушение  симметрии 
как  сущность  самой  симметрии,  нару­
шение  симметрии  не  как  нарушение 
устойчивости,  а  как  выражение  устой­
чивости,  казалось  парадоксальным.  Но 
нарушенная  симметрия  действительно 
выражает  устойчивость.  Это  хорошо 
видно  на  примере  музыкальных  рядов. 
Ряды  (А.1)  и  ( Б .
1
)  (см.  §  10  и  24) 
названы  качественными,  так  как  в  них 
отсутствует  повторение  качеств,  и  м еж ­
ду 
разными 
качествами 
существует 
некоторое  общее,связывающее  их  в  це­
лое.  Этим  общим  и  является  число  1,37. 
Но  связь  частей  в  целое  есть  не  нару­
шение  устойчивости,  а  выражение  ее.
Теперь,  после  установления  связи 
движения  и  устойчивости  в  виде  т о ж ­
дества  противоположностей 
(§ 5 , 
6
), 
все 
сказанное 
о 
парадоксальном 
устройстве  мира  кажется  естествен­
ным.
Итак,  число  q.  Оно  впервые  было 
обнаружено  в  музыке.  Для  анализа 
было  взято  одно  из  самых  совершен­
ных  произведений — бетховенская  «Ап­
пассионата»  (первая  часть).  Совершен­
ство  формы  здесь  не  вызывает  сомне­
ний.  Поэтому  первое  внимание  было
9.  Семь  о ктав  в  расп олож ен и и   планет  солнечной 
системы  (с.  210— 2 1 1 ).
К л а в и ату р а   р о я л я   сод ерж и т  семь  октав.  Если 
С олнце  поместить  в  правом   ее  конце,  то  П лутон 
о к аж ется   в  левом .  Д р у ги е  планеты   р а сс ел я тся  
по  о к тавам ,  З е м л я   и  М ар с  р а сп о л о ж атс я   в  двух 
соседних  п ол у о ктавах   при близи тельно  сим м етрич­
но  друг  д р у га

обращено  на  форму,  точнее  —  на  мак­
роформу, 
соответствующую 
триаде 
А В А \ У
  где  А  —  количество  тактов  в 
экспозиции,  В  —  в  разработке,  А\  — 
в  репризе.  Однако  в  данном  случае 
удобнее  считать  не  количество  тактов 
(так  как  имеется  затакт),  а  в  более 
мелких  метрических  единицах,  напри­
мер,  количество  восьмых  долей.  Но  где 
поставить  черту  деления?  Число  q =  
=   0,485/0,515,  что  означает дихотомию 
(деление  пополам),  а  у  нас  триада 
А В А \ .   Черту  можно  поставить  перед 
В   или  после  В.  Реприза  ( А\ )   имеет 
фундаментальный  смысл,  так  как  пред­
ставляет  собой  синтез  предыдущего. 
Кроме  того,  реприза  —  это  повторение. 
Наступление  повторения  дает  ощ ущ е­
ние 
целостности 
и 
законченности. 
Поэтому  черта  была  поставлена  между 
В  и  А\.  Форма  разделилась  на  две 
части  (А - \ - В )  и  А \.  При  подсчете  числа 
распределились  так:  А - \ - В - \ - А , = 3 1 4 7  
восьмых  долей 
при  А - \ - В =   1620 
и 
^4 j =   1527. 
Отношение 
( A - \ - B ) / A i  =  
=  0,515/0,485 =  ? “ К  Когда  этот  факт 
был  обнаружен,  он  произвел  на  автора 
впечатление  «чуда».  Как  может  так 
быть,  чтобы  такие  крупные  разделы 
формы  были  связаны  с  таким  ничтож­
ным  нарушением  симметрии?  И  вот, 
оказывается,  связаны.  И  чем  талант­
ливей  художник,  тем  точнее  и  много­
образнее  (и  в  крупной  и  в  мелкой  фор­
ме)  «работают»  числа.  Число  q  потом 
было  обнаружено  и  во  многих  других 
произведениях,  в  различных 
гранях 
формы,  например,  Прокофьев,  форте­
пианная  соната  № 4 ,   ч.  1.  Здесь  отно­
шение  экспозиции  (А)  к  разработке
(В)  А / В  =  0,515/0,485 =  ? “ 1.
Теперь  и з   д ругой  области.  В  ж ур ­
нале  «Наука  и  жизнь»  в  1965  г.  была 
опубликована  статья  «Мальчик  или  д е ­
вочка»  [И ,  с.  5 5 ].  В  ней  утверж да­
лось,  что  в  мирное  время  существует 
постоянная  соотношения  рождаемости 
у  человека,  средняя  для  всех  рас.  Она 
равна  106,  т.  е.  на 
100
  девочек  р о ж д а ­
ется  106  мальчиков.  Опять  нарушен­
ная  симметрия  100  и  106!  Отношение 
100/106 =  0,485/0,515 =  ?.
И   снова  из  друго й   области.  Возь­
мем  среднее  расстояние  от  Солнца  до 
Плутона.  В  середине  находится  планета 
Уран.  Причем  рядом  планет  нет,  т.  е. 
Уран  делит  среднее  расстояние  от  Солн­
ца  до  Плутона 
приблизительно  по­
полам.  Но  как  приблизительно?  Пусть 
а — расстояние  от  Солнца  до  Урана, 
Ь  —  от 
Урана 
до 
Плутона; 
а /Ь  =  
=  0,485/0,515 =  ?.  Прямо-таки  попада­
ние  в  «десятку».  Ведь  не  случайные 
факты  здесь  приведены,  а  именно  с а ­
мые  фундаментальные:  «Аппассиона­
та»,  рождаемость  (генетика),  солнеч­
ная  система.  Они  и  сейчас  представ­
ляются  автору  как  некое  «чудо».
А  вот  еще  факт  и  опять  из  другой 
области.  Возьмем  две  фундаменталь­
ные 
частицы  —  протон 
и 
£-мезон. 
Отношение  их  масс  mp/
2
m*° =  0,4 8 5 / 
/ 0 ,5 1 5  =  ?  (число  2  означает  преобра­
зование  по  S K,  согласно  формуле  ( 2 1 ) ) .
Итак,  факты  разные  —  музыка,  био­
логия,  макро-  и  микрокосмос,—  а  число 
одно.
Приведем  несколько  примеров  от­
ношения  масс  элементарных  частиц, 
связанных  не  только  с  числом  q.

m D
___ __   _   0,485
2m*o 
0,515
m K
m Y-i
=  
Я\
m k
m V
2
 
t n , 
=   a   ;
0,483
0,517
a   ;
Ш л +
0,484
0,516 
mv
2m*o
m x
0,483
0,517
0,472
0,528
a
2
m v   _   0,472  =  
2  *
m y* 
0,528 
V5
Эти  примеры  показывают,  что  пробле­
ма  установления  порядка  в  спектре 
масс  элементарных  частиц  может  быть 
решена  с  помощью  законов  гармонии.
Несколько  примеров  из  биологии. 
Часто исследователи, 
сталкиваясь 
с
числовой  проблемой,  пытаются  сопо­
ставлять  полученные  ими  числа  с  из­
вестными  числами  в  математике,  как 
правило, 
с 
числами  л  (отношение
окружности  к  диаметру)  и  е  (основа­
ние  натуральных  логарифмов).  Два 
таких  случая  мы  рассмотрим  ниже.
1. 
Ленинградский  биолог  Л.  Числен- 
ко, 
анализируя  структуру  фауны  и 
флоры  в  связи  с  размерами  организ­
мов,  пришел  к  периодической  зависи­
мости, 
характеризующейся 
числом, 
приблизительно  равным  л
3
 =  31,00637 
[47].  С  точки  зрения  качественной 
симметрии,  число  л
3
  лежит  в  диапазо­
не  +   10.  Мы  привыкли  главным  о бр а­
зом  к  диапазонам 
— 1
  и 
+ 1
  (для  них 
определены  основные  числа:  a,  р,  q,  Q,
*  т  —  м асса; 
р  —  протон; 
k  —  к-мезон; 
к  — 
лам б да-ги п ерон ;  У  —  сигм а-ги перон ;  л   —  пи- 
мезон;  Д 
д ел ьта-р езо н ан с; 
£*  —  сигма  со 
звездочкой  резонанс;  значки:  0  —  нейтральны й; 
4-  полож ительный;  —  отрицательны й.  Число  2 
перед  буквой  т  в  числителе  или  в  з н а м е н ат е ­
ле  —  преобразован и е  по  S K  согласно  ф о рм у­
ле  (21).
+ 
1
 
— 
1
К  и  др.,  кроме  того,  Д   и  Д   —  диапа­
зоны  значений  инвариантов).  Поэтому
-
1
переведем  число  а + ю =  3 1,00637  в  Д .  
По 
формуле 
(
2 1
) 
получаем 
a _ i  =  
=  0,968949.  И  опять  попадание  в  «де­
сятку»:  число  а
- 1
  равно  a =  0,9689845 
с  ошибкой  0,000036.  Тот  факт,  что  в 
биологии  выражается  гармония,  нас 
не  удивляет;  но  причем  здесь  число  л? 
А  ведь  л
3
  преобразуется  в а с   большой 
точностью!  Вот  что  загадочно.  Возни­
кает  проблема  связи  числа  л  с  гармо­
нией.
2. 
В  недавно  вышедшей  книге  [18] 
авторы  А.  В.  Жирмунский  и  В.  И.  Кузь­
мин  анализируют  критические  уровни 
в  развитии  биологических  систем  (н а­
пример,  зачатие,  рождение,  половая 
зрелость,  смерть)  и  утверждают,  что 
эти  уровни  характеризуются  числом 
^ = 1 5 , 1 5   или  чуть  меньшим,  чем  е€ 
(е  —  основание  натуральных  логариф­
мов).  Авторы  и  не  подозревают,  что 
они 
обнаружили 
золотое 
сечение. 
Причем  без  качественной  симметрии 
понять  это  нельзя.  С  точки  зрения  5 К
 
число  15,15  лежит  в  диапазоне  +
8
. 
Пусть  a _ i  =  Q =  0,9443.  Найдем  а + 8. 
По  формуле  (21)  находим  а + 8=   15,11. 
И  опять  попадание!  Возникает  пробле­
ма  связи  числа  е  с  гармонией.

П арны е  меры  и  темперированный 
строй.  В  древнерусской  архитектуре 
применяли  парные  меры,  в  частности 
найдена  новгородская  мерная  трость. 
Она  содержит  две  пропорциональные 
шкалы:  одна  из  них  построена  в  отн о­
шении  -\f2,  вторая  —  в  отношении  з о ­
лотого  сечения 
(д/5— 1).  Тем периро­
ванный  строй  т а к ж е   основан  на  д
/ 2  
и  золотом  сечении  (см.  § 2 4 ) .   Таким 
образом,  сами  каноны  как  в  ар х и тек ­
туре,  так  и  в  музыке  гармоничны.  С о­
временное  градостроительство,  исполь­
зующее  метры  (количество),  д и с г а р м о ­
нично.  «...Гармоничен  Парфенон,  г а р ­
моничен  Коломенский  храм  Вознесе­
ния,  гармоничен  чудовищно  ф ан т а с т и ч ­
ный  Василий  Блаж енны й,  гармоничен 
«нелепый»  П а л а ц ц о   Д о ж е й   в  Венеции, 
дисгармоничен  дом  №   14/16  на  улице 
214
11.  Д и а г р а м м а   отнош ений  м етрических  м а с ш та ­
бов  основных  р азд ел о в   м узы кальной  ф орм ы .  П р о ­
ан ал и зи р о в ан ы   прелю дии  С к р яб и н а,  on.  11  (весь 
ц и к л ),  «М им олетности»  П рокоф ьева  (весь  цикл) 
и  40  русских  народны х  песен
Чкалова,  в  котором  я  ж и в у»,—  писал 
Г.  Г.  Нейгауз  [29,  с.  46].
28.  МУЗЫКАЛЬНЫЕ  ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Нами  п роан ал и зирован о  множество 
произведений  (от  Б ах а  до  Ш о стак о ­
в и ч а).  Приблизительно  85%   получен­
ных 
чисел 
(отношения 
метрических 
масш табов  основных  разд ел ов  музы ­
кальной  формы)  соответствуют  числам
Н 
Т
S„,  т.  е.  числовым  ряд ам   S„,  S„,  а  т а к ж е  
золотому  сечению.  Эти  соответствия 
иногда  встречаются  с  большой  точ­
ностью  (до  пятого  или  шестого  з н а к а ) ,

особенно  в  выдающихся  произведени­
ях. 
Числа 
S H
 
также 
выявляются 
в  структуре  классической  формы  (осо­
бенно  у  Моцарта)  [15,  с.  70].
Кроме  произведений  крупной  формы 
анализировались  и  миниатюры.  Так,
В.  М.  Марутаевым  были  проанализи­
рованы  прелюдии  Скрябина,  оп. 
11 
(весь 
цикл), 
«Мимолетности» 
П ро­
кофьева 
(весь  цикл) 
и  40  русских 
народных  песен.  Всего  получено  более 
двух  тысяч  отношений.  Из  них  по­
строена 
следующая 
диаграмма 
(рис. 
1 1
):  каждое  число  выражено
в  виде  дроби  ( х / у   при  х - \ - у =  
1
)  и
-
1
преобразовано  по  S K в  Д   (т.  е.  в  интер­
вал  от  (д/2
)- 1
 = 0 , 7 0 7  =  0,414/0,586  до 
(V 2 )°=   1 = 0 , 5 0 0 / 0 , 5 0 0 ) ;   по  оси  абсцисс
отложен  числовой  спектр  от  0,414  до
-
1
0,500  (числители  чисел 
Д ) ,   по  оси 
ординат  —  количество  повторений  каж ­
дого  числа  в  указанных  произведе­
ниях  (пользуясь  только  числителями). 
Из  диаграммы  видно:  одни  числа  встре­
чаются 
гораздо 
чаще 
(выделенные 
числа),  чем  другие,  образуя  огромные 
вертикальные  пики.  Разные  авторы  — 
одни  и  те  ж е  числа!  Выделенные  числа 
группируются 
в 
следующие 
ряды:
1)  ряд  (А),  §24;  2)  ряды  Фибоначчи 
(f)  и  (Г)»  §
2 2
*;  3)  целые  степени  чис­
ла  а.  Анализ  диаграммы  —  см. 
[24, 
с.  306— 343]  **.  Рассмотрим  теперь  два
* 
Винтовое  л и сторасп олож ен и е  у  растений  т а к ­
ж е  соответствует  р яд ам   (/)  и  ( / ')   [42].
**  В  преды дущ их  пуб ли кац и ях,  наприм ер,  в  р а ­
боте  [25] 
а н ал и зи р о в ал а сь   д и агр ам м а ,  по-
уникальных  примера  анализа  макро­
формы  по  параметрам  ABAi,  о  кото­
рых  говорилось  в  §  27.
М о ц а р т ,   с о н а т а   № 12,  ф а   м а ­
ж о р ,   ч. 
1
.  Значения  чисел  (A +  B ) / A i
и  A / ( B + A i )   различны;  после  преобра-
+ 1
зования  их  по  формуле  (21) 
в 
Д  
имеем:  (A +  B ) / A i   = A / ( B  +  Ai)  =   1,37.
Ш о с т а к о в и ч ,   ф у г а   №
1
, о   п. 
8
 7. 
Число  тактов  во  всей  фуге 
А +  В +  
+  Ai  =   106,5.  Из  них 
А 
=  39, 
В 
=  39, 
A i = 2 8 , 5 .  
Сразу 
заметим, 
А / А \  =  
=  B /A i =  l,37.  Значения  приводимых
ниже  чисел  после  преобразования  их
+1
по  формуле  (21) 
в 
Д   показывают 
удивительную 
картину 
соотношения 
частей  между  собой  и  с  целым  в  этой 
фуге, 
сводящуюся 
к 
единственному 
числу, 
т.  е.: 
A /A i =  B /A i =  
(А 
+  
В) 
/
/  А
1
  =   (A +  B +  A i ) / A   =   (A +  B +  A i ) /  
/ В  
=  
(А +  В + А , ) / ( А  
+  
В)  
=   1,37,  см. 
[15,  с.  70;  24,  с.  324;  38,  с.  34].  Число 
1,37,  как  и  все  числа  S H,  обнаружено 
в  музыке  автором  впервые.
Таким  образом,  законы  гармонии 
мы  обнаружили  в  музыкальных  рядах, 
в  таблице  Менделеева,  в  планетных 
расстояниях,  в  музыкальных  произве­
дениях,  в  микро-  и  макрокосмосе,  в 
других  областях.  Это  означает,  что 
предлагаемая  теория  гармонии  согла­
суется  с  экспериментом.
строен н ая  из  отнош ений  н ату р ал ьн о го   ряд а 
чисел  указан ны м   выш е  способом.  Там  утвер ­
ж д а л а с ь   ан алоги ч н ость  ее  д и агр ам м е,  п ри ве­
денной  на  рис.  11.  Это  утверж ден и е  остается 
верным  л и шь   д ля  н ачал ьн о го   отрезка  н а ту ­
ральн ого  р яд а,  при близи тельно  от  1  до  25.

Г л а в а   4.  Проблемы  и  предположения
29.  ЗАГАДКА  ЧИСЛА  0,417
В  § 24  обращалось  внимание  на  это 
число,  как  на  своеобразный  наруши­
тель.  (Число 
5/6
 =  0,833 =  0,417*2  со ­
ответствует  в  музыке  значению  малой
[2 ( - 0.792)-  1 = 0 , 4 1 7 ] _
з
  —   [ 1 0 ( - ° ’792),|°-
Числа  связаны  переносной  симметрией
0 ,4 1 7 ^ 0 ,8 3 3 ;  логарифмы  чисел  —  циф­
ровой  0,792-1  _L  0 ,7 9 2 -1 0 “ 1  (о  ней  го- 
(л/То) - '
J2 ( - 1   + 0 . 4 1 7 - 2 - ' ) - 1 =
2 ° - 0 , 4 1 7 ] _ з   —   [Ю ( -
т.  е.  число  0,792  с  помощью  5 К выража­
ется  через  0,417  и  возникает  сложная 
связь  принципов  па  и  а п  внутри  квад­
ратных  скобок.
2
.  С вязь  с  числами  К  и  р.  В 
§ 2 1
формула  (35) 
выражена
в  численных  значениях  в  табл.  14,  из 
которой  видно: 
сумма  а + ft =  0,792;
Д =  0,208 =  0,4 1 6 - 2 - 1 . 
Значения 
в 
табл.  14 
получены 
при 
условии 
а +
6
+ Д =   1,  которое,  согласно  §1 2 , 
раскрывает  качественный  смысл  чи-
Ш 1 -(2  417/583)-' =  2  000;  а  т а к ж е :  10
=   W 3   =  
° ’714
  =   4 =   е в 7 ) 2-
Видоизменим  число  25/1| =  р  так, 
чтобы  получить  число  К-  В  пределах  7
минорной  терции.)  Число  0,417  (и  близ­
кие  к  нему  0,416  и  0,418)  обладают 
огромным  количеством  связей.  Приве­
дем  примеры.
1.  Связь  с  числами  2  и  10:
"' =  0,417 -2 =  0,833]_, 
(44)
ворилось  в 

жүктеу/скачать 57,19 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: