Оқулық Алматы 2010 ббк 65. 051 Ш 78

6-тақырып. Орташа шамалар        113

(3 500 000 + 4 340 000 + 2 538 000) / (125 + 140 + 94) = 10 378 000 / 359 = 

28908 теңге. Яғни осы бөлу қатарында бір жұмысшының орташа еңбекақысы 28908 

теңгені құрайды.

4 - м ы с а л .  Жұмысшылардың өнім өндіру нормалары келесі деректермен си-

патталады: 

Өнім өндіру нормасын орындау пайызы

Жұмысшылардың саны

90–100

10

100–110

160

110–120

100

120–130

60

130–140

20

Осы  деректердің  негізінде  кəдімгі  тəсілмен  жəне  моменттік  (мезеттік) 

тəсілмен  келесіні  есептеңіз:  а)  барлық  жұмысшылардың  өнім  шығару  жоспарын 

орындауының орташа пайызын; ə) мода мен медиананы. 

Ш е ш у і .  Бұл жағдайда аралық өзгермелі қатар қарастырылады, сол себептен 

орташа  шаманы  есептеу  үшін  дискреттік  қатарға  көшу,  яғни  əрбір  топ  бойынша 

аралықтың орташа мағынасын есептеп, оны орташа мағынамен алмастыру қажет: 

Өнім шығару 

нормасын орындау 

пайызы

Аралықтардың 

ортасы

Жұмысшылардың 

саны

Варианттардың 

жиілікпен көбейтіндісі

90–100

95

10

950

100–110

105

160

16800

110–120

115

100

11500

120–130

125

60

7500

130–140

135

20

2700

Жиыны

350

39450

Осыдан барлық жұмысшылардың өнім шығару жоспарын орындаудың орташа 

пайызы мынаны құрайды: 

х = (Σxf)/Σx = 39450 / 350 = 112,7%.

Орташа  шаманы  моменттік  (мезеттік)  тəсілмен  есептеу  былайша  қарас-

тырылады: 1) барлық варианттардан тұрақты санды шегеру (жиілігі ең көп вари-

анттар  немесе  қатардың  ортасында  орналасқан  варианттар,  бұл  жағдайда 115); 

2) варианттарды аралықтың еніне тең тұрақты санға бөлу (10):

 

Аралықтардың 

ортасы

x

1

 = (x – 105) / 10

Жұмыс-

шылардың саны 

(f)

Варианттардың жиілікпен 

көбейтіндісі (x

1

 f)

95

–2

10

–20

105

–1

160

–160

115

0

100

0

125

1

60

60

135

2

20

40

Жиыны

350

–80

8 – 3/10-09

114       I БӨЛІМ. Статистиканың жалпы теориясы

Сөйтіп, жаңа варианттардың арифметикалық орташа шамасы немесе бірінші 

реттің мезеті келесіні құрайды: 

m

1

 = (Σ x

1

f) / Σf = –80 / 350 = – 0,2286.

Арифметикалық  орташа  шаманы  анықтау  үшін  бірінші  реттің  мезеттің 

мөлшерін  барлық  варианттар  бөлінген  аралықтың  мөлшеріне  көбейтеміз  жəне 

алынған көбейтіндіге шегерген варианттың мөлшерін қосамыз: 

х  = i m

1 

+

 

A = 10 

×

 (–0,23) + 115 = 112,7%.

Сөйтіп,  кəдімгі  тəсілмен  есептелген  арифметикалық  орташа  шаманың  сол 

мағынасы алынды. 

Аралық вариацияланатын қатардағы моданы есептеу үшін алдымен белгінің 

ең көп саны тиесілі модальдық аралық анықталады. Біздің жағдайда бұл 100–110% 

аралығы.  Модальдық  мөлшердің  мағынасын  анықтау  үшін  келесі  формуланы 

қолданамыз: 

Mo = x

Mo

 + i

Mo

 

×

 (f

Mo

 – f

Mo-1

) / [(f

Mo

 – f

Mo-1

) + (f

Mo

 – f

Mo+1

)] =

= 100 + 10 

×

 (160 – 10) / [(160 – 10) + (160 – 100)] =

= 100 + 10 

×

 150 / 210 = 100 + 7,1 = 107,1%.

Яғни жұмысшылардың өнім шығару нормасын 107,1%-да орындау мағынасы 

жиі кездеседі. 

Медиананы есептеу үшін кумулятивтік жиілік сомасының жартысынан асып 

кететін аралықты (медиандық аралықты) табу қажет (біздің жағдайда бұл 350 / 2 

= 175). Алғашқы екі аралықтарда жиіліктердің сомасы (10 + 160 = 170) 175-тен ас-

пайды, ал үшінші аралықты ескергенде (170 + 100 = 270) – асады.

Медиананың ізделген мағынасын келесі формула бойынша анықтаймыз: 

Me = x

Me

 + i

Me

 

×

 (Σf/2 – S

Me-1

) / f

Me

 =

= 110 + 10 

×

 (175 – 170) / 100 =

= 110 + 10 

×

 5 /100 = 110 + 0,5 = 110,5%.

Сөйтіп, жұмысшылардың жартысы 110,5%-дан кем емес өнім шығарады. 

5 - м ы с а л .  Моменттік (мезеттік) тəсілді пайдалана отырып келесі деректер 

бойынша орташа астық өнімділігін, мода мен медиананы есептеңіз: 

Астық түсімділігі, ц/га

25

28

31

34

37

40

Жиыны

Егістіктің көлемі, жиынға % -бен

11

19

30

27

8

5

100

Ш е ш у і .   Астық  түсімділігінің  орташа  шамасын  моменттік  (мезеттік) 

тəсілмен есептеу үшін барлық варианттардан жиілігі ең көп варианттың мағынасын 

шегеріміз (31) жəне аралықтың мөлшеріне (3) бөлеміз: 

(Астық түсімділігі – 31) / 3 (x

1

)

–2

–1

0

1

2

3

Жиыны

Егістік көлемі, жиынға %-бен (f)

11

19

30

27

8

5

100

Варианттардың жиілікке көбейтіндісі 

(x

1

f)

–22

–19

0

27

16

15

– 41+58 = 17

6-тақырып. Орташа шамалар        115

Осыдан, жаңа варианттардың арифметикалық орташа шамасы (бірінші реттің 

сəті) келесіні құрайды: 

m

1

 = (Σ x

1

f)/ Σf = 17 / 100 = 0,17. 

Бірінші  реттің  мезетінің  арифметикалық  орташа  шамасын  анықтау  үшін 

барлық варианттарды бөлген аралықтың мөлшеріне көбейтеміз (3-ке) жəне алынған 

көбейтіндіге шегерген варианттың мөлшерін (31) қосамыз: 

х  =+ i m

1 

+

 

A = 3 

×

 0,17 + 31 = 31,51 ц/га.

Мода 31-ге тең, өйткені осы вариантқа ең жиі кездесетін жиілік сəйкес келеді 

(егістік көлемінің 30% -да 31 ц/га мөлшеріндегі астық түсімділігі байқалады).

Медиананы есептеу үшін кумулятивтік жиілік сомасының жартысынан асып 

кететін  аралықты  (медиандық  аралықты)  табу  қажет.  Алғашқы  екі  аралықтарда 

жиіліктердің  сомасы (11 + 19 = 30) болып 50-ден  аспайды,  ал  үшінші  аралықты 

ескергенде (30 + 30 = 60) – асады.  Осыған  орай  егістік  көлемінің 60%-да  астық 

түсімділігі 31 ц/га-дан аспайды, ал сонымен бірге егістік көлемінің 40%-да астық 

түсімділігі 34 ц/га-ны жəне одан жоғары болады, ал медиана 31 ц/га-ға тең. 

6.7.

Өзіндік жұмысқа арналған 

тапсырмалар

6.7.1. Есептер

1 - е с е п .  Қазақстанда 2004 жылы тиісті жастағы 1000 əйелге шаққанда ана 

жасы бойынша бала туу коэффициенті мынаны құрады: 

Жасы, жыл

15–19 20–24 25–29 30–34 35–39 40–44 45–45

Бала туу коэффициенті, промилле

26,94 143,24 131,24 86,11 44,17 9,50

0,49

2004  жылы  бала  туған  əйелдің  орташа  жасын,  мода  мен  медиананы 

анықтаңыз. 

2 - е с е п .  2009 жылғы халық санағының деректері бойынша Қазақстан Респуб-

ликасында 16004,8 мың тұрғылықты халық, оның ішінде 8639,1 мың адам қалада 

жəне 7365,7 мың  адам  селода  тіркелді. 1999 жылғы  халық  санағының  деректері 

бойынша халық санына қатысты халық саны өзгерісінің қарқыны қала тұрғындары 

бойынша 102,3%-ды, село тұрғындары бойынша – 112,7%-ды құрады. 

Санақтардың арасында халық саны орташа қаншаға өзгергенін есептеңіз. 

3 - е с е п .  ҚР Еңбек жəне халықты əлеуметтік қорғау министрлігінің жылдың 

басында  тағайындалған  жəрдемақының  орташа  мөлшері  мен  тағайындалған 

жəрдемақылардың  айлық  мөлшерінің  келесі  деректері  бойынша  үш  жылдың 

жəрдемақысының орташа мөлшерін есептеңіз. 

Жыл

Тағайындалған жəрдемақылардың 

орташа мөлшері, теңге

Тағайындалған жəрдемақылардың айлық 

мөлшері, теңге

2003

3391

2 684 994

2004

3647

2 868 001

2005

3824

3 022 490

116       I БӨЛІМ. Статистиканың жалпы теориясы

4 - е с е п .   Қазақстан  Республикасында 2004 жылы  зерттелген  үй  шаруа-

шылықтарында тұтынуға пайдаланылатын ең төменгі күнкөріс мөлшерінен төмен 

табысы бар халықты жасы бойынша бөлу келесіні құрады:

 

Жасы, жыл

Халықтың үлесі, %

0–14

33,1

15–19

13,0

20–24

7,4

25–29

6,0

30–34

6,7

35–39

7,9

40–44

7,9

45–49

5,4

50–54

3,7

55–59

2,3

60–64

1,8

65 жəне одан жоғары

4,8

Осы деректердің негізінде кəдімгі тəсілмен жəне моменттік (мезеттік) тəсілмен 

келесіні  есептеңіз:  а)  табысы  ең  төменгі  күнкөріс  мөлшерінен  төмен  халықтың 

орташа  жасы;  ə)  мода  мен  медиананы. 65 жəне  одан  жоғары  жастағы  халықтың 

жасының орташа мағынасы 75 жасқа тең екенін назарға алу қажет. 

5 - е с е п .   Моменттік  (мезеттік)  тəсілді  пайдалана  отырып  Қазақстан  Рес-

публикасында 1999 жылдағы  халық  санағының  деректері  бойынша  ғылым 

докторларының орташа жасын, мода мен медиананы есептеңіз: 

Жас, жыл

25–29 30–34 35–39 40–44 45–49 50–54 55–59 60–64

Ғылым докторларының саны 2

40

110

178

269

339

376

383

6.7.2. Тест тапсырмалары

1.  Жиынтық бірлігіне шаққанда қайсы бір белгі бойынша əлеуметтік-

экономикалық  құбылыстың  талдап  қорытып  сипаттайтын  көрсет-

кіштері не деп аталады? 

1)  жинақтамалы көрсеткіш; 

2)  индекс;

3)  қатысты көрсеткіш; 

4)  орташа көрсеткіш; 

5)  коэффициент.

2.  Орташаландырылған белгінің мөлшері не деп аталады? 

1)  абсолюттік мəні;

2)  варианты;

3)  жиілік;

4)  жиілік шамасы;

5)  жиынтық бірлігі.

3.  Көп сандар заңының мəні мен оның мағынасы орташа шамада қалай 

байқалады? 

1)  кездейсоқ  себептер  туындататын  белгінің  мағынасының  ауытқуын 

өтегенде; 

2)  моменттік (мезеттік) тəсілмен орташа шаманы есептеу мүмкіндігінде; 

6-тақырып. Орташа шамалар        117

3)  типтік  топтар  құру  жəне  олар  үшін  топтық  орташа  шаманы  анықтау 

мүмкіндігінде; 

4)  арифметикалық  салмақталған  орташа  шама  формуласын  қолдану 

мүмкіндігінде; 

5)  вариацияланатын  белгінің  көптеген  себептерге  байланысты  əр  түрлі 

деңгейлерінде білінуден.

4.  Арифметикалық  орташа  шама  жəне  гармоникалық  орташа  шама 

формулаларын қолдану неге байланысты? 

1)  талдау мақсатына; 

2)  бақылау объектісін таңдауға;

3)  объектінің экономикалық маңызына; 

4)  объектінің математикалық маңызына; 

5)  вариацияланатын белгінің жалпы көлемі қалай құрылатынына. 

5.  Облыстың жекелеген аудандарында бір гектар жəне егістік көлемінің 

бидайдың түсімділігі жөніндегі деректер болған жағдайда облыстағы 

орташа астық түсімділігі қай формула бойынша анықталады? 

1)  гармоникалық жай орташа шама; 

2)  гармоникалық салмақталған орташа шама; 

3)  арифметикалық жай орташа шама; 

4)  арифметикалық салмақталған орташа шама; 

5)  геометриялық орташа шама. 

6.  Белгінің мағынасының мөлшерінің барлық варианттарын 5-ке кеміт-

кен жағдайда 100 тастан тұратын жиынтықтың 20 кг арифметикалық 

орташа шамасы қалай өзгереді? 

1) 25 кг; 

2) 95 кг; 

3) 15 кг; 

4) 5 кг; 

5) 100 кг.

7.  Егер  белгінің  мағынасының  барлық  варианттарын 10 есеге  кемітсе 

арифметикалық орташа шама қалай өзгереді? 

1) 10 есеге кемиді; 

2) 10 есеге ұлғаяды; 

3)  өзгермейді; 

4) 10-ға ұлғаяды;

5) 10-ға кемиді.

8.  Барлық  жиіліктерді 5-ке  бөлсе  арифметикалық  орташа  шаманың 

мөлшері қалай өзгереді? 

1) 5 есеге ұлғаяды; 

2)  өзгермейді; 

3) 5 есеге кемиді; 

4) 5-ке ұлғаяды; 

5) 5-ке кемиді. 

118       I БӨЛІМ. Статистиканың жалпы теориясы

9.  Арифметикалық орташа шаманы моменттік (мезеттік) тəсілмен есеп-

теу формуласы қайсысы? 

1)  m1 · i + A;

2) 

;

2

∑

∑

f

f

x

3)  i(m

2

 + m

1

2

);

4)  i

2

(m

2

 + m

1

2

);

5)  i(m

2

 + m

1

)

2

.

10.  Гармоникалық орташа шаманы есептеу формуласы: 

1) 

;

∑

∑

x

w

w

2) 

;

n

x

∑

3) 

;

∑

∑

⋅

f

f

x

4) 

;

1

∑

x

n

5) 

.

2

1

k

k

x

x

x

⋅

⋅

⋅

⋅

11.  Белгінің кері мағынасының негізінде есептелген орташа шама не деп 

аталады? 

1)  арифметикалық;

2)  квадраттық; 

3)  кубтық; 

4)  геометриялық; 

5)  гармоникалық. 

12.  Бөлу қатарындағы мода қайсысы? 

1)  ең жиі кездесетін вариант; 

2)  ең үлкен вариант;

3)  ең көп жиілік; 

4)  сараланған қатарды екі тең бөлікке бөлетін вариант; 

5)  қатардың орташа деңгейі. 

13.  Бөлу қатарында медиана қайсысы? 

1)  жиілігі ең көп вариант; 

2)  жиілігі орташа вариант; 

3)  сараланған қатарды екі тең бөлікке бөлетін вариант; 

4)  бөлудің сараланған қатарындағы төменгі квартильді кесетін вариант; 

5)  қатардың ортасындағы аралықтың белгісінің жиілігі.

7-тақырып. Вариацияның көрсеткіштері        119

7.1.

Вариацияның көрсеткіштері

Вариация  көрсеткіштері  туралы  жалпы  түсінік.  Орташа  шамалар 

ғана  емес,  белгінің  мағынасы  ауытқитын  көрсеткіштерінің  де  теориялық 

жəне практикалық маңызы болады. Ауытқудың ең шеткі мағыналары ғана 

емес барлық ауытқудың жиынтықтарының маңызы бар. Орташа шаманың 

сипаттамаларының  типтілігі  мен  сенімділігі  ауытқудың  бөлінетін  мөлше-

ріне байланысты. Қайсы бір белгілерінің орташа шамалары мүлдем бірдей, 

ал осы орташа шамадан ауытқу əр түрлі жиынтықтар да болады. 

Вариация ауқымы. Вариация ауқымының көрсеткіші вариацияның ең қа-

ра пай ым көрсеткіші (R), болып табылады, ол вариацияланатын белгінің ең көп 

жəне ең аз мағынасының арасындағы айырма ретінде былайша есептеледі: 

R = x

max

 – x

min

.

Алайда вариация ауқымының əр түрлі көрсеткішінде де (орташа шама-

дан тек шеткі ауытқуды байқайтын) ауытқу əр түрлі бөлінуі мүмкін. Бөлудің 

бір қатарлары үшін осы ауытқу орташа шамаға қарай, ал басқаларда – орта-

ша шамадан алыстап топтасуы мүмкін. 

Арифметикалық  (сызықтық)  орташа  ауытқу.  Ауытқуды  бөлуге 

жинақтап қорытылған сипаттама берместен бұрын осы ауытқудың орташа 

шамасын  есептеу  қажет.  Ауытқуларды  орташа  шамадан  бір  жаққа  қарай 

ауытқу  (өйткені  ауытқудың  сомасы  нөлге  тең)  ретінде  деп  ескеру  үшін 

олардың сомасын бір белгімен алып қатардың элементінің санына бөлу ке-

рек. Вариацияның алынған көрсеткіші арифметикалық орташа шама не-

месе сызықтық ауытқу деп аталады: 

⎯d = (Σ|x –

х

| f) / Σf.

Дисперсия  жəне  квадраттық  орташа  ауытқу.  Статистикада  белгі 

вариациясының  өлшемі  ретінде  дисперсия  –  орташа  шамадан  (σ

2

)  ауытқу 

квадраты қолданылады, ал дисперсияның квадраттық түбірі квадраттық ор-

таша ауытқу (σ) деп аталады. 

7-òà¿ûðûï

ВАРИАЦИЯНЫҢ 

КӨРСЕТКІШТЕРІ

120       I БӨЛІМ. Статистиканың жалпы теориясы

Дисперсияны есептеу үшін мына формула пайдаланылады: 

σ

2

 = (Σ(x –

х

)

2

 f) / Σf,

Ал квадраттық орташа ауытқуды есептеу үшін мына формула пайдала-

нылады: 

σ = [(Σ(x –

х

)

2

 f) / Σf]

1/2

 .

Белгі вариациясының ауқымы бірдей екі қатар үшін осы көрсеткіштерді 

(8–2=6), сондай-ақ белгінің орташа мағынасын (5) (7.1 жəне 7.2-кесте) есеп-

тейік. 

Осы кестелерден бірінші қатар үшін σ

2

 = 118/132 = 0,89, σ = =0,89)

1/2

 = 

0,94, екінші қатар үшін – σ

2

 = 720/170 = 4,2, σ = (4,2)

1/2

 = 2,05 аламыз.

Екінші мысалдағы орташа квадраттық ауытқу бірінші мысал дағы орта ша 

квадраттық  ауытқудан  екі  есеге  асады  жəне  бірінші  қатармен  салыс тырғанда 

екінші қатардағы белгінің бұдан жоғары вариациясын көрсе теді. 

Орташа квадраттық ауытқу əр кезде вариант болатын жəне орташа шама 

вариацияның абсолюттік өлшемі болатын атаулы сандарда көр сетіледі. 

Вариация коэффициенті. Орташа квадраттық ауытқу өзінің абсолют-

тік  мағынасы  бойынша  вариацияның  дəрежесі  ғана  емес,  сонымен  бірге 

вариантаның абсолюттік деңгейі мен орташа шамаға да байланысты бола-

ды. Сондықтан вариациялық қатардың орташа квадраттық ауытқуларын əр 

түрлі орташа шамалармен тікелей салыстыруға болмайды. 

7.1. 1-статистикалық бөлу қатары 

x

f

x –

⎯x

(x –

⎯x)

2

(x –

⎯x)

2

 f

2

1

-3

9

9

3

5

-2

4

20

4

30

-1

1

30

5

60

0

0

0

6

30

1

1

30

7

5

2

4

20

8

1

3

9

9

132

118

7.2. 2-статистикалық бөлу қатары

x

f

x –

⎯x

(x –

⎯x)

2

(x –

⎯x)

2

 f

2

30

-3

9

270

3

20

-2

4

80

4

10

-1

1

10

5

50

0

0

0

6

10

1

1

10

7

20

2

4

80

8

30

3

9

270

170

720

Əр түрлі қатарлардың вариациясының дəрежелерін салыстыру үшін ор-

таша квадраттық ауытқулардың арифметикалық орташа шамаға пайыздық 

7-тақырып. Вариацияның көрсеткіштері        121

қатынасын салыстыру қажет. Алынған салыстырмалы көрсеткіш вариация 

коэффициенті немесе жай вариация коэффициенті деп аталады: 

v = σ /

х

 × 100.

Мысалы, егер бір ауданда жүгерінің түсімділігі үшін σ = 10 ц/га жəне 

х

= 40 ц/га, ал басқа ауданда σ = 9 ц/га жəне 

х

 = 30 ц/га, онда бірінші ауданда 

вариация абсолюттік шамасы бойынша көп, ал вариацияның қатысты ша-

масы аз, өйткені: 

v

1

 = 10/40 × 100 = 25%, v

2

 = 9/30 × 100 = 30%.

Вариация коэффициенті орташа шаманың типтігінің белгілі дəрежедегі 

өлшемі  болып  табылады.  Басқаша  айтқанда,  егер  вариация  коэффици-

енті  жоғары  болса (40%-дан  асады  делік),  бұл  жағдайда  орташа  шама 

жиынтықтың жекелеген бірліктерінің айтарлықтай өзгеретін белгісі бойын-

ша сипаттайды. Осындай орташа шаманың типтілігі шамалы ғана. 

Бұрын келтірілген мысалда вариация коэффициенті бірінші қатар үшін 

0,188 (0,94/5) немесе 18,8%-ға тең, ал екінші қатарда – 0,41 (2,05/5) немесе 

41%-ға тең. Сондықтан бірінші қатардағы орташа шама жөнінде айтатын 

болсақ, ол кəдімгі сипаттама деп, ал екінші қатардағы орташа шама туралы 

– кəдімгі емес деп айтуға болады. 

жүктеу/скачать 2,85 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: