Оқулық Алматы 2010 ббк 65. 051 Ш 78

7-тақырып. Вариацияның көрсеткіштері        137

3 - е с е п .  Моменттік тəсілді пайдалана отырып Қазақстан Республикасында 

1999 жылдағы халық санағының деректері бойынша ғылым докторларының орташа 

жастан орташа квадраттық ауытқуын жəне асимметрия коэффициентін есептеңіз: 

Жасы, жыл

25–29 30–34 35–39 40–44 45–49 50–54 55–59 60–64

Ғылым 

докторларының саны 

2

40

110

178

269

339

376

383

7.5.2. Тест тапсырмалары

1.  Дисперсия – бұл:

1)  белгінің жеке мағынасы мен орташа шаманың арасындағы ауытқу; 

2)  белгінің жеке мағынасының орташа шамадан ауытқуының орташа ша-

масы; 

3)  белгінің  жеке  мағынасының  орташа  шамадан  ауытқуының  орташа 

квадраты; 

4)  белгінің ең жоғары жəне ең төмен мағынасының арасындағы айырма; 

5)  белгінің ең жоғары мағынасы мен орташа шаманың арасындағы айырма.

2.  Варианттар мен жиіліктер туралы бірлік топтар бойынша мəлімет бел-

гілі болса дисперсияны есептеуге арналған формуланы көрсетіңіз: 

1) 

;

2

2

x

x

−

2) 

∑

− )

(

2

x

x

);

3) 

∑

−

;

)

(

2

x

x

4) 

;

)

(

2

∑

∑

⋅

−

f

f

x

x

5) 

)

(

2

n

x

x

∑

−

.

3.  Егер  жиынтықтың  варианттарының  барлық  мағыналарын 5-ке 

кемітсе, онда дисперсия: 

1) 5 есеге кемиді; 

2) 25 есеге кемиді; 

3)  өзгермейді; 

4) 5 есеге көбейеді; 

5) 25 есеге көбейеді. 

4.  Егер жиынтықтың варианттарының барлық мағыналарын 10 есеге 

кемітсе, онда дисперсия: 

1) 10 есеге кемиді; 

2) 25 есеге кемиді; 

3)  өзгермейді; 

138       I БӨЛІМ. Статистиканың жалпы теориясы

4) 10 есеге көбейеді; 

5) 100 есеге көбейеді. 

5.  Егер қызмет көрсетілетін орташа уақыт 10 минутты, ал орташа квад-

рат 104-ті  құраса,  аяқ  киім  дүкенінде  бір  сатып  алушыға  қызмет 

көрсетуге  жұмсалатын  шығынның  орташа  квадраттық  ауытқуын 

анықтаңыз: 

1) 2;

2) 4; 

3) 10,4; 

4) 0,1; 

5) 94. 

6.  Дисперсияны моменттік тəсілмен есептейтін формуланы көрсетіңіз: 

1)  і

2

(т2 – т

1

2

);

2) 

;

n

x

x

∑

−

3) 

;

)

(

2

n

x

x

∑

−

4) 

;

)

(

2

∑

∑

−

f

f

x

x

5) 

.

∑

∑

⋅

f

f

x

7.  Топаралық вариация деген не? 

1)  белгінің жеке мағынасының жалпы орташа шамадан ауытқу квадрат-

тарының сомасы; 

2)  белгінің жеке мағынасының топтық орташа шамадан ауытқу квадрат-

тарының сомасы; 

3)  белгінің  жеке  мағынасының  орташа  шамадан  ауытқуының  ари ф-

метикалық орташа шамасы; 

4)  топтық орташа шаманың жалпы орташа шамадан вариациясы; 

5)  топ ішіндегі белгінің топтық орташа шамадан вариациясы. 

8.  Детерминация коэффициенті – бұл ненің арақатынасы? 

1)  топтық орташа шаманың дисперсиясы мен топтық дисперсияның орта-

ша шамасының; 

2)  топтық  дисперсияның  орташа  шамасы  мен  топтық  орташа  шаманың 

дисперсиясының; 

3)  белгінің жеке мағынасының ауытқуының арифметикалық орташа ша-

масы мен орташа шаманың; 

7-тақырып. Вариацияның көрсеткіштері        139

4)  топтық орташа шаманың дисперсиясының жəне жалпы дисперсияның;

5)  топтық дисперсияның орташа шамасы мен жалпы дисперсияның. 

9.  Топтық орташа шаманың дисперсиясы неге тең болады? 

1)  жалпы  дисперсия  мен  топ  ішіндегі  дисперсиялардың  орташа  шама-

сының айырмасына; 

2)  жалпы  дисперсия  мен  топ  ішіндегі  дисперсиялардың  орташа  шама-

сының сомасына; 

3)  жалпы  дисперсия  мен  топ  ішіндегі  дисперсиялардың  орташа  шама-

сының көбейтіндісіне; 

4)  жалпы  дисперсия  мен  топ  ішіндегі  дисперсиялардың  орташа  шама-

сының арақатынасына; 

5)  жалпы  дисперсия  мен  топ  ішіндегі  дисперсиялардың  орташа  шама-

сының жарты сомасына. 

10.  Альтернативті (балама) белгінің дисперсиясы неге тең болады? 

1)  альтернативті белгінің үлесі мен осы үлесті бірге дейін толықтыра тын 

санның сомасына; 

2)  альтернативті белгінің үлесі мен осы үлесті бірге дейін толықтыратын 

санның айырмасына; 

3)  альтернативті белгінің үлесі мен осы үлесті бірге дейін толықтыратын 

санның жарты сомасына; 

4)  альтернативті белгінің үлесі мен осы үлесті бірге дейін толықтыратын 

санның көбейтіндісіне; 

5)  альтернативті белгінің үлесі мен осы үлесті бірге дейін толықтыратын 

санның арақатынасына. 

11.  Қалыпты бөлудің заңдылығы не деп аталады? 

1)  вариацияланатын  белгінің  мағынасының  ұлғаюына  орай  жиіліктің 

көбеюі; 

2)  вариацияланатын  белгінің  мағынасының  кемуіне  орай  жиіліктің 

көбеюі; 

3)  вариацияланатын белгінің мағынасының ортасында жиіліктің ұлғаюы 

жəне мағынаның ортасынан алып тастағанда кемуі; 

4)  вариацияланатын  белгінің  мағынасының  ортасында  жиіліктің  кемуі 

жəне мағынаның ортасынан алып тастағанда ұлғаюы; 

5)  вариацияланатын  белгінің  мағынасының  кемуіне  орай  жиіліктің  ке-

муі. 

12.  Келісім өлшемі нені көрсетеді?

1)  бөлу қатарының белгіленген белгісінің өзгеру дəрежесін; 

2)  екінші реттің сəтінің дисперсияға жақындық дəрежесін; 

3)  топтастыру белгісінің жалпы дисперсияның пайда болуына ықпал ету 

күшін; 

4)  белгінің топ ішіндегі вариациясының дисперсиясын; 

5)  нақты бөлудің қалыпты бөлуге жақындығын.

140       I БӨЛІМ. Статистиканың жалпы теориясы

8.1.

Ішінара бақылаудың 

теориялық негіздері

Ішінара  бақылау  мен  оның  міндеттері  жөніндегі  түсінік.    Ішінара 

бақылау  деп  бас  (бүкіл)  жиынтықтың  кездейсоқ  іріктелген  кейбір  бөлігі 

байқа латын жаппай емес бақылаудың түрі аталады. Іріктеме жиынтық тың 

реп ре зентативтілігі  (көрнекілігі),  яғни  бүкіл  жиынтықты  білдіру  қас иеті 

осылайша қамтамасыз етіледі. 

Ішінара  бақылау  күш-жігерді,  қаражат  пен  уақытты  аз  жұмсап 

байқалатын  бірліктің  бүкіл  жиынтығы  туралы  репрезентативтік  (көрнекі) 

дерек алуға мүмкіндік береді. Сонымен бірге деректер жиынтықтың бөлігі 

бойынша жиналып, ал қорытынды бүкіл жиынтық бойынша жасалуына бай-

ланысты репрезентативтік қате деп аталатын қатеге жол берілуі мүмкін.  

Ішінара бақылауда іріктемеге жол берілуі ықтимал қатесі бар нəтиже алуды 

қамтамасыз ету маңызды. 

Бас жəне іріктеме жиынтық, үлес жəне орташа шама. Бақылана тын 

бірліктердің  бүкіл  жиынтығы  бас  жиынтық  деп  аталады,  ал  оның  саны 

N-мен белгіленеді. Іріктеме жиынтық, оның саны n-мен белгіленеді – бұл 

жиынтықтың ішінара байқалатын бөлігі. 

Ішінара бақылауда жинақтап қорытылатын көрсеткіштердің екі ка-

тегориясы, яғни үлес пен орташа шама қарастырылады. Үлес жиынтықты 

альтернативті  вариацияланатын  белгі  бойынша  сипаттайды  жəне  бізді 

қызықтыратын белгісі бар жиынтық бірлігі санының жиынтық бірлігінің 

жалпы санына қатынасы ретінде есептеледі. Мысалы, өнімнің сапасын 

зерттегенде  белгіленген  сапа  стандарты  сақталмаған,  яғни  ақауға  жа-

татын  бірліктердің  салыстырмалы  үлесі  анықталады.  Студенттердің 

жиынтығын  зерттегенде  бізді  осы  жиынтықтағы  үздік  студенттердің 

үлесі қызықтыруы мүмкін. 

Бас жиынтықтағы үлес p латын əрпімен, ал іріктеме жиынтықтағы үле-

сі – w-мен белгіленеді жəне жиілік шамасы деп аталады. Бұл жағдайда  іші-

нара бақылауда міндеті жиілік шамасын (іріктелген үлесті) өлшеу негізінде 

бас жиынтықтағы үлесі туралы дұрыс түсінік беру міндеті қойылады. 

8-òà¿ûðûï

ІШІНАРА БАҚЫЛАУ

8-тақырып. Ішінара бақылау        141

Бүкіл  жиынтықтағы  вариацияланатын  белгінің  орташа  шамасы  X

бас орташа шамасы, ал ішінара бақыланатын бірліктердің орташа шама-

сы – 

⎯x ішінара орташа шама деп аталады. Осы тұрғыдан алғанда ішіна-

ра бақылауда ішінара орташа шаманың негізінде бас орташа шама туралы 

дұрыс түсінік беру міндеті қойылады. 

Ішінара қатесі туралы түсінік.  Ішінара бақылау нəтижесінде жиынтық 

көрсеткіштер  тек  іріктеме  жиынтықтың  базасында  алынады,  сол  себеп-

тен  олар  жиынтықтың  барлық  бірліктерінің  жиынтық  көрсеткіштерімен 

ешқашан үйлеспейді десе болады. Сондықтан осы көрсеткіштердің ықти-

мал ауытқу шектерін жəне осы ауытқудың шамасына байланысты жағдай-

ларды білу маңызды. 

Ішінара үлестің жəне ішінара орташа шаманың бас жиынтықтағы үлес 

пен орташа шамадан ықтимал ауытқу шектері ішінара болатын қатесі деп 

аталады. 

Ішінара болатын қатесі мен тіркеу қатесінің ерекшеліктерін білген жөн. 

Тіркеу  қателері (3-тақырыпты  қараңыз)  бақылау  процесінде  фактіні  қате 

белгілеумен байланысты туындайды. Олар жаппай жəне ішінара бақылауға 

тəн, алайда ішінара бақылауда олар əдетте аз, өйткені ішінара бақылауды 

мұқият түрде білікті қызметкерлер жүргізеді. 

Тіркеу  қателері  сияқты  ішінара  болатын  қателер  де  өз  тегі  бойынша 

бір  жақты  əрі  кездейсоқ  болуы  мүмкін.  Егер  ішінара  бақылау  үшін  үздік 

немесе нашар бірліктер əдейі іріктеліп алынған жағдайда қателер бір жақты 

болуы мүмкін. Осы жағдайға жол бермеу үшін бас жиынтықтың жекелеген 

бірліктерінің  зерттелуге  тиіс  бірліктердің  санына  түсу  мүмкіндігі  бірдей 

болуы қажет.

Кездейсоқ  іріктеу  қағидасы  сақталған  жағдайда  ішінара  қателеріне 

кездейсоқ жол беріледі, яғни бас жиынтықтың сипаттамасын кеміту немесе 

асыру мүмкіндігі тең дəрежеде болады. Ішінара болатын кездейсоқ қате бас 

сипаттаманың іріктелген сипаттамадан ауытқу мөлшерін көрсетеді.

Ішінара орташа қатенің формуласы. Көп сандар заңына сəйкес іші-

нара санның (n) артуына орай кездейсоқ қателердің мөлшері қысқа ра ды. Сон-

дай-ақ ішінара қателер зерттелетін қателердің өзгеру дəрежесімен немесе 

σ

2

 дисперсиямен анықталады. Егер белгі өзгермесе, онда бірліктердің бүкіл 

жиынтығы  жөнінде  түсінік  алу  үшін  кез  келген  бір  бірлікті  зерттеу  жет-

кілікті.  Егер  белгінің  вариациясы  шамалы  болса,  онда  ішінара  кездейсоқ 

қате де шамалы болады. 

Орташа  шама  үшін  қайталанатын  іріктеудің  орташа  қатесінің  фор-

муласының түрі мынадай болады: 

;

2

n

σ

=

μ

х

~

мұнда: μ

х

~

 – орташа шама үшін іріктеудің орташа қатесі; 

142       I БӨЛІМ. Статистиканың жалпы теориясы

    σ

2

 – бас жиынтықтағы вариацияланатын белгінің дисперсиясы; 

    n – іріктеме жиынтықтың бірлік саны. 

Үлес салмағы үшін қайталанатын іріктеудің орташа қатесі. 

μ

;

)

1

(

n

p

p

−

w

=

W (1 – W)

n

мұнда: 

 – іріктеу жиынтығы белгісінің үлесі. 

Осы  формулаларды  математикалық  дəлелі  бас  жиынтықтан  алынған 

бірліктің оны кездейсоқ іріктегеннен кейін қайта қайтару қарастырылатын 

схемаға негізделеді. Нəтижесінде басқа бірліктерді іріктегенде барлық өзге 

бірліктермен қатар қайтадан іріктемеге түсудің тең мүмкіндігін сақтайды. 

Практикада  іріктеме  əдетте  қайталанбайтын  іріктеу  схемасы  бойын-

ша  ұйымдастырылады.  Нəтижесінде  бас  іріктеменің  саны  өндіру  про-

цесінде  қысқарады.  Сондықтан  жоғарыда  келтірілген  формулаға  түбірдің 

астындағы формулаға келесі қосымша көбейткіш (1-n/N) түріндегі түзету 

енгізілуі тиіс: 

).

1

(

2

N

n

n

−

= σ

μ

х

~

.

(1–n/N) көбейткіш əр кезде бірден аз, сондықтан қайталанбайтын ірік-

теуде ішінара қате қайталама іріктеу кезіндегі қатеден əр кезде аз болады. 

Ішінара  қате  ең  бастысы  іріктеменің  абсолюттік  санына  жəне  оның 

үлесінен кем дəрежеде байланысты екенін атап өткен орынды. 

Келтірілген формулалар бас жиынтықтың жиынтық сипаттамаларының 

іріктеме жиынтықтың сипаттамаларынан орташа ауытқу шамасын сипаттай-

ды. Алайда бас орташа шама осы қатенің шегінен шықпайтынын абсолют-

тік сеніммен емес тек белгіленген ықтималдық дəрежесінде, атап айтқанда 

0,683 ықтималдықпен растауға болады. Демек 1000-нан 317 əр түрлі ірік-

темеде  бас  жиынтықтың  жиынтық  сипаттамасы  іріктеме  жиынтықтың 

жиынтық сипаттамасынан бір мю мөлшеріне айырмашылығы болады. 

Растаудың ықтималдығын арттыру үшін ауытқудың шектерін ұлғайту 

қажет. Мəселен, егер ауытқудың шектерін екі мю шектерінде алсақ, онда 

біздің  растауымыздың  ықтималдығы 0,954-ге  дейін  артады, 1000-нан 46 

жағдайда ғана ауытқу еселенген мю-дің шегінен шығады. 

Егер үш еселенген мю-дің мөлшерін алсақ, онда ықтималдық 0,9973-ті 

құрайды. 

Жалпы  жағдайда  іріктеменің  шекті  қатесі  (∆)  орташа  қатемен  келесі 

теңдікпен байланысты: 

∆ = t × μ,

мұнда: t –  шекті  қате t-есе  орташа  қатеден  аспайтынына  кепілдік  беруге 

болатын ықтималдыққа байланысты сенім коэффициенті. 

8-тақырып. Ішінара бақылау        143

Мəселен, 0,95 ықтималдық үшін t=1,96; 

0,99 t=2,58; 

0,999 t=3,28, бұлар іс жүзінде ең жиі қолданылады. 

Белгілердің дисперсиясының ішінара қателері формулаларда бас жи-

ын тыққа жатады, сондықтан оларды есептеуге болмайды, өйткені ішінара 

ба қылауы  болуына  байланысты  формулаларға  іріктелетін  жиынтықтар-

дың  дисперсияларының  мағыналары  қойылады.  Іріктеме  жəне  бас  дис-

персияның  арасындағы  арақатынас  келесі  формуламен  көрсетілетіні 

расталған: 

σ

2

бас

 = σ

2

ішін.

 × n/(n–1).

Яғни  іріктеме  дисперсия  бас  дисперсиядан  аз,  n  біршама  көп  болған 

жағдайда олар анағұрлым жақын болады. 

Іріктеменің  қажетті  санын  есептеу.  Ішінара  қатенің  шамасын 

анықтауға  арналған  жоғарыда  келтірілген  формулалар  осы  қателерді 

анықтап  қана  қоймай,  сонымен  бірге  ішінара  қатесі  белгіленіп  берілген 

мөлшерден аспау үшін іріктеменің қай санын алуды алдын ала есептеуге 

мүмкіндік береді: 

n = σ

2 

/ μ

2

,

t коэффициентін ескере отырып формуланың түрі келесідей болады: 

n = (σ

2 

/ ∆

2

 ) × t

2

.

  Белгінің  үлесін  ішінара  өлшегенде  іріктеменің  орташа  қатесі  келесі 

формула бойынша анықталады: 

,

)

1

(

n

w

w

−

=

μ

осыдан 

n = w × (1 – w) / μ

2

.

t коэффициентін ескере отырып формуланың түрі келесідей болады: 

n = [w × (1 – w) / ∆

2

] × t

2

.

Ішінара зерттеудің қажетті санын анықтағанда σ

2

 белгісі немесе оның 

w үлесінің қалай өзгергені алдын ала белгілі емес жəне ішінара зерттеуден 

кейін ғана анықталуына байланысты қиындық тудырады. 

Осы қиындықтан шығу үшін σ

2

 немесе w нақты мағынасының орнына 

өткен бақылау нəтижесінде немесе қайсы бір сынап ішінара бақылаудың не-

гізінде алынған шамамен алынған мағынасы пайдаланылады. Сақтық үшін 

осы шаманың көтеріңкі мағыналары алынады. 

144       I БӨЛІМ. Статистиканың жалпы теориясы

8.2.

Іріктеме жиынтықтарды 

қалыптастыру тəсілдері

Аудандастырылмаған жəне аудандастырылған іріктеу. Бас жиын-

тықтың  бірліктерінен  кездейсоқ  қатаң  іріктеуде  аудандастырыл маған 

жəне қайталама іріктеу, яғни бөліктерге бөлінбеген бүкіл бас жиын тық тан 

іріктеу  жүргізіледі  жəне  мұның  өзінде  бас  жиынтықтың  саны  əр  уақытта 

өзгермейді.  Алайда  іріктеме  жиынтықтарды  қалыптастыру  прак тикасы 

кездейсоқ іріктеу принципін қолдануға белгіленген жақсарту енгізеді жə-

не осы жақсартулар іріктеменің репрезентативтілігін (көрнекілігін) артты-

рады, сондай-ақ ішінара саны өзгермесе де оның қателігін кемітеді. 

Бірінші  жақсарту  жоғарыда  көргендей  аз  қатеге  жол  беретін 

қайталанбайтын іріктеменің қолданылуымен байланысты. 

Екінші жақсарту аудандастырылған іріктеудің қолданылуымен бай-

ланысты.  Бұл  жағдайда  бірліктер  іріктеме  жиынтыққа  бас  жиынтық 

алдын  ала  бөлінетін  оның  жекелеген  бөліктерінен  (топтарынан) 

ірік теледі. 

Егер жиынтық зерттелетін көрсеткіштердің вариациясына ықпал ететін 

белгілер  (типтер  болады)  бойынша  бөлінсе,  онда  осы  іріктеу  кəдімгі  деп 

аталады. Іріктеу кəдімгі болмаса да, ол іріктеме жиынтықтарды қалыптас-

тыруды  жеңілдетеді  жəне  оның  ұйымдастыру  жағынан  ар тық шылықтары 

болады. Сонымен бірге іріктеме жиынтықтың барлық бөлік терінің бір кел-

кі көрінуін қамтамасыз етеді, осының нəтижесінде іріктеменің көрнекілігі 

артады. Ал кəдімгі іріктеу зерттелетін белгілердің вариа ция сын кеміте оты-

рып іші на ра қатесін төмендетеді. 

Шын-кездейсоқ  іріктеу.  Шын-кездейсоқ  іріктеу  лотереяда  немесе 

жеребе тартумен жүзеге асырылады, ал мұның өзі бүкіл жиынтықтың кез 

келген бірлігін іріктеудің мүлдем тең мүмкіндігін қамтамасыз етеді. Жеңіс 

тиражында қайталанбайтын шын-кездейсоқ іріктеу қолданылады. 

Механикалық  іріктеу.  Іс  жүзінде  шын-кездейсоқ  іріктеуді  қолдану 

қиын,  сондықтан  ол  сирек  пайдаланылады.  Əдетте  іріктеме  жиынтықты 

аудандастырылған механикалық іріктеуде қолданылады. 

Механикалық іріктеуде бас жиынтық аралықтарға бөлінеді, содан кей-

ін бірінші аралықтағы бірлікті кездейсоқ таңдалады, ал осыдан кейін бар-

лық қалған аралықтар да соны таңдайды. 

Бас  жиынтықта  бірліктер  біздің  қызықтыратын  белгінің  іс-əрекетіне 

ешқандай  ықпал  етпейтіндей  тəртіппен  орналасады,  сондықтан  механи-

калық іріктеуде кездейсоқ іріктеме принципі қамтамасыз етіледі. 

Механикалық  іріктеуде  іріктеменің  теориялық  орташа  қатесі  келесі 

формула бойынша (ішінара орташа шама үшін) анықталады: 

8-тақырып. Ішінара бақылау        145

μ

х

~

);

1

(

2

N

n

n

i

−

=

σ

);

мұнда: 

i

σ

 – топ ішіндегі дисперсиялардың орташа шамасы. 

Бас  жиынтық  зерттелетін  көрсеткіш  қатысында  қатаң  бейтарап  топ-

тастары  белгісі  бойынша  топтарға  бөлінген  жағдайда,  топ  ішіндегі  орта-

ша дисперсия σ

I 

жалпы σ

2

 дисперсияға тең болады. Сонымен бірге ірікте-

ме жиынтықта əрбір топты тек бір бірлік білдіруіне байланысты σ

i 

-ны іс 

жүзінде есептеуге мүмкіндік жоқ. Сондықтан механикалық іріктеуде өзін дік-

кездейсоқ іріктеуде сияқты ішінара қатесі бар формуласы қолданылады. 

жүктеу/скачать 2,85 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: