Айнымалы таңбалы қатарлар.
Анықтама. (1)-қатарды айнымалы таңбалы қатар деп атайды, егер оның құрамындағы оң және теріс таңбалы мүшелерінің саны ақырсыз болса.
, (2)
(2)-қатарды ауыспалы таңбалы қатар деп атайды. Ауыспалы таңбалы қатарайнымалы таңбалы қатардың дербес жағдайы.
9-теорема (Лейбниц белгісі). (2)-ші қатардың мүшелері келесі шарттарды қанағаттандырсын:
(3)
(4)
Онда (2)-ші қатар жинақты. Оның қосындысы бірінші мүшесінен аспайды, .
30
|
|
2
|
Интегралды есептеңіз:
|
35
|
|
3
|
Айнымалыны алмастыру әдісін қолданып анықталмаған интегралды есептеңіз:
|
35
|
|
|
Барлығы
|
100
|
|
Комиссия мүшелерінің қолдары ______________________________________
Пән: Математика 2
25)Әзірледі: Ескендиров Куаныш Бакитжанович
№
|
Тапсырма / Сұрақ
|
Балл (max)
|
Жинаған балы
|
1
|
Конъюгативті теңдеулерге мысал есептер келтіріңіз.
|
30
|
|
2
|
Интегралды есептеңіз:
|
35
|
|
3
|
Айнымалыны алмастыру әдісін қолданып анықталмаған интегралды есептеңіз:
|
35
|
|
|
Барлығы
|
100
|
|
Комиссия мүшелерінің қолдары ______________________________________
Пән: Математика 2
26)Әзірледі: Ескендиров Куаныш Бакитжанович
№
|
Тапсырма / Сұрақ
|
Балл (max)
|
Жинаған балы
|
1
|
Бағыттар өрісі. Коши есептеріне мысал келтіріңіз.
|
30
|
|
2
|
есептеңіз.
|
35
|
|
3
|
Айнымалыны алмастыру әдісін қолданып анықталмаған интегралды есептеңіз:
|
35
|
|
|
Барлығы
|
100
|
|
Комиссия мүшелерінің қолдары ______________________________________
Пән: Математика 2
27)Әзірледі: Ескендиров Куаныш Бакитжанович
№
|
Тапсырма / Сұрақ
|
Балл (max)
|
Жинаған балы
|
1
|
Анықталған интегралдағы бөліктеп интегралдауды сиппатңыз, мысал келтіріңіз.
|
30
|
|
2
|
есептеңіз.
|
35
|
|
3
|
Айнымалыны алмастыру әдісін қолданып анықталмаған интегралды есептеңіз:
|
35
|
|
|
Барлығы
|
100
|
|
Комиссия мүшелерінің қолдары ______________________________________
Пән: Математика 2
28)Әзірледі: Ескендиров Куаныш Бакитжанович
№
|
Тапсырма / Сұрақ
|
Балл (max)
|
Жинаған балы
|
1
|
Ньютон-Лейбниц формуласын жазып, мысал келтіріңіз.
Лейбниц-Ньютон теоремасы - функцияны өзінің туындысынан алынған интеграл арқылы өрнектейтін формула. Егер Φ(x) функциясының Φ'(x)=f(x) туындысы абсолют үзіліссіз болса, онда
Ньютон-Лейбниц формуласы
Үзіліссіз функцияның анықталған интегралын есептеудің қарапайым және ыңғайлы әдісі ол Ньютон-Лейбниц формуласы:
Бұл әдіс интеграл астындағы функцияның алғашқы функциясы табылғанда қолданылады. Мысалы, .
Анықталған интегралды есептегенде айнымалыны ауыстыру әдісі және бөліктеп интегралдау әдістері кеңінен қолданылады.
Айнымалыны ауыстыру арқылы интегралдау
Үзіліссіз функцияның интегралын есептеу үшін ауыстыру жасалсын дейік.
Теорема 1. 1) функциясы және оның туындысы үшін үзіліссіз болсын;
2) функцияның мәндерінің жиыны үшін кесіндісі болсын;
3) және болса, онда
функциясы функциясының кесіндісіндегі алғашқы функциясы болсын. Онда Ньютон-Лейбниц формуласы бойынша . , онда функциясы функциясы үшін алғашқы функция болады. Сондықтан Ньютон-Лейбниц формуласы бойынша
(5.2) формуласы анықталған интегралда айнымалыны ауыстыру формуласы деп атайды.
Ескертулер:
1) Анықталған интегралда айнымалын ауыстыру әдісін қолданып есептегенде ескі айнымалыға қайтадан келтірілмейді;
2) ауыстыруының орнына ауыстыруы жиі қолданамыз;
3) Айнымалыны ауыстырғанда интегралдың шектері де ауысатынын ұмытпау керек.
|
30
|
|
2
|
Анықталмаған интегралды шығар.
|
35
|
|
3
|
Айнымалыны алмастыру әдісін қолданып анықталмаған интегралды есептеңіз:
|
35
|
|
|
Барлығы
|
100
|
|
Комиссия мүшелерінің қолдары ______________________________________
Пән: Математика 2
29)Әзірледі: Ескендиров Куаныш Бакитжанович
№
|
Тапсырма / Сұрақ
|
Балл (max)
|
Жинаған балы
|
1
|
Рационал бөлшектерді интегралдау әдістерін көрсетіп, мысал келтіріңіз.
Қарапайым бөлшектерді интегралдау.Келесі берілген төрт бөлшек қарапайым бөлшектер деп аталады:
1)
шешімі:
2)
Шешімі
3)
Шешімі
4)
Шешымы
мунда
ал тең болады, мұндағы
|
30
|
|
2
|
есептеңіз.
|
35
|
|
3
|
Айнымалыны алмастыру әдісін қолданып анықталмаған интегралды есептеңіз:
|
35
|
|
|
Барлығы
|
100
|
|
Комиссия мүшелерінің қолдары ______________________________________
Пән: Математика 2
30)Әзірледі: Ескендиров Куаныш Бакитжанович
№
|
Тапсырма / Сұрақ
|
Балл (max)
|
Жинаған балы
|
1
|
Анықталмаған интегралдың негізгі қасиеттерін көрсет.
Дифференциалдық есептеулерде берілген функциясының туындысын табу есебі шешіледі (немесе дифференциал). Ал интегралдық есептеулерде туындысы белгілі болғанда, оның алғашқы функциясын табу кері есебі шешіледі. Іздеп отырған функциясын функциясының алғашқы функциясы деп атайды.
Егер бір аралығының әрбір нүктесінде функциясы үшін
теңдігі орындалса, онда функциясы осы аралықтың үшін алғашқы функциясы деп аталады.
Теорема 1. Егер функциясы аралығында үшін алғашқы функция болса, онда функциясы үшін алғашқы функциялар жиыны +C формуласымен беріледі, мұндағы тұрақты сан. функциясының барлық алғашқы функцияларының жиынын функциясының анықталмаған интегралы деп атап, –символымен белгілейді. Соныменен анықтама бойынша
функциясы функциясы үшін алғашқы функция. Демек, .
функциясы F(x)- тан басқа функциясының алғашқы болсын, яғни онда кез-келген үшін
Бұл екенін білдіреді. Мұндағы С-тұрақты сан, сондықтан . Теорема дәлелденді.
Мұндағы -интеграл астындағы функция, -интеграл астындағы өрнек, интегралдау айнымалысы, интеграл белгісі деп атайды. Функцияның анықталмаған интегралын табу операциясын интегралдау деп атайды. Геометриялық тұрғыда анықталмаған интегралдар параллель қисықтар жиынын бейнелейді. Әрбір алғашқы фукцияның графигі интегралдық қисық деп аталады.
|
30
|
|
2
|
Есепте:
|
35
|
|
3
|
Айнымалыны алмастыру әдісін қолданып анықталмаған интегралды есептеңіз:
|
35
|
|
|
Барлығы
|
100
|
|
Комиссия мүшелерінің қолдары ______________________________________
Достарыңызбен бөлісу: |
