Еругиннің келтірімділік критерийі. (4) сызықты біртекті дифференциалдық теңдеулер жүйесі келтірімді болады, сонда тек сонда ғана, егер (4) жүйенің
(12)
болатындай фундаменталды матрицасы бар болса, мұндағы - Ляпунов матрицасы, - тұрақты матрица.
Дәлелдеуі.Қажеттілігі. (4) жүйе келтірімді, сондықтан да (4)-ті стациионар жүйесіне келтіретін Ляпунов түрлендіруі бар болады. Y бұл жүйенің фундаменталды матрицасы болғандықтан, онда (4) жүйенің (12) түрінде берілген фундаменталды матрицасы бар болады.
Жеткіліктілігі. (12) қатыстан мынаны аламыз:
.
(4) теңдеуіне
(13)
ауыстыруын жасап, мынаны аламыз:
Осылайша (13) Ляпунов түрлендіруі (4) жүйені стациионар жүйесіне келтіреді, демек (14) жүйе келтірімді.
1-лемма. Ляпунов түрлендіруі (4) жүйенің сәйкес шешімінің Ляпунов (сипаттауыш) көрсеткішін өзгертпейді.
Дәлелдеуі. Ляпунов матрицасының шенелгендігінен
, мұндағы . Осылайша, матрицасының шенелгендігінен
болатындығын аламыз. Бұдан .
1-леммадан, егер (4) жүйе (11) жүйеге келтірімді болса, онда (4) жүйенің шешімінің сипаттауыш көрсеткіші (11) жүйенің сәйкес шешімінің сипаттауыш көрсеткішімен сәйкес келеді.
матрицасының меншікті мәндерін деп белгілейік.
2-лемма. Келтірімді жүйенің шешімінің сипаттауыш көрсеткіші
артпайды.
Дәлелдеуі. Бізге (11) стационар жүйесінің сипаттауыш көрсеткіші -дан артпайтындығын дәлелдесек жеткілікті. (11) жүйенің кез келген нөлдік емес шешімін төмендегідей түрде келтіруге болады:
