Пәннің ОҚУ-Әдістемелік кешені «Орнықтылық теориясы»
жүктеу/скачать 0,55 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 8 Функцияның сипаттамалық көрсеткіші.
| Четаев теоремасы. Айталық жүйе үшін үзіліссіз дифференциалданатын функциясы бар болсын. Оның оң мәндер қабылдайтын облысы
-ның әрбір аралығында жататын мәнінде шешіміне түйісетін (шексіз ұмтылатын) бос емес ашық қимаға ие болсын, әрі облысының цилиндрінің ішінде орналасқан -өсін қоса санағандағы шекараларында теңдігі орындалсын. Онда егер функциясы облысында шенелген болса; жүйеге сүйеніп алынған туындысы оң болса; әрбір ішкі облысында теңсіздігі орындалатын болса жүйенің нөлдік шешімі орнықсыз болады. Дәлелдеуі. Айталық кез келген, ал қандай да бір алдын ала берілген сандар болсын. Онда нүктесі қимасы үшін шекаралық нүкте болғандықтан, теореманың шарты бойынша гипержазықтығында теңсіздігін қанағаттандыратын нүкте табылады, әрі 29 Бастапқы шартын қанағаттандыратын шешімінің траекториясы кезде ашық шарынан шығып кететін (яғни ) көрсетейік. 16-сызба Кері жорып, делік. Онда 2) шарттың негізінде болған кезде Бұдан болған кезде теңсіздігі алынады. Шешімі облысынан оның ішкі шекарасы арқылы сыртқа шыға алмайды. Шынында шешімі бірінші рет нүктесінде -ның ішікі шекарасына шыққан екен деп есептейік. онда болғанда шекке көшіп теңсіздігін алар едік. Бұл мүмкін емес, ішкі шекарада . Сонымен шешімі облысының ішкі не сыртқы шекарасына жақындай алмағандықтан толығынан оның ішінде орналасады, яғни бір оның ішкі бөлігі де жатады. Онда 3) шартқа сүйеніп аламыз. Мұны -ден -ға дейін интегралдау арқылы теңсіздігін аламыз. Бұл функциясының облысында шенелгендігіне қашы. Сондықтан жору дұрыс емес, кейбір және кез келген үшін нүктесінің аймағында басталатын, кейіннен кезде шарынан шығып кететін жүйенің шешімі бар. Олай болса жүйенің нөлдік шешімі орнықсыз. Четаевтың теоремасы Ляпуновтың орнықсыздық туралы теоремаларынан кең болғандықтан, олар Четаевтың теоремасынан салдар есебінде алынады. Яғни Ляпуновтың теоремаларының шарттары орындалғанда Четаев теоремасының шарттары орындалады. Мысалы Ляпуновтың үшінші теоремасындағы функциясы өзі ақырсыз аз жоғарғы шегі бар, ал туындысы облысында анықталған таңбалы функция болғандықтан, Четаев теоремасының шарттарын қанағаттандырады. Ал Ляпуновтың қосымша теоремасындағы болса, облысында анықталған таңбалы болады. Егер де болса, онда әрбір не облыстарының әрқайсысында анықталған таңбалы болады. Бұл жағдайларда да Четаев теоремасының шарттары орындалады. №8 Функцияның сипаттамалық көрсеткіші. жолақта үздіксіз өлшемді вектор-функциясын қарастырайық. Анықтама. вектор-функцияның сипаттамалық көрсеткіші деп шаманы айтады. Бұл ақырлы сипаттамалық көрсеткіштің анықтамасы, біздің қарастыратын вектор-функциялар сондай көрсеткіштерге ие болады. теңдіктің орындалуы (1) теңсіздігімен (2) теңдігінің кез келген оң саны үшін бір мезгілде орындалуымен пара-пар. Сипаттамалық көрсеткіштің қасиеттері: а) монотондылық қасиеті: егер жеткілікті үлкен мәндері үшін болса, онда болса, онда б) егер болса, онда (Жоғарғы шектің қасиеті бойынша ) Егер сызықтық жүйенің шешімі болса, онда да шешім және олардың сипаттамалық көрсеткіштері беттеседі. ) (1) монотондылық қасиеті және оң санының кез келген екенін ескеріп, дәлелдеу керек теңсіздікті аламыз. ) егер болса делік. Кері жориық болсын. Онда . Қайшылық жоруымыз қате екенін көрсетеді. д) сипаттамалық көрсеткіштері әр түрлі вектор-функциялар сызықтық тәуелсіз болады. Кері жориық. Нөлден өзгеше тұрақты коэффициенттері (-тің сипаттамалық көрсеткіші комбинацияға енетін барлық функциялардың сипаттамалық көрсеткіштерінен үлкен), бар сызықтық комбинация бар болсын. Онда қайшылық жорудың қате екенін көрсетеді. е) Вектор функциялардың скаляр көбейтіндісінің сипаттамалық көрсеткіші олардың сипаттамалық көрсеткіштерінің қосындысынан артпайды. ж) Ляпунов интегралының сипаттамалық көрсеткіші. , яғни интегралдың сипаттамалық көрсеткіші интеграл астындағы функцияның көрсеткішінен артпайды. (1)-ден Монотондылық қасиет негізінде және кез келген сан екенін ескеріп дәлелдеу керек теңсіздікті аламыз. №9 дәріс жүктеу/скачать 0,55 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|