Келтірімді жүйелердің асимптотикалық орнықтылығы жайлы критерий. Келтірімді сызықты дифференциалдық теңдеулер жүйесі асимптотикалық орнықты болады, сонда тек сонда ғана, егер оның шешімінің сипаттауыш көрсеткіші теріс болса.
Дәлелдеуі. Қажеттілігі. Егер (4) сызықты келтірімді жүйе асимптотикалық орнықты болса, онда оның барлық шешімі кезде нөлге ұмтылады, сондықтан да (11) стационар жүйенің де барлық шешімі кезде нөлге ұмтылады. Бұдан (11) жүйе асимптотикалық орнықты, ал бұл матрицасының барлық меншікті мәндерінің нақты бөлігі теріс болуымен пара-пар. Осылайша, , бұдан 2-лемманың негізінде (4) жүйенің шешімдерінің сипаттауыш көрсеткіштері теріс болады.
Жеткіліктілігі. Айталық, - (4) жүйенің кез келген нөлдік емес шешімі болсын, оның сипаттауыш көрсеткіші λ тең болсын. Шарт бойынша . Айталық, болатындай жеткілікті аз болсын. Сипаттауыш көрсеткіштің анықтамасынан
болатындай жеткілікті үлкен бар болатындығы шығады.
Бұдан кезде . Демек, (4) жүйенің барлық шешімі кезде нөлге ұмтылады, ал бұл (4) жүйенің асимптотикалық орнықтылығын дәлелдейді.
№14 дәріс Дұрыс жүйелердің орнықтылығы Айталық, сызықтық дифференциалдық теңдеулердің
(1)
жүйесі спектрге ие болсын. Жүйенің матрицасы және , яғни оның элементтері үзіліссіз және шенелген нақты функциялар.
1-Анықтама.Нақты сызықтық жүйе Ляпунов бойынша дұрыс деп аталады, егер оның сипаттауыш көрсеткіштерінің қосындысы жүйенің матрицасы ізінің орта мәнінің төменгі шегіне тең болатын болса, яғни мына теңдік орындалса
. (2)
1-ескерту.Егер матрицасы комплекс мәнді болса, онда сызықтық жүйенің дұрыстық шарты келесі түрде жазылады
.
1.-лемма. (2) сызықтық жүйе дұрыс болады, сонда тек сонда ғана, егер төмендегі екі шарт орындалса:
1) жүйенің матрицасы ізінің нақты бөлігінің орта мәнінің шегі бар болса
. (3)
2) Ляпунов теңдігі орындалса
(4)
