Тақырып: Физикадағы 2 әдіс. Лиувилл теоремасы. Статистикалық ансамбль, үлестірілу функциясы

Көп бөлшектерден құралатын заттардың қасиеттерін зерттеуеге механикалық көзқарас пайдаланды. 18 ғасырда механика ғылыми түрінде ең жоғары деңгейіне жетті. Жалпы, барлық табиғатта өтетін құбылыстарды, бір біріне себепті салдары байланыс арқылы қарастырылды. Ондай көзқарас механикалық детерменизм деп аталды. Механикалық детерменизм бойынша барлық табиғатта өтетін құбылыстар бір- біріне себепті салдар боп саналды. Барлық Ньтонның механикасы механикалық детерменизм тұжырымынан құралада. Табиғатта кездесетін құбылыстардың себепті пікірліктен шыққан қатаң бірізділігі олардың әрқашан міндетті орындалатынын тағдырын белгілейді. Бұл жағдайларда кездейсоқ құбылыстар кездеспейтін боп саналады.Механикалық детерменизмның философтарына құбылыс әрқашанда салдар мен себептің қосындысы боп саналады. Әрине механикалаық детерменизм принципы біріншіден физикалық жүйенің күйін зерртеуге пайдаланды. Егер макроскопиялық көзқарасты алсақ, онда бір белгіленген физикалық жүйенің күйі анықталған болып шығда, егер сол жүйені құрайтын бөлшектердің мекен жайлары мен және олардың қозғалыстары белгілі болса, механикалық заңдары арқылы бөлшектердің, яғни физикалық жүйенің, болашақ жағдайларын анықтауға болады.

Онда детерменизм принцип бойынша физикалық жүйенің қазырғы қүйін біле тұрып, физикалық жүйенің күйлерінің уақыт бойынша өзгерісін анықтауға болады. Осы келтірілген детермениз принципы физикалық жүйенің күйін зерттеуге пайдаланатын нақты механикалық әдіс бөп саналады. Көп болшектерден құралатын физикалық жүйенің күйін механикалық қөзқарас арқылы шешілмейтін тұжырым мұндай қойылған мақсатты басқаша қарастыруға жол салады. Ондай, басқаша көзқарас ─ статистикалық тәсілі деп аталады. Осы жаңа белгіленген статистикалық тәсіл біріншіден көп бөлшектерден құралатын физикалық жүйенің өзінің меншікті статистикалық қасиеттері мен байланысты деп білу керек.

Сондықтан, физикалық көп бөлшектерден құралатын жүйлердің өзгешілік қаситеттерін анықтауға жәңа тәсілдерді қолдану керек. Ендігі қойылытын мақсат статистикалық тәсілдерді көп бөлщектерден құралатын физикалық жүйелердің қасиеттерін және оларда өтетін құбылыстарды зерттеуге пайдалану.

Мехниқалық заңдары бойынша кез келген жүйелердің физикалық қасиеттерін микроскопиялық түрінде анықтау үшін өте көп параметрлерінің мәндері белгілі болу керек екенін мен таныстық. Бірақ термодинамикалық тұжырымдыры бойынша физикалық жүйелердің(мыслы газдарды, сұйқтарды немесе сәулелену құбылыстары және т.б.) қасиеттерін макроскопиялық зерттеуге шектелген параметрлердің мәндерін білу керек. Егер белгіленген физикалық жүйе тепе-теңдік күйін сақтаса, онда олардың қасиеттерерін зерттеуге көбірек оңайлыққа түседі деп санауға болады. Мұндай жағдайда термодинамикалық жүйелердің физикалық жағдайлары қарапайымдай болады да, соны мен қоса оларға сәкес жүйенің параметрлері уақытқа тәуелді болмайды. Расында, егер бір моль газ тепе теңдік күйде болса, онда оның көлемі V, қысымы P және температурасы T оның толық күйін белегілейді. Егер белегіленген физикалық жүйе бұдан да бір аз күрделі болса да бәрі бір оның тепе-теңдік күйінде касиеттерін анықтауға онша көп парметрлердің мәндерін табуға қажетті емес.Көбінесе физикалық жүйелердің қаситтерін зерттегенде олардың макропара-метрлерінің мәндері өзгерілмейді деп саналады, яғни олар өздерінің тепе-теңдік күйін сақтайды. Мұндай жағдайда жүйенің қысымы, көлемі және температрурасы тұрақты болады да, ол термостатта орналсқан боп саналады

Тұрақты температурада және қысымда орналасқан газдың кез-келген тепе-теңдік күйіне өте көп молекулалрдың қозғалысы және мекен жайы сәйкес келеді. Расында, газ өз тепе-теңдік жағдайын сақтасада молекулалары тоқтамайтын хаотикалық, жылыулық (броундық) қозғалысқа қатынасып жатады. Өзара газ молекулалары бір-бірімен әрқашанда кинетикалық энергия, импульстер мен алмасып жатады. Сондықтан, физикалық жүйенің бір күйіне макроскопиялық көзқарасында өте көп (мыңдаған) микроскопиялық күйлері сәйкес келеді. Яғни микроскопиялық күйлері тоқтамайтын өзгерісте болады да, ал термодинамикалық жүйенің макроскопиялық күйі тұрақты боп саналады.

Басқаша, тепе-теңдік физикалық күйін сақтайтын термодинамикалық жүйенің макроскопиялық параметрлері микроскопиялық параметрлерінің функциясы боп саналады. Мысалы, газдың қысымы макроскопиялық параметр түрінде молекулалрдың құйылған ыдыстың қабырғасына микроскпиялық соқтығыстарының қосындысына тәуелді (микроскопиялық параметрлеріне).

Осыдан статистикалық ансамбль дегеніміз бір-біріне тең емес күйлерде орналасқан көп нақты жүйелердің қосындысы деп атауға болады.

Олар жүйенің бір күйіне сәйкес боп саналады. Бірақ бір-біріне тең емес жүйенің макрокүйлерінің сандары бір біріне тең емес микрокүйлер арқылы анықталады. Сонда қандай макрокүйлерге сәкес келетін микрокүйлердің саны жоғары болса, соншама сол микрокүйдің жағдайы орнықты болады. Осы белгіленген түсініктілер арқылы жүйенің термодинамикалық ықтималдығы деген ұғымы еңгізіледі.

Кез-келген жүйенің күйінің термодинамикалық ықтималдығы дегеніміз сол жүйенің күйіне сәйкес келетін микроскопиялық күйлерінің саны боп саналады. Сондықтан жүйенің термодинамикалық ықтималдығы дегеніміз сол жүйенің күйін белгілейтін микроскопиялық күйлерінің саны арқылы анықталатын болады. Осы анықтамадан жүйенің термодинамикалық ықтималдығының мәні әрқашанда бірден көп деп белгілеуге болады.

Белгіленген термодинамикалық ықтималдық ұғымы және математикалық статистиқалық заңдары көп бөлшектерден құралатын жүйелердің қасиеттерін зерттеуге статистиқалық физикада пайдаланады.

Ендігі қойылытан мақсат өткенде ең біріңші американ физигі Дж. Гиббс орнаған статистиқалық физиканың жалпы әдісіменен танысамыз.

Статистикалық физикада фазалық кеңістіктің екі түрін қарастырады. Бірінші –кеңістік және екіншісі Γ – кеңістік. –кеңістік ол бір бөлшекке қатанасты фазалық қеңістік боп саналады. Бір бөлшектің еркін дәреже саны 3 тең болса, онда фазалық μ-кеңістікке 6 өлшемді кеңістік сәйкес келеді (3 жалпылыған координаталарды және 3 жалпыланған импульстерді есептегенде). Екіншісі Γ – кеңістік деп аталатын фазалық кеңістіктің, көп болшектерден құралатын физикалық жүйелерге еңгізледі. Осыдан, әрқашанда –кеңістік Γ – кеңістіктіктің бір бөлшекке арналған қарапайым түрі деп санауға болады.

Кез келген физикалық жүйенің микрокүйі(фазасы) ондай 6N көпөлшемді кеңістікте бір нүкте мен бейнеленеді. Онда барлық қеңістіктің көлемін жүйенің микрокүйлері толтырады да сондықтан ол фазалық қеңістік деп аталады. Егер карастырылатын жүйе байланысқан болса немесе бөлшектерінің ішкі еркін дәрежелік саны 3N емес f тең болса, онда жүйенің фазалық кеңістігі 2f -өлшемді болады. Яғни кез-келген термодинамикалық жүйеге меншікті қаситеттеріне сәйкес фазалық кеңістікті белгілеуге болады.

Нақты физикалық жұйе бір белгіленген уақытта бір күйінде болу керек. Ол күйі әрқашанда фазалық кеңістігінде белгілі нүктемен бейленеледі. Бірақ физикалық жүйені құрайтын бөлшектер тоқталмайтын қозғалысқа қатнасады, яғни жүйенің күйі ылғи өзгеріп отырады. Термодинамикалық жүйенің күйінің өзгерісі фазалық кеңістікте кей бір сызық пен белгіленеді ол фазалық траектория деп аталады. Алдында көрсетілген (5.3) 6N теңдеулер фазалық траекторяның параметрлік теңдеулері боп саналады.

Енді физикалық жүйенің фазалық траекториясынң қаситтерін анықтауға болады. Жүйенің кез-келген траекториясы фазалық қеңістікте 6N бастапқы шарттарымен анықталады (бір бастапқы нүкте мен), яғни жүйенің бөлшектерінің берілген бастапқы уақыт t = 0 болғанда 3N жалпыланған координаттардың мәндері мен және 3N жалпыланған импульстердің мәндері мен. Фазалық кеңістікте жүйенің траекториялары тұйық болсада, бір бірі мен ешқашанда қиылыспайды. Басқаша айтқанда фазалық кеңістіктің әр нүктесінен тек қана бір фазалық траектория өтеді. Бұл тұжырым механиқалық жүйеге арналған (5.2) теңдеулердің шешімдері бірдей бастапқы шарттарда бірмәнділік болу тиісті қасиеттерінен алынады.

Егер шектелген термодинамикалық жүйені қарастырсақ, онда оның толық энергиясы тұрақты болу керек, яғни:

(5.4)

Осы алынған өрнек жүйенің барлық параметрлерін бір-бірімен байланыстырады оны басқаша энергияның жүйенің фазалық кеңістегіндегі гипербет теңдеуі боп саналады. Оны жайында фазалық кеністіктегі энергияның беті деп атауға болады. Шектелген жүйенің қандай өзгерістері боласада оның фазалық траекторяисының барлық нүктелері жүйенің энергиясының гипербетінде орналасады. Бірақ жалпы түрінде бір ғана жүйенің өзгерісін зертемейді, соны мен қоса көп жүйелердің (ансамбілдердің) қосындысын қарастыру керек болады. Бұл жағдайларда ондай күрделі жүйе (ансамбль) фазалық көлемінде таралатылған боп саналады. Ондай күрделі фазалық көлем 2fN өлшемді болады. Зерттеуге ыңғайлы болу үшін элементарлық фазалық көлем деген ұғымын пайдаланады. Элементарлық фазалық көлем дегеніміз:

(5.5)

Егер элементарлық фазалық көлемді барлық фазалық кеңістігіндегі қосындысын алсақ, онда шектелген жүйенің толық фазалық көлемі мынандай интегрлаға тең болады:

(5.6)

Мында фазалық кеңістіктің көлемі жалпыланған кооринаталар мен импульстерге тәуелді. Соны мен қоса ол жүйенің толық энергиясына тәуелді боп саналады. Әрине мұндай тұжырым жүйенің энегргиясының жалпыланған импульстерге және координаталарға тәелділіктен алынады. Яғни , сондықтан:

(5.7)

Егер энергияның E, E +dE интервалындағы өзгерісін алсақ, онда сол микроинтервалға сәйкес келетін фазалық кеңістіктіктің элементарлық көлемінің мөлшері тең болады:

(5.8)

Ендігі қойылытын мақсат статистикалық әдісті көп бөлшектерден құралатын термодинамикада танысқан ұғымдар арқылы жүйелердің қасиеттерін зерттеуге пайдалану.

Алдына Гиббс әдісін көп бөлшектерден құрлатын термодинамикалық жұйелердің қасиеттерін анықтауға пайдаланады деп белгіледік.

Біріншіден, физикалық жүйенің күйін фазалық қеңістік арқылы қарастырылса онда барлық жүйенің микрокүйлерінің геометриялық көрінісі қосындысы жүйенің толық макрокүйін белгілейді. Соны мен қоса көп фазалық нүктелердің қосындысын бір термодинамиқалық күйде орналасқан көп нақты жүйелердің қосындысы деп санауға болады. Онда көп физикалық жүйелердің, бір белгілеген күйіне сәйкес жиынтығын, статистикалық немесе фазалық ансамбль деп аталады. Яғни бір белгіленген фазалық ансамбльге жүйенің фазалық кеңістігінде белгіленген фазалаық нүктелердің тобы сәйкес келу керек. Егер, кез-келген фазалық кеңістігінің нүктесіне (жүйенің микрокүйіне) ықтималдық үлестірім функциясы арқылы сәйкес келетін ықтималдықты тағайындасақ, онда фазалық ансамбль ұғымы (елесі) арқылы термодинамикалық жүйенің күйінің термодинамикалық ықтымалдығын анықтауға болады. Басқаша айтқанда физикалық жүйенің фазалық кеңістігі және фазалық ансамбль ұғымдары математикалық ститстикалық заңдарын пайдалануға жол салады.

Стаистикалық ансамбльді құрайтын жұйелер кез-келегн түрінде фазалық кеңістігінде таралуы мүмкін. Жалпы тұрінде ол өзіне сәйкес фазалық кеңістігін көлем бойынша орналасады. Онда бір белгіленген элементарлық фазалық көлемінде орналасқан стаистикалық жүйенің саны dN сол көлемнің мәніне тура пропорционал болады:

(5.11)

(5.12)

Мындағы үлестірім тығыздық функциясы бірлік элементар-лық фазалық көлемінде орналасақан жүйелердің санын анықтайды.

Ал енді кез-келген жүйенің элементарлық фазалық көлеміне орналасуының ықтималдығын алсақ, онда

(5.12)

Осында дегеніміз ықтималдықтың тығыздық функциясы. Егер нормалау шартын пайдалансақ, онда:

(5.13)

Енді мынандай тұжырым бекітуге болады. Кез келген фазалық ансабільдің әр нүктесіне (күйіне) үлестірім функциясы тәуелді болады деп белгілінеді (немесе ықтималдық). Осыдан термодинамикалық жүйенің күйін ықтималдық пен және үлестірім функциясының тығыздығы мен сипаттауға болады.Яғни термодинами-калық жүйені фазалық қеңістігінде бір анықталмайтын нүктемен сиппаталмайды, соны мен қоса оның күйін белгілейтін ықтималдық және үлестірім функцияся тағайындалды.

= (5.14)

Әрі қарай жалғастыру үшін, біз Эйлердің гидрдинамикадағы сұйықтардың ағынына арналған үздіксіз теңдеуімен танысуымыз керек. Ол үшін сұйықтың ағысында қабырғалары тең паралелипипед белгілейік. (Сурет 18)

Аққан сұйық координаталар бағыты мен ағынынң X,Y,Z осьтеріне u,v,w сәйкес жылдамдықтарының проекциялары мен құйылады да, сол бағыт пен белгіленген паралелипипед көлемінен шығады деп санайық. Онда Х осі бағытымен dt уақытында құйылатын сұйықтың мөлшері тең болады:

,

Мында – сұйықтың тығыздығы, ол сұйықтың ағынының жылдамдығының Х осінің проекциясына, координаталарға және уаықытқа тәуелді. Белгіленген паралелипипед көлемінен Х осі бойынша екінші қырынан ағылғын сұйықтың мөлшері тең болады:

Мында Х осі бағыты бойыншы сұйықтың тығыздығы және жылдамдығы u өзгеріп отырады. Осыдан Х осі бағыты бойынша пайда болатын сұйықтың артығы тең:

Осы алынған сұйықтың ағысының айырмасы сол белгілінген көлемдегі сұйықтың мәнінің dt уақытындағы өсімшесіне тең:

Осы алынған өрнек гидродинамикадағы Эйлердің үздіксіз теңдеуі деп аталады.

Оны жүйелердің фазалық кеңістігіндегі қозғалысын қарастыруға пайдалануға болады. Ол үшін стаистикалық ансамбльдың Γ – кеңістігінде fN – өлшемді жылдамдықтың векторын белгілеу кререк. Оның проекцияляры тең болады. Статистикалық анасамбльдың бір еркін дәрежесіне проекциялардың мәндері сәйкес келеді деп, Эйлердің үздіксіз теңдеуін пайдалануға болады онда :

= 0 (5.18)

Ақырғы өрнектегі бірінші және екінші косындылар функцияның толық туындысы боп табылады. Оны былай белгілеп жазуға болады:

Cондықтан (5.19) былай алуға болады:

Қарастырылған жүйе шектелген болса, онда (5.21) екінші қосындысы нольге тең болады. Расында шектелген жүйелердің жалпыланған координаталары мен импульстері әрқашанда Гамильтон теңдеуіне бағыныды. Яғни жалпыланған координаталардың бір :еркін дәреже санына арналған проекцияларын алсақ, онда:

Егер (5.22) жалпыланған координаталр бойынша меншік туынды алсақ, онда:

Осыдан (5.21) екінші қосындысы нольге тең болады, яғни:

= 0 (5.24)

Сондықтан (5.21) өрнек мынандай түріне келеді:

= 0 (5.25)
Осы өрнектен қарастырылып отырған статистикалық ансамбльге қатнасты екі өте маңызды екі тұжырым белгілей аламыз.

Біріншіден, (5.23) өрнек гидродинамикада белгілі сұйықтың қысылмайтын шартына сәйкес келеді. Ол:

(5.26)

Эйлер теңдеуінен аланады, егер сұйықтың тығыздығы тұрақты болады деп саналса және сұйықтың тығыздығы координаталрға тәуелді болмау керек. Яғни (5.18) болу керек. Сондықтан жоғарғы көрсетілгеннен мынандай шешім тағайындалады: фазалық кеңістіктегі Гамильтон теңдеуіне бағынытын фазалық нүктелердің немесе жүйелердің жиынтығы фазалық кеңістікте қысылмайтын сұйық боп саналады.

Екіншіден (5.25) өрнек фазалық кеңістіктегі өзгерістегі статистикалық ансамбльге қатнасты функциясы тұрақты боп дәлелденді. Сондықтан белгіленген шешімдерге қатнасты:

(5.26)

Яғни одан:

= (5.27)

Осы алынған ақырғы тұжырымды элентарлық фазалық көлемінің сақталу шарты деп белгілеуге болады. ( Дж. Гиббс бойынша)

Статистикалық ансамбльдың күйі фазалық кеңістігінде қарастырылса онда оның элементарлық фазалық көлемі әрқашан тұрақты болады, бірақ оның түрі өзгеру мүмкін. Бұл белгілінген шарт Лиувилл теоремасы деп аталады. Бұл тұжырым статистикалық механианың ең маңызды нәтижесі деп саналады.

Ақыры Лиувилл теоремасы тағы бір үлкен маңызды тұжырым алынады. Оны анықтау үшін функцияның дербес туындысының нольге теңдігін міндетті түрде белгілейік:

(5.28)

Онда (5.25) теңдеуінен:

(5.29)

Осы алынған теңдік статистикалық ансамбльдың фазалық нүктелерінің кеңістіктегі қозғалысын стационарлық түріне сәйкес деп белгілейді. Соны мен қоса үлестірім тығыздық функциясы фазалық кеңістігінде өзгермейтін болады. Яғни статистикалық ансамбльдың фазалық фазалық нүктелерінің стационарлық қозғалысында үлестірім тығыздық функцияның мәні фазалық кеңістігінің көлемінде тұрақты боп табылады. Басқаша: статистикалық ансамбль өзінің термодинамикалық тепе-теңдік күйін сақтайды. Онда (5.28) шарт статистикалық жүйенің термодинамикалық тепе-теңдік күйін сақталатынын белгілейтін ең жалпы шарт боп табылды. Яғни термодинамкалық жүйе немесе статистикалық ансамбль өзінің тепе-теңдік күйін сақтаса, онда үлестірім тығыздық функциясы уақытқа тәелді емес текқана жалпылынған координаталар мен импульстерге тәуелді болады:

Егер термодинамикалық жүйе өзінің тепе-теңдік күйін сақтаса, онда сол жүйені сипаттайтын шамалардың мәндері тұрақты деп саналатын. Бірақ кез келген термодинамикалық жүйе өзінің тепе-теңдік күйін мүлде өзгерілмейтін, тұрақты түрінде сақтай алмайды. Термодинамикалық жүйенің тұрақты күйінен әрқашанда ауытқуы байкалады. Ондай термодинамикалық жүйелердің өзінің тепе-теңдік күйінін ауытқу-лары флуктуация құбылысы деп аталады. Ондай құбылыстар көптеген тәжірибе арқы-лы анықталған. Мысалы, газдардағы, сұйықтардағы және қатты денелердегі тығыздарының жергілікті өзгерістері жарықтың молекулырлық шашырауына себеп болады. Жарықтың өте үлке шашылуы сұйықтардың сындық нүктесінде байқалады.Бұл құбылыс сындық опалисценция деп аталады. Сындық опалисценция және соны мен қоса барлық флуктуация құбылыстары (ток тізбегіндегі э.қ.к. өзбеті мен өзгерістірі, броундық қозғалыс және т.б.) өте көп мезгіл түсініксіз деп саналған. Флуктауция құбылыстарын толық теоретикалық зерттеуін тек қана статистикалық қөзқарасы мүмкіншшілік берді.

Флуктуация құбылысыпайда болуы және оны сипаттайтын физикалық шамалардың орташа мәндерінен ауытқуы пайда болуының ықтималдығы көрсетіп табу флуктуация теориясының негізгі мақсаты боп табылады.

1. 
   - физикалық шаманың лездік мәні
   
2. 
   - физикалық шаманың орташа мәні
   
3. 
   - физикалық шаманың орташа мәнінен ауытқуы, соны мен қоса
   
4. 
   - физикалық шаманың орташа мәнінен квадраттық ауыткуы
   

5. 
   - физикалық шаманың орташа мәнінен квадраттық ауытқұының орташа мәні
   
6. 
   - физикалық шаманың орташа мәнінен ауыткуының орташа квадраттық
   

Флуктуация құбылысын сипаттау үшін көбінесе орташа квадраттық ауыткудың абсолюттік мәнін пайдаланады.Оны физиктер «флуктуация» деп атайды. Ол қарапайым түрінде тең болды:

(9.3)

Соны мен қоса физикада флуктуация құбылыстарын сипаттайтын «қатнасты флуктуа-ция» деген физикалық шама еңгізілген:

(9.4)