Пікір берушілер
жүктеу/скачать 5,73 Mb.
|
Матанализдің кейбір есептерін теңсіздіктерді пайдаланып шешу
| Қатаң емес теңсіздіктер.
Енді қатаң емес (22) , (23) теңсіздіктерін шешуге көшейік. Егер қайсыбір саны (22) теңсіздігінің шешімі болса, онда сандық теңсіздігінің дұрыс болғаны. Онда қатаң емес теңсіздіктің анықтамасы бойынша не сандық теңдігі, не сандық теңсіздігі орынды. Басқа сөзбен айтқанда, егер саны (22) теңсіздігінің шешімі болса, онда ол не теңдеуінің, не теңсіздігінің шешімі болады. Осындай талқылауды теңсіздігінің кез келген шешімі үшін де жүргізуге болады. Сондай – ақ, теңсіздігінің кез келген шешімі (22) теңсіздігінің шешімі екенін көрсете аламыз. Сонымен, (22) қатаң емес теңсіздігінің шешімдері жиыны екі жиынның бірігуінен тұрады: қатаң теңсіздігінің барлық шешімдері мен теңдеуінің барлық шешімдерінің жиыны. Сондай – ақ қатаң емес (23) теңсіздігінің барлық шешімдерінің жиыны екі жиынның бірігуінен тұрады: қатаң теңсіздігінің барлық шешімдерінің жиыны мен теңдеуінің барлық шешімдерінің жиыны. Қатаң емес теңсіздіктерді шешу ережесі осыған негізделген. Әуелі сәйкес қатаң теңсіздікті және сәйкес теңдеуді шешеді, содан кейін қатаң теңсіздік пен теңдеудің шешімдері жиындарын біріктіреді. Осы жиындардың бірігуі қатаң емес теңсіздіктің барлық шешімдерінің жиыны болып табылады. Мысал. (24) бірінші дәрежелі қатаң емес теңсіздігін шешу керек. Алдымен, (25) теңдеуін шешеміз. Оның жалғыз шешімі саны болады. Содан кейін (26) теңсіздігін шешеміз. Болғанда оның барлық шешімдерінің жиыны жиыны, болғанда оның барлық шешімдерінің жиыны жиыны болады. (25) теңдеуі мен (26) теңсіздігінің шешімдерін біріктіріп, болғанда (24) теңсіздігінің барлық шешімдерінің жиыны жиыны, болғанда (24) теңсіздігінің барлық шешімдерінің жиыны жиыны екенін аламыз. Барлық теңсіздіктердің қасиеттерін тек сандық теңсіздіктер арқылы көрсетуге болады. Енді сол теңсіздіктердің қасиеттеріне тоқталып өтейік. 1. теңсіздігінен теңсіздігі шығады. Демек, теңсіздіктердің бөліктерін ауыстырғанда теңсіздік таңбасы да ауысады. Бұл қорытынды тікелей теңсіздіктердің анықтамасынан шығады. 2. және теңсіздіктерінен теңсіздігі шығады. Берілген шарт бойынша және . Сондықтан, және . Екі теріс санның қосындысы да теріс сан болатындықтан, . Жақшаларын ашсақ, , сонда . Бұл қасиет есептерді шешкенде, теоремаларды дәлелдегенде теңсіздіктерді «күшейту» үшін қолданылады. 3. болса, болады. Шарт бойынша , бұдан . Теңсіздіктің сол бөлігіне санын қосып, сол санды шегеріп тастайық. Сонда . Демек, . Сондықтан теңсіздікті шешкенде, кейде ықшамдау мақсатымен, оның екі бөлігіне де бір сан қосылады немесе екі бөлігінен де бір сан шегеріледі. 4. болса, онда . Теңсіздіктің 3 – ші қасиеті бойынша . Олай болса, . Бұл қасиет бойынша теңсіздіктің мүшелерін қарама – қарсы таңбамен бір бөлігіне екінші бөлігіне көшіруге болады. 5. және болса, онда . Шарт бойынша және . Екі теріс санның қосындысы да теріс сан. . Мұны былай жазуға болады: . Сонда . Бұдан бірдей мағыналы екі теңсіздікті мүшелеп қосу ережесі шығады. Жалпы түрде бірдей мағыналы теңсіздік үшін мынадай қоытынды жасаймыз: , болса, онда . 6. және болса, онда ; ал және болса, . және болғанда екеуінің көбейтіндісі теріс сан: , яғни , бұдан . және болғанда екеуінің көбейтіндісі оң сан болады: , яғни , бұдан . Ал, және болса, , яғни . Бұдан . Демек, екі бөлігінде нөлге көбейткенде теңсіздік теңдікке айналады. 7. және болса, . теңсіздігін алтынша қасиетке сүйеніп деп жазуға болады; ал бесінші қасиет бойынша және теңсіздіктерінен екені шығады. Теңсіздіктерді азайту осы қасиетке негізделген. 8. Бірдей мағыналы, оң сандардан құралған теңсіздіктерді мүшелеп көбейтуге болады. , және сандарының әрқайсысы оң болсын, айырмасын қарастырайық. , сонда және көбейтінділерінің әрқайсысы, одан әрі олардың қосындысы теріс болады. Демек, , бұдан . 9. Оң сандардан құралған теңсіздіктердің екі бөлігінде бірдей бүтін оң дәрежеге шығаруға болады. болсын. және деп екі қайта жазайық. Сонда сегізінші қасиет бойынша . Мұнда тағы да теңсіздігіне көбейтсек, екені шығады. Сонымен натурал саны үшін теңсіздігін дәлелдеуге болады. Бұл қасиет иррационал теңсіздіктерді түрлендіргенде өте жиі қолданылады. жүктеу/скачать 5,73 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|