Практикум по алгебре

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түрі	Практикум

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 42

Задание 5.

Задание
4.
Доказать
логическую
общезначимость
формулы
.
Запись
формулы
в
виде
ϕ
(
x
)
означает
,
что
x
имеет
свободные
вхождения
в
формулу
ϕ
,
запись
вида
ϕ
означает
,
что
x
не
имеет
свободных
вхождений
в
ϕ
.
1.
((
∀
x
)
ϕ
(
x
)
→
(
∃
x
)
ψ
(
x
))
→
(
∃
x
)(
ϕ
(
x
)
→ψ
(
x
)).
2.
((
∃
x
)
ϕ
(
x
)
→
(
∀
x
)
ψ
(
x
))
→
((
∀
x
)
ϕ
(
x
)
→
(
∃
x
)
ψ
(
x
)).
3.
(
∀
x
)
ϕ
(
x
)
∨
(
∃
x
)
ψ
(
x
)
→
(
∃
x
)(
ϕ
(
x
)
∨ψ
(
x
)).
4.
(
∃
x
)(
ϕ
(
x
)
∨ψ
(
x
))
→
(
∃
x
)
ϕ
(
x
)
∨
(
∃
x
)
ψ
(
x
).
5.
(
∃
x
)(
ϕ
(
x
)
→ψ
(
x
))
→
((
∀
x
)
ϕ
(
x
)
→
(
∃
x
)
ψ
(
x
)).
6.
((
∃
x
)
ϕ
(
x
)
→
(
∃
x
)
ψ
(
x
))
→
(
∃
x
)(
ϕ
(
x
)
→ψ
(
x
)).
7.
(
∀
x
)(
ϕ
(
x
)
↔ψ
(
x
))
→
((
∃
x
)
ϕ
(
x
)
↔
(
∃
x
)
ψ
(
x
)).
8.
(
∀
x
)(
ϕ
(
x
)
↔ψ
(
x
))
→
((
∀
x
)
ϕ
(
x
)
↔
(
∀
x
)
ψ
(
x
)).
9.
(
∀
x
)
ϕ
(
x
)
∨
(
∀
x
)
ψ
(
x
)
→
(
∀
x
)(
ϕ
(
x
)
∨ψ
(
x
)).
10.
(
∀
x
)
ϕ
(
x
)
∨
(
∀
x
)
ψ
(
x
)
→
(
∃
x
)
ϕ
(
x
)
∨
(
∀
x
)
ψ
(
x
).
11.
(
∀
x
)
ϕ
(
x
)
∨
(
∀
x
)
ψ
(
x
)
→
(
∀
x
)
ϕ
(
x
)
∨
(
∃
x
)
ψ
(
x
).
12.
(
∀
x
)
ϕ
(
x
)
∨
(
∀
x
)
ψ
(
x
)
→
(
∃
x
)
ϕ
(
x
)
∨
(
∃
x
)
ψ
(
x
).
13.
(
∀
x
)
ϕ
(
x
)
∨
(
∀
x
)
ψ
(
x
)
→
(
∃
x
)(
ϕ
(
x
)
∨ψ
(
x
)).
14.
(
∀
x
)(
ϕ
(
x
)
∨ψ
(
x
))
→
(
∃
x
)
ϕ
(
x
)
∨
(
∀
x
)
ψ
(
x
).
15.
(
∀
x
)(
ϕ
(
x
)
∨ψ
(
x
))
→
(
∀
x
)
ϕ
(
x
)
∨
(
∃
x
)
ψ
(
x
).
16.
(
∀
x
)(
ϕ
(
x
)
∨ψ
(
x
))
→
(
∃
x
)
ϕ
(
x
)
∨
(
∃
x
)
ψ
(
x
).
17.
(
∃
x
)
ϕ
(
x
)
∨
(
∀
x
)
ψ
(
x
)
→
(
∃
x
)(
ϕ
(
x
)
∨ψ
(
x
)).
18.
(
∀
x
)(
ϕ
(
x
)
→ψ
)
→
(
∃
x
)
ϕ
(
x
)
∨ψ
.
19.
(
∀
x
)(
ϕ
(
x
)
→ψ
)
→
((
∃
x
)
ϕ
(
x
)
→ψ
).
20.
((
∀
x
)
ϕ
(
x
)
→ψ
)
→
(
∃
x
)(
ϕ
(
x
)
→ψ
).
21.
(
∃
x
)(
ϕ∧ψ
(
x
))
→ϕ∧
(
∃
x
)
ψ
(
x
).
22.
(
∀
x
)(
ϕ
(
x
)
∧ψ
(
x
))
→
(
∀
x
)
ϕ
(
x
)
∧
(
∃
x
)
ψ
(
x
).
23.
(
∀
x
)(
ϕ
(
x
)
∧ψ
(
x
))
→
(
∃
x
)
ϕ
(
x
)
∧
(
∀
x
)
ψ
(
x
).
24.
(
∀
x
)
ϕ
(
x
)
∧
(
∀
x
)
ψ
(
x
)
→
(
∀
x
)
ϕ
(
x
)
∧
(
∃
x
)
ψ
(
x
).
25.
(
∃
x
)(
ϕ
(
x
)
∧ψ
(
x
))
→
(
∃
x
)
ϕ
(
x
)
∧
(
∃
x
)
ψ
(
x
).
26.
(
∀
x
)(
ϕ→ψ
(
x
))
→
(
ϕ→
(
∀
x
)
ψ
(
x
)).
27.
(
∀
x
)(
ϕ
(
x
)
→ψ
)
→
((
∃
x
)
ϕ
(
x
)
→ψ
).
28.
(
∃
x
)(
ϕ
(
x
)
→ψ
)
→
((
∀
x
)
ϕ
(
x
)
→ψ
).
29.
((
∀
x
)
ϕ
(
x
)
→ψ
)
→
(
∃
x
)(
ϕ
(
x
)
→ψ
).
30.
ψ∧
(
∃
x
)
ϕ
(
x
)
→
(
∃
x
)(
ψ∧ϕ
(
x
)).

9
Задание
5.
Доказать
,
что
формула
не
является
логически
общезначимой
.
1.
(
∀
x
)(
ϕ
(
x
)
∨ψ
(
x
))
→
(
∀
x
)
ϕ
(
x
)
∨
(
∀
x
)
ψ
(
x
).
2.
((
∀
x
)
ϕ
(
x
)
↔
(
∀
x
)
ψ
(
x
))
→
(
∀
x
)(
ϕ
(
x
)
↔ψ
(
x
)).
3.
(
∃
x
)
ϕ
(
x
)
∧
(
∀
x
)
ψ
(
x
)
→
(
∀
x
)
ϕ
(
x
)
∧
(
∀
x
)
ψ
(
x
).
4.
(
∀
x
)
ϕ
(
x
)
∧
(
∃
x
)
ψ
(
x
)
→
(
∀
x
)
ϕ
(
x
)
∧
(
∀
x
)
ψ
(
x
).
5.
(
∃
x
)(
ϕ
(
x
)
∧ψ
(
x
))
→
(
∀
x
)
ϕ
(
x
)
∧
(
∃
x
)
ψ
(
x
).
6.
(
∃
x
)(
ϕ
(
x
)
∧ψ
(
x
))
→
(
∃
x
)
ϕ
(
x
)
∧
(
∀
x
)
ψ
(
x
).
7.
(
∃
x
)
ϕ
(
x
)
∧
(
∃
x
)
ψ
(
x
)
→
(
∃
x
)(
ϕ
(
x
)
∧ψ
(
x
)).
8.
((
∀
x
)
ϕ
(
x
)
→
(
∃
x
)
ψ
(
x
))
→
((
∀
x
)
ϕ
(
x
)
→
(
∀
x
)
ψ
(
x
)).
9.
((
∀
x
)
ϕ
(
x
)
→
(
∃
x
)
ψ
(
x
))
→
((
∃
x
)
ϕ
(
x
)
→
(
∃
x
)
ψ
(
x
)).
10.
((
∀
x
)
ϕ
(
x
)
→
(
∃
x
)
ψ
(
x
))
→
(
∀
x
)(
ϕ
(
x
)
→ψ
(
x
)).
11.
((
∃
x
)
ϕ
(
x
)
→
(
∃
x
)
ψ
(
x
))
→
(
∀
x
)(
ϕ
(
x
)
→ψ
(
x
)).
12.
((
∀
x
)
ϕ
(
x
)
→
(
∃
x
)
ψ
(
x
))
→
(
∀
x
)(
ϕ
(
x
)
→ψ
(
x
)).
13.
(
∃
x
)(
ϕ
(
x
)
∧ψ
(
x
))
→
(
∀
x
)
ϕ
(
x
)
∧
(
∀
x
)
ψ
(
x
).
14.
(
∃
x
)
ϕ
(
x
)
∧
(
∃
x
)
ψ
(
x
)
→
(
∀
x
)
ϕ
(
x
)
∧
(
∀
x
)
ψ
(
x
).
15.
(
∃
x
)
ϕ
(
x
)
∧
(
∃
x
)
ψ
(
x
)
→
(
∃
x
)
ϕ
(
x
)
∧
(
∀
x
)
ψ
(
x
).
16.
(
∃
x
)
ϕ
(
x
)
∧
(
∀
x
)
ψ
(
x
)
→
(
∀
x
)
ϕ
(
x
)
∧
(
∀
x
)
ψ
(
x
).
17.
(
∀
x
)(
ϕ
(
x
)
∨ψ
(
x
))
→
(
∀
x
)
ϕ
(
x
)
∨
(
∀
x
)
ψ
(
x
).
18.
(
∃
x
)
ϕ
(
x
)
∨
(
∃
x
)
ψ
(
x
)
→
(
∃
x
)
ϕ
(
x
)
∨
(
∀
x
)
ψ
(
x
).
19.
(
∃
x
)
ϕ
(
x
)
∨
(
∃
x
)
ψ
(
x
)
→
(
∀
x
)
ϕ
(
x
)
∨
(
∃
x
)
ψ
(
x
).
20.
(
∃
x
)
ϕ
(
x
)
∨
(
∃
x
)
ψ
(
x
)
→
(
∀
x
)(
ϕ
(
x
)
∨ψ
(
x
)).
21.
(
∃
x
)
ϕ
(
x
)
∨
(
∃
x
)
ψ
(
x
)
→
(
∀
x
)
ϕ
(
x
)
∨
(
∀
x
)
ψ
(
x
).
22.
((
∀
x
)
ϕ
(
x
)
↔
(
∀
x
)
ψ
(
x
))
→
(
∀
x
)(
ϕ
(
x
)
↔ψ
(
x
)).
23.
(
∃
x
)(
ϕ
(
x
)
↔ψ
(
x
))
→
((
∃
x
)
ϕ
(
x
)
↔
(
∀
x
)
ψ
(
x
)).
24.
(
∃
x
)(
ϕ
(
x
)
→ψ
(
x
))
→
((
∃
x
)
ϕ
(
x
)
→
(
∃
x
)
ψ
(
x
)).
25.
(
∃
x
)(
ϕ
(
x
)
→ψ
(
x
))
→
((
∀
x
)
ϕ
(
x
)
→
(
∀
x
)
ψ
(
x
)).
26.
((
∃
x
)
ϕ
(
x
)
→
(
∃
x
)
ψ
(
x
))
→
(
∀
x
)(
ϕ
(
x
)
→ψ
(
x
)).
27.
((
∀
x
)
ϕ
(
x
)
→
(
∃
x
)
ψ
(
x
))
→
((
∃
x
)
ϕ
(
x
)
→
(
∀
x
)
ψ
(
x
)).
28.
((
∀
x
)
ϕ
(
x
)
→
(
∀
x
)
ψ
(
x
))
→
(
∀
x
)(
ϕ
(
x
)
→ψ
(
x
)).
29.
(
∃
x
)(
ϕ
(
x
)
→ψ
(
x
))
→
((
∃
x
)
ϕ
(
x
)
→ψ
(
x
)).
30.
(
∀
x
)(
∃
y
)
ϕ
(
x
,
y
)
→
(
∃
y
)(
∀
x
)
ϕ
(
x
,
y
).

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