8.1.2 - анықтама. Егер F операторының анықталу облысы кез келген жиын, ал мәндер жиыны R(F) комплекс (немесе нақты) сандар жиыны, яғни болса, онда F операторын Х жиынында анықталған комплекс (нақты) функционал деп атайды, және әсерін қысқаша былай жазады:
8.1.1 ескерту. Функционал ұғымы оператор ұғымының дербес түрі болғандықтан, ілгеріде айтылатын оператордың қасиеттері функционал үшін де орындалады.
Егерy
oнда у элементіх элементінің бейнесі, ал x y элементінің алғашқы бейнесі деп аталады.
8.1.1 теорема. Кез келген сызықты А операторының R(A) мәндер жиынысызықты көпбейне болады.
Дәлелдеуі. Айталық, және - скалярлар болсын. элементтерінің, сәйкесінше, алғашқы бейнелері
элементтерін алайық, Яғни . 8.1.3 - анықтама бойынша А операторының сызықтылығын пайдалансақ:
Бұл элементі элементінің алғашқы бейнесі екендігінбілдіреді, яғни .
8.1.4 - анықтама. Кез келген элементтері және үшін
8.1.4 - анықтама. Кез келген элементтері және үшін
шарты орындалса, функционалы комплекс (нақты) сызықты функционал деп аталады.
8.1.5 - анықтама. жиыны F функционалының ядросы деп аталады.
8.1.1 - лемма. F сызықты функционалының ядросы – сызықтық көпбейне.
Дәлелдеуі. элементтерін алайық, онда . F сызықтыфункционал болғандықтан, 8.1.4 - анықтама бойынша кез келген скалярлары үшін
Бұл элементінің де ker F жиынында жататын, яғни ker F жиыныныңсызықты көпбейне екендігін береді.
Нормаланған X және Ү кеңістіктерін, сондай-ақ жиынын жиынынабейнелейтін сызықты А операторын қарастырайық.
Нормаланған X және Ү кеңістіктерін, сондай-ақ жиынын жиынынабейнелейтін сызықты А операторын қарастырайық.
8.2.1 - анықтама. Егер D(A) = L = X, онда А операторы X кеңістігінің барлықнүктелерінде анықталған оператор деп аталады.
