Прикладная математика численные методы


Замечание. Обратное интерполирование корректно только для взаимно однозначных функций. Пример 7.1



жүктеу/скачать 1,04 Mb.
бет31/34
Дата06.03.2023
өлшемі1,04 Mb.
#71977
түріУчебное пособие
1   ...   26   27   28   29   30   31   32   33   34
Байланысты:
Кацман Ю.А. - Прикладная математика. Численные методы (2000) (1) (1)

Замечание. Обратное интерполирование корректно только для взаимно однозначных функций.


Пример 7.1. Исходная функция y = f(x) задана табл. 7.1:

Таблица 7.1



x

10

15

17

20

y

3

7

11

17

Необходимо найти значение функции y при x = 12; найти значение x, для которого y = 10.


Решение. В качестве примера задачу прямого интерполирования в начале таблицы с неравноотстоящими узлами решим по формулам Ньютона (7.8); для обратного интерполирования применим формулу Лагранжа (7.10).


y(12) = f(x0) + (x –x0)f(x0, x1) + (x –x0) (x –x1) f(x0, x1, x2) +
+ (x –x0) (x –x1) (x –x2) f(x0, x1, x2, x3) = 3 + 2·0.8 +
+ 2·(-3)·0.02857 + 2·(-3)·(-5)·(-0.002857) = 4.3429.


x(10) = 10·3·(-1)·(-7)/[(-4)(-8)(-14)] + 15·7·(-1)·(-7)/[4·(-4)(-10)] +
+ 17·7·3(-7)/[8·4·(-6)] + 20·7·4·1/[14·10·6] = 16.641.

7.6. Отыскание параметров эмпирических формул
методом наименьших квадратов


При эмпирическом (экспериментальном) изучении функциональной зависимости одной величины у от другой х производят ряд измерений величины у при различных значениях величины х. Полученные результаты можно представить в виде таблицы, графика:





X

x1

x2

…

xn

Y

y1

y2

…

yn

Задача заключается в аналитическом представлении искомой функциональной зависимости, то есть в подборе функции, описывающей результаты эксперимента.


Особенность задачи состоит в том, что наличие случайных ошибок измерений делает неразумным подбор такой формулы, которая точно описывала бы все опытные значения, то есть график искомой функции не должен проходить через все экспериментальные точки. Эмпирическую формулу обычно выбирают из формул определенного типа:


(7.12)

Таким образом, задача сводится к определению параметров a, b, c,… формулы, в то время как вид формулы известен заранее из каких-либо теоретических соображений или из соображения простоты аналитического представления эмпирического материала. Пусть выбранная эмпирическая зависимость имеет вид


(7.13)
с явным указанием всех параметров, подлежащих определению. Эти параметры а0, а1, а2,…, аn нельзя определить точно по эмпирическим значениям функции y0, y1, y2,…, yk, так как последние содержат случайные ошибки.
Таким образом, речь может идти только о получении достаточно хороших оценок искомых параметров. Метод наименьших квадратов (МНК) позволяет получить несмещенные и состоятельные оценки всех параметров а0, а1, а2,…, аn.



жүктеу/скачать 1,04 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   26   27   28   29   30   31   32   33   34



©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз
    Басты бет
Lessons
Curriculum vitae
Documents