Основные свойства матрицы Грама
Матрица симметрична относительно главной диагонали, то есть
.
Матрица является положительно определенной. Следовательно, при решении методом Гаусса можно воспользоваться схемой единственного деления.
Определитель матрицы будет отличен от нуля, если в качестве базиса выбраны линейно независимые функции ; в этом случае система (7.18) имеет единственное решение.
В качестве базисных можно выбрать линейно независимые степенные функции
(7.23)
Следует учесть, что n << k. Тогда для этих функций расширенная матрица Грама примет вид
(7.24)
Если выбрать n = k, то на основании единственности интерполяционного полинома получим функцию , совпадающую с каноническим интерполяционным полиномом степени k. При этом аппроксимирующая кривая пройдет через все экспериментальные точки, и функция S будет равна нулю.
Пример 7.2. Исходная функция y = f(x) задана в виде табл. 7.2:
Таблица 7.2
x
|
10
|
15
|
17
|
20
|
y
|
3
|
7
|
11
|
17
|
Аппроксимируем экспериментальные данные линейной либо квадратичной функцией. Методом наименьших квадратов необходимо уточнить коэффициенты аппроксимирующего полинома.
Решение
1. При линейной аппроксимации исходную зависимость представим в виде , где . Методом наименьших квадратов определим a0 и a1. Расширенная матрица Грама в нашем случае имеет вид
; а1 = 1.3774; а0 =-11.8491.
Таким образом, аппроксимирующая функция равна
Оценим погрешность формулы, и результаты этой оценки сведем в табл. 7.3:
Таблица 7.3
Достарыңызбен бөлісу: |
