Прикладная математика численные методы
Основные свойства матрицы Грама
жүктеу/скачать 1,04 Mb.
|
| Основные свойства матрицы Грама
Матрица симметрична относительно главной диагонали, то есть . Матрица является положительно определенной. Следовательно, при решении методом Гаусса можно воспользоваться схемой единственного деления. Определитель матрицы будет отличен от нуля, если в качестве базиса выбраны линейно независимые функции ; в этом случае система (7.18) имеет единственное решение. В качестве базисных можно выбрать линейно независимые степенные функции (7.23) Следует учесть, что n << k. Тогда для этих функций расширенная матрица Грама примет вид (7.24) Если выбрать n = k, то на основании единственности интерполяционного полинома получим функцию , совпадающую с каноническим интерполяционным полиномом степени k. При этом аппроксимирующая кривая пройдет через все экспериментальные точки, и функция S будет равна нулю. Пример 7.2. Исходная функция y = f(x) задана в виде табл. 7.2: Таблица 7.2
Аппроксимируем экспериментальные данные линейной либо квадратичной функцией. Методом наименьших квадратов необходимо уточнить коэффициенты аппроксимирующего полинома. Решение 1. При линейной аппроксимации исходную зависимость представим в виде , где . Методом наименьших квадратов определим a0 и a1. Расширенная матрица Грама в нашем случае имеет вид ; а1 = 1.3774; а0 =-11.8491. Таким образом, аппроксимирующая функция равна Оценим погрешность формулы, и результаты этой оценки сведем в табл. 7.3: Таблица 7.3
жүктеу/скачать 1,04 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|