Процессы управления и устойчивость

решение системы (1), начинающееся в δ-окрестности начала коорди-

нат, попадало за конечный отрезок времени в ε-окрестность начала

координат и оставалось бы в ней при t → +∞.

Следуя [4], сформулируем

Утверждение 2. Пусть пара (A, c) полностью управляема,

т.е. rank A, Ac, . . . , A

n−1

c = n, тогда, если l

1

< 0, l

2

> 0, зна-

чения |l

1

|, l

2

достаточно малы, а значения |m

1

|, m

2

достаточно ве-

лики, то существует управление вида (2), которое решает задачу

релейной стабилизации системы (1).

Доказательство. Пара (A, c) полностью управляема, следова-

тельно, существует управление в виде линейной обратной связи

ˆ

u = κˆ

γ x, решающее задачу стабилизации системы

˙x = Ax + cˆ

u.

(3)

Перепишем систему (1) в виде

˙x = Ax + cˆ

u + c (u − ˆ

u) .

Нулевое решение системы (3) асимптотически устойчиво, следова-

тельно, существуют две такие положительно-определенные формы

v(x) = x V x, w(x) = x W x, что

dv(x)

dt

(3)

= −w(x) = − x

2

.

Здесь положили W = E, а матрица V может быть найдена из мат-

ричного уравнения Ляпунова. Далее,

dv(x)

dt

(1)

= − x

2

+ 2 (u − ˆ

u) c V x.

Выберем γ = ˆ

γ, тогда, если

x ≤ r

1

=

min

m

1

κ

+ l

2

,

m

2

κ

+ l

1

κ ˆ

γ

,

то σ ∈

m

1

κ

+ l

2

,

m

2

κ

+ l

1

, и |u − ˆ

u| ≤ κ max {|l

1

|, l

2

} , здесь считаем,

что

m

2

κ

+ l

1

> 0. Таким образом,

dv(x)

dt

(1)

< 0, если

83

x > r

2

= 2κ max {|l

1

|, l

2

} c V .

За счет выбора параметров |l

i

|, |m

i

|, очевидно, можно добиться вы-

полнения неравенства r

2

< r

1

. Обозначим S

1

, S

2

шары с центрами в

x = 0 и радиусами r

1

и r

2

, соответственно. Пусть уравнение v(x) = c

1

задает поверхность, вписанную в S

1

, а уравнение v(x) = c

2

— поверх-

ность, описанную вокруг S

2

. В поверхность v(x) = c

1

впишем шар

S

δ

радиуса δ > 0, вокруг поверхности v(x) = c

2

опишем шар S

ε

ра-

диуса ε > 0. Тогда, по построению, указанные шары представляют

собой δ- и ε-окрестности начала координат, указанные в постановке

задачи релейной стабилизации. Утверждение доказано.

Замечание 3. Построенное управление также решает задачу ре-

лейной стабилизации системы

˙x = Ax + ϕ(t, x) + cu(t),

где функция

ϕ(t,x)

x

непрерывна при всех t ≥ t

0

, x ∈ E

n

и равномер-

но относительно t ≥ t

0

стремится к 0, когда x → 0.

Замечание 4. Если пара (A, c) не является полностью управ-

ляемой, то утверждение, очевидно, сохраняет справедливость в том

случае, когда неуправляемые собственные числа матрицы A нахо-

дятся в левой части комплексной полуплоскости [4, 5].

4. Стабилизация дискретной системы. Рассмотрим дискрет-

ный аналог системы (1)

x

k+1

= M x

k

+ qu

k

,

u

k

= f (σ

k

),

σ

k

= γ x

k

,

(4)

где x

k

∈ E

n

, k ≥ k

0

, γ ∈ E

n

, γ = 0,

f (σ

k

) =







































m

1

,

σ

k

<

m

1

κ

+ l

1

,

l

1

≤ σ

k

−

m

1

κ

< l

2

, u

k−1

= m

1

,

m

2

,

σ

k

>

m

2

κ

+ l

2

,

l

1

< σ

k

−

m

2

κ

≤ l

2

, u

k−1

= m

2

,

κ(σ

k

− l

1

), m

1

< κ(σ

k

− l

1

) ≤ m

2

, u

k−1

> m

1

,

κ(σ

k

− l

2

), m

2

≤ κ(σ

k

− l

2

) < m

1

, u

k−1

< m

2

,

(5)

84

где κ > 0, m

1

< 0, m

2

> 0, обход гистерезисной петли – против

часовой стрелки.

Утверждение 2 очевидным образом переносится на случай систе-

мы (4).

Утверждение 3. Пусть пара (M, q) полностью управляема,

тогда, если l

1

< 0, l

2

> 0, значения |l

1

|, l

2

достаточно малы, а зна-

чения |m

1

|, m

2

достаточно велики, то существует управление ви-

да (5), которое решает задачу релейной стабилизации системы (4).

Доказательство. Пара (M, q) полностью управляема, следо-

вательно, существует управление в виде линейной обратной связи

ˆ

u

k

= κˆ

γ x

k

, решающее задачу стабилизации системы

x

k+1

= M x

k

+ qˆ

u

k

,

(6)

следовательно, существуют положительно-определенные квадратич-

ные формы v(x) = x V x, w(x) = − x

2

, для которых

∆

k

v(x

k

)

(6)

= −w(x

k

).

Переписав систему (4) в виде

x

k+1

= M x

k

+ qu

k

= M x

k

+ qˆ

u

k

+ q (u

k

− ˆ

u

k

) ,

и вводя обозначение ˆ

M = M + κγ q, при γ = ˆ

γ и

x ≤ r

1

=

min

m

1

κ

+ l

2

,

m

2

κ

+ l

1

κ ˆ

γ

,

имеем

∆

k

v(x

k

)

(4)

=

ˆ

M x

k

+ q (u

k

− ˆ

u

k

) V

ˆ

M x

k

+ q (u

k

− ˆ

u

k

) −

−x

k

V x

k

= − x

2

+ 2 (u

k

− ˆ

u

k

) q V ˆ

M x

k

+ (u

k

− ˆ

u

k

)

2

q V q ≤

≤ −

x

2

+ a

1

l x + a

2

l

2

,

a

1

= −2 q V ˆ

M ,

a

2

= −q V q,

l = max{|l

1

|, l

2

}.

85

Тогда ∆

k

v(x

k

)

(4)

< 0, если

x ≥ r

2

=

l

2

a

1

+

a

2

1

+ 4a

2

.

Далее, по аналогии с тем, как это делалось для непрерывных систем,

строятся шары S

1,2

, S

δ

, S

ε

.

Замечание 5. Заметим, что здесь, в отличие от [4, 5] не вводится

вспомогательная непрерывная система, дискретная система рассмат-

ривается в качестве самостоятельной модели.

По аналогии с [4,5] для систем (1), (3) могут быть рассмотрена

задача о стабилизации с неполной информацией о состоянии систем,

для системы (1) — задача о стабилизации с помощью непрямого регу-

лирования (управление u = ˙v, где v — вида (2)), импульсного регули-

рования (информация о состоянии поступает в дискретные моменты

времени), и т.д. Все эти задачи разрешимы при соответствующих

допущениях.

Литература

1. Нелепин Р.А. Методы теории нелинейных колебаний и их при-

менение для исследования систем управления. СПб.: Изд-во

СПбГУ, 2002. 92 с.

2. Камачкин А.М. Существование и единственность периодиче-

ского решения релейной системы с гистерезисом // Диффе-

ренциальные уравнения, 1972. Т. 8, № 8. С. 1505–1506.

3. Зубов С.В., Зубов Н.В. Математические методы стабилизации

динамических систем. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1996. 288 с.

4. Зубов В.И. Теория оптимального управления судном и други-

ми подвижными объектами. Л.: Судпромгиз, 1966. 352 с.

5. Смирнов Е.Я. Стабилизация программных движений. СПб.:

Изд-во СПбГУ, 1997. 308 с.

86

Степанов А.В.

Санкт-Петербургский государственный университет

Существование и расчет устойчивых режимов

одной нелинейной цифровой системы управления

Рекомендовано к публикации профессором Камачкиным А.М.

1. Введение. Одним из классов импульсных систем являются

цифровые системы управления (ЦСУ) [1]. ЦСУ описываются в про-

странстве состояний системами разностных уравнений.

Далее используем следующие обозначения: штрихом обозначим

операцию транспонирования; E — единичная матрица; E

n

—

n-мерное евклидово пространство; под нормой вектора x ∈ E

n

бу-

дем понимать евклидову норму x =

√

x x; под нормой матрицы M

понимается норма, согласованная с евклидовой нормой вектора.

Нелинейные ЦСУ в общем случае могут быть описаны в E

n

си-

стемой разностных уравнений вида

x

k+1

= F (k, x

k

, u

k

),

k ≥ k

0

,

(1)

где k — целый неотрицательный индекс; x

k

∈ X ⊂ E

n

; значения

x

k

0

, u

k

0

считаем заданными; значение управляющего воздействия u

k

в k-й момент времени вычисляется по правилу

u

k

= f (σ

k

, u

k−1

),

k > k

0

,

σ

k

= γ x

k

,

γ ∈ E

n

,

γ = 0,

где f — скалярная, кусочно-постоянная функция своих аргументов,

множество значений U которой конечно. Данному определению, на-

пример, удовлетворяют нелинейности релейного типа, а именно, иде-

альная релейная характеристика, релейная характеристика с гисте-

резисом, релейная характеристика с зоной нечувствительности и т.д.

2. Существование устойчивых режимов цифровых сис-

тем. Решением (движением) системы (1), соответствующим при

k = k

0

начальному состоянию x

k

0

и начальному значению управляю-

щего

воздействия

u

k

0

,

назовем

последовательность

точек

x

k

= x(k, k

0

, x

k

0

, u

k

0

) ∈ E

n

, k ≥ k

0

, где каждое последующее зна-

чение x

k+1

вычисляется, исходя из предыдущего значения x

k

, по

формуле (1).

При исследовании свойств решений разностных систем, опи-

сывающих ЦСУ с устойчивым объектом, в [1] было введено по-

нятие грубости этих решений. Уточним это определение. Пусть

87

x

k

= x(k, k

0

, x

k

0

, u

k

0

) — решение системы (1), отвечающее началь-

ным данным k

0

, x

k

0

, u

k

0

, а u

k

— соответствующая последователь-

ность управлений. Рассмотрим последовательность пар

z

k

= (x

k

, u

k−1

) ∈ X × U, k ≥ k

0

+ 1.

Обозначим Ω(k

0

, x

k

0

, u

k

0

) ⊂ X × U — множество точек сгущения

последовательности z

k

. Очевидно, Ω(k

0

, x

k

0

, u

k

0

) = ∅, если X — ком-

пакт.

Определение 1.

Решение x

k

= x(k, k

0

, x

k

0

, u

k

0

) системы (1)

назовем грубым, если существует такая константа δ > 0, называ-

емая степенью грубости решения x

k

, что для любого ˆ

z = (ˆ

x, ˆ

u) ∈

Ω(k

0

, x

k

0

, u

k

0

) функция f (σ, ˆ

u) непрерывна, когда |σ − γ ˆ

x| ≤ δ. Си-

стему (1) назовем грубой, если все ее решения грубые.

Уточним вид системы (1). Пусть

x

k+1

= M x

k

+ ϕ

k

+ qu

k

,

(2)

последовательность ϕ

k

— почти периодическая [2].

Приведем без доказательства следующий результат.

Теорема 1 [3]. Пусть собственные числа матрицы M располо-

жены внутри единичного круга на комплексной плоскости, тогда

любое грубое решение системы (2) сходится при k → +∞ к асимп-

тотически устойчивому почти периодическому решению этой си-

стемы, которому соответствует периодическая последователь-

ность значений управления u

k

.

Следствие. Если последовательность ϕ

k

— периодическая, то

любое грубое решение системы (2) сходится при k → +∞ к асимп-

тотически устойчивому периодическому решению этой системы.

Замечание 1. Если последовательность ϕ

k

— периодическая, и

выполнено условие, наложенное на собственные числа матрицы M ,

то грубость является типичным (в смысле [1]) свойством решений

системы (2).

Замечание 2. Так как грубость является необходимым и доста-

точным условием асимптотической устойчивости вынужденных ко-

лебаний системы (2), то любое асимптотически устойчивое решение

системы (2) будет почти периодическим.

Замечание 3. Пусть матрица M имеет собственные числа, рас-

положенные на границе единичного круга комплексной плоскости,

причем этим собственным числам отвечают простые элементарные

делители, а все остальные собственные числа матрицы M располо-

жены внутри единичного круга. Тогда, если последовательность ϕ

k

88

почти периодическая, и система (2) имеет грубое почти периодиче-

ское решение, то она также имеет континуум почти периодических

устойчивых решений.

Распространим результат теоремы 1 на случай билинейной раз-

ностной системы

x

k+1

= M x

k

+ ϕ

k

+ (Qx

k

+ ψ

k

+ q) u

k

,

(3)

где последовательности ϕ

k

, ψ

k

почти периодические.

Теорема 2. Пусть выполнены неравенства

M + v Q < 1,

v ∈ U,

(4)

тогда любое грубое решение системы (3) сходится при k → +∞

к асимптотически устойчивому почти периодическому решению

этой системы, которому соответствует периодическая последо-

вательность значений управляющего воздействия u

k

.

Доказательство этой теоремы в целом аналогично доказатель-

ству теоремы 1.

Замечание 4. Условие (4) является достаточным, но не необхо-

димым для существования устойчивых режимов системы (3).

Полученные результаты могут быть распространены на слу-

чай нестационарного объекта (см., напр., [4]). Обобщим, например,

утверждение теоремы 2. Рассмотрим систему

x

k+1

= M

k

x

k

+ ϕ

k

+ (Q

k

x

k

+ q

k

)u

k

,

(5)

где ϕ

k

, q

k

— почти периодические векторные последовательности;

M

k

, Q

k

— почти периодические последовательности (n × n)-матриц,

а также вспомогательную систему

x

k+1

= (M

k

+ v

k

Q

k

) x

k

,

{v

k

}

∞

k=k

0

⊂ U.

(6)

Теорема 3. Пусть нулевое решение линейной системы (6)

асимптотически устойчиво равномерно относительно выбора на-

чальных данных k

0

, x

0

, и последовательности {v

k

} ⊂ U , тогда лю-

бое грубое решение системы (5) сходится при k → +∞ к асимпто-

тически устойчивому почти периодическому решению этой систе-

мы, которому соответствует периодическая последовательность

значений управляющего воздействия u

k

.

3. Собственные колебания ЦСУ с гистерезисной нелиней-

ностью. Рассмотрим стационарную систему

89

x

k+1

= M x

k

+ qu

k

,

k ≥ k

0

,

(7)

нелинейность u

k

гистерезисного типа:

u

k

=

m

1

,

σ

k

< l

2

,

m

2

,

σ

k

> l

1

,

l

1

< l

2

,

m

1

< m

2

,

значение u

k

0

задано.

По аналогии с непрерывным случаем [5] может быть доказана

Лемма 1. Пусть собственные числа матрицы M расположены

внутри единичного круга на комплексной плоскости, и выполнены

неравенства

γ (E − M )

−1

qm

1

> l

2

,

γ (E − M )

−1

qm

2

< l

1

.

Тогда грубая система (7) имеет, по крайней мере, одно периодиче-

ское решение, отличное от неподвижной точки.

Будем искать периодические решения системы (7) с 2m точка-

ми переключения управления. Обозначим точки переключения s

j

,

1 ≤ j ≤ 2m, при этом считаем, что

γ s

j

< l

1

, j = 1, 3, . . . , 2m − 1,

γ s

j

> l

2

, j = 2, 4, . . . , 2m.

Для того, чтобы система (7) имела периодическое решение с точками

переключения s

j

, необходимо, чтобы были выполнены условия































s

1

=x (T

2m

, s

2m

, m

2

) ,

s

2

=x (T

1

, s

1

, m

1

) ,

s

3

=x (T

2

, s

2

, m

2

) ,

. . .

s

2m

=x (T

2m−1

, s

2m−1

, m

1

) ,

где

x(k, x

0

, u) = M

k

(x

0

− w

1

(u)) + w

1

(u),

w

1

(u) = −(M − E)

−1

qu.

Точки переключения управления s

j

вычисляются по формулам

90

s

1

= −P

M

T −T

1

M

T

1

− E m

1

+ M

T −(T

1

+T

2

)

M

T

2

− E m

2

+ . . . +

+M

T −(T

1

+T

2

+...+T

2m−1

)

M

T

2m−1

− E m

1

+

+ M

T

2m

− E m

2

(M − E)

−1

q,

s

2

= −P

M

T −T

2

M

T

2

− E m

2

+ M

T −(T

2

+T

3

)

M

T

3

− E m

1

+ . . . +

+M

T −(T

2

+T

3

+...+T

2m

)

M

T

2m

− E m

2

+ M

T

1

− E m

1

(M − E)

−1

q,

. . .

s

2j+1

= −P M

T −T

2j+1

M

T

2j+1

− E m

жүктеу/скачать 30,48 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: