Процессы управления и устойчивость

p (λ) = det (A − λE + Be

iθ

) = λ

2

− λsp (A + Be

iθ

) + det (A + Be

iθ

) =

= λ

2

+ aλ + b.

Необходимые условия абсолютной устойчивости системы (1) вме-

сте со своей некоторой окрестностью будут иметь вид

−sp A > |sp B|,

det (A + B) > 0,

det (A − B) > 0,

(2)

так как полиномы p (λ) при значениях θ = 0, π гурвицевы.

Известно, что (см., например, [3] (стр. 533, 534)) p (λ) гурвицев,

тогда и только тогда, когда выполняется

Re a > 0,

δ = Re a(Re aRe b + Im aIm b) − (Im b)

2

> 0,

(3)

где

Re a = −sp A + sp B(cos θ),

Im a = −sp B(sin θ),

Re b = det A + cos θ + det B(cos 2θ),

Im b = sin θ + det B(sin 2θ),

= det A + det B − det (A − B) = det (A + B) − det A − det B.

Из (3) получаем еще одно необходимое условие

∆ = Re aRe b + Im aIm b > 0,

или, что тоже, ∆ = a

1

(cos θ)

2

+ b

1

cos θ + c

1

> 0, где

a

1

= −2sp A det B,

b

1

= − sp A − sp B(det A + det B),

c

1

= − sp B − sp A(det A − det B).

(4)

полином ∆ — второй степени относительно cos θ, и ∆|

cos θ=−1

> 0,

т.е. условие ∆ > 0 будет выполняться, если и только если





det B ≤ 0;

det B > 0,

|b

1

| ≥ 2a

1

;

det B > 0,

|b

1

| < 2a

1

,

b

1

2

− 4a

1

c

1

< 0.

Из того, что ∆ > 0, а значит, Re b > 0 при Im b = 0, легко вывести

еще одно необходимое условие det A > | det B|.

101

Перейдем к рассмотрению второго неравенства из системы (3).

Подставляя в него выражения для Im b, Re a и ∆, получаем

δ = 4(det B)

2

(cos θ)

4

+ (4 det B − a

1

sp B)(cos θ)

3

+

+(

2

− 4(det B)

2

− a

1

sp A − b

1

sp B)(cos θ)

2

+

+(−b

1

sp A − c

1

sp B − 4 det B) cos θ − c

1

sp A −

2

> 0,

где a

1

, b

1

, c

1

удовлетворяют равенствам (4).

Или, что то же, δ = δ(t) = a

2

t

4

+ b

2

t

3

+ c

2

t

2

+ d

2

t + e

2

> 0, где

t = cos θ ∈ [−1, 1].

C учетом (2) гарантировано выполняется δ|

t=−1

> 0, δ|

t=1

> 0.

Итак, для абсолютной устойчивости системы (1) вместе со своей

некоторой окрестностью нужно гарантировать, чтобы, во–первых,

полином δ(t) не имел вещественных корней на отрезке [−1, 1] (для

этого можно воспользоваться методом Штурма) и, во–вторых, мат-

рицы A и B удовлетворяли условиям

−sp A > |sp B|,

det (A ± B) > 0.

Литература

1. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 496 c.

2. Купцов С.Ю. Оценка радиуса устойчивости линейной стационар-

ной системы дифференциально-разностных уравнений // Процес-

сы управления и устойчивость: Труды 30-й научной конференции

/ Под ред. В.Н. Старкова. – СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 1999. С.

103-107.

3. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 548 c.

102

Утешев А.Ю., Яшина М.В.

Санкт-Петербургский государственный университет

Нахождение расстояния между поверхностями

второго порядка в R

n

Задача. Найти расстояние между эллипсоидом

X

T

A

1

X + 2B

T

1

X = 1

(1)

и поверхностью

X

T

A

2

X + 2B

T

2

X = 1.

(2)

Здесь X ∈ R

n

— столбец переменных, {B

1

, B

2

} ∈ R

n

— заданные

столбцы; A

1

и A

2

— вещественные, симметричные матрицы n—го

порядка, причем A

1

— знакоопределенная [2]; T означает транспо-

нирование. Расстояние понимается в евклидовой метрике. Требуется

найти

d

def

= min

(X − Y )

T

(X − Y ) при X ∈ (1), Y ∈ (2).

(3)

Для решения поставленной задачи используем подход, предло-

женный авторами в [3]. Именно, целью ставится построение алгеб-

раического уравнения от одной переменной, среди корней которого

находится величина d

2

. Это уравнение является результатом исклю-

чения переменных X, Y, λ

1

, λ

2

из системы уравнений







z − (X − Y )

T

(X − Y ) = 0,

X − Y − λ

1

(A

1

X + B

1

) = O, −X + Y − λ

2

(A

2

X + B

2

) = O,

X

T

A

1

X + 2 B

T

1

X = 1, Y

T

A

2

Y + 2 B

T

2

Y = 1,

(4)

порожденной применением метода множителей Лагранжа к постав-

ленной задаче об условном экстремуме (3).

1. Результаты из теории исключения. Фактическое исклю-

чение переменных в алгебраической системе уравнений можно ре-

ализовывать либо вычислением базиса Грёбнера идеала, порождае-

мого полиномами этой системы, либо же построением многомерного

результанта системы.

103

Теорема 1 [1]. Полином f (x) = a

0

x

m

+ a

1

x

m−1

+ · · · + a

m

,

a

0

= 0, m ≥ 2, имеет кратный корень тогда и только тогда, когда

его дискриминант D(f ) обращается в нуль. Будем также исполь-

зовать обозначение D

x

(f ), если надо подчеркнуть относительно

какой переменной рассматривается полином. Дискриминант D(f )

может быть представлен в виде определителя порядка 2m − 2:

D(f ) = (−1)

m−1

D

[0]

/m

m−1

, где

D

[0] def

=

(5)

def

=

ma

0

(m − 1)a

1

(m − 2)a

2

. . .

a

m−1

ma

0

(m − 1)a

1

. . .

2a

m−2

a

m−1

O

. ..

. ..

. ..

ma

0

(m − 1)a

1

. . .

a

m−1

O

a

1

2a

2

. . .

ma

m

. .

.

. .

.

. .

.

a

1

2a

2

. . .

ma

m

O

a

1

2a

2

. . .

ma

m

.

Полином f (x) имеет единственный кратный корень (второй крат-

ности) тогда и только тогда, когда D

[0]

= 0, D

[1]

= 0; в этом случае

этот корень может быть представлен в виде

λ = −D

[1]

/D

[1]

.

(6)

Здесь D

[1]

и D

[1]

— миноры D

[0]

порядка 2m − 4, получающиеся из

него вычеркиванием первой и последней строки, первого столбца и,

соответственно, либо последнего, либо предпоследнего столбца.

2. Нахождение расстояния. Рассмотрим сначала случай цен-

тральных поверхностей. Пусть в (1) и (2) B

1

= O и B

2

= O.

В этом случае система (4) введением нового столбца переменных

Z

def

= λ

1

A

1

X = −λ

2

A

2

Y

(7)

приводится к виду

E −

1

λ

1

A

−1

1

−

1

λ

2

A

−1

2

Z = O, z = Z

T

Z = λ

1

+ λ

2

,

(8)

Z

T

A

−1

1

Z = λ

2

1

, Z

T

A

−1

2

Z = λ

2

2

(9)

104

при дополнительном условии

det E −

1

λ

1

A

−1

1

−

1

λ

2

A

−1

2

= det(λ

1

λ

2

A

2

A

1

− λ

1

A

1

− λ

2

A

2

) = 0.

Теорема 2. Поверхности X

T

A

1

X = 1 и X

T

A

2

X = 1 не пере-

секаются тогда и только тогда, когда матрица A

1

− A

2

является

знакоопределенной. При выполнении этого условия величина d

2

сов-

падает с минимальным положительным корнем уравнения

F(z)

def

= D

λ

(det(λA

1

+ (z − λ)A

2

− λ(z − λ)A

1

A

2

)) = 0

(10)

в предположении, что этот корень не является кратным.

Замечание 1. Как правило, имеем deg F = n(n + 1).

Пример 1. Найти расстояние между эллипсами

10x

2

− 12xy + 8y

2

= 1 и x

2

+ xy + y

2

= 1

и координаты их ближайших точек.

Решение. Представив дискриминант (10) в виде определителя

(5), найдем его величину:

936086976z

6

− 10969697376z

5

+ 50706209664z

4

− 115515184664z

3

+

+130176444432z

2

− 59826725574z + 2866271785.

Его положительные корни:

z

1

≈ 0, 05394, z

2

≈ 1, 33405, z

3

≈ 1, 95921, z

4

≈ 2, 87858.

Таким образом, расстояние между эллипсами равно

√

z

1

≈ 0, 23226.

Для определения пары ближайших точек на эллипсах подставим

z = z

1

в определитель (5) и, ” вырезав“ из него нужные миноры, опре-

делим соответствующее значение λ

1

по формуле (6): λ

1

≈ −0, 13576.

Второе из уравнений (8) даст значение λ

2

= z − λ

1

≈ 0, 18970. При

105

получившейся паре значений λ

1

и λ

2

определитель системы урав-

нений из (8) обращается в нуль. Система имеет нетривиальные ре-

шения, из которых нормированием вторым из условий (8) выделим

два: Z

T

= ±(0, 16116, 0, 16724). Тогда из уравнений (7) устанавлива-

ем ближайшие точки на эллипсах.

Ответ: d ≈ 0, 23226, ближайшие точки: ±(0, 38383, 0, 44186) и

±(0, 54499, 0, 60911) соответственно.

В случае, когда поверхности (1) и (2) общего вида (не обязательно

центральные), для нахождения расстояния воспользуемся обобщени-

ем понятия дискриминанта на случай полинома от двух переменных.

Формально, дискриминант полинома f (x, y) можно определить

как симметрическую функцию множества решений {(α

j

, β

j

)}

N

j=1

сис-

темы уравнений ∂f /∂x = 0, ∂f /∂y = 0, а именно,

D

x,y

(f )

def

=

N

j=1

f (α

j

, β

j

).

Можно доказать, что дискриминант представ´

им в виде рациональ-

ной функции коэффициентов полинома f ; метод Безу [4] дает конст-

руктивный способ его вычисления посредством представления в виде

подходящего определителя.

Теорема 3. Поверхности (1) и (2) не пересекаются тогда и

только тогда, когда уравнение

Φ(z)

def

= D

λ

det

A

2

B

2

B

T

2

−1 − z

− λ

A

1

B

1

B

T

1

−1

= 0

имеет все свои вещественные корни одного знака. При выполнении

этого условия величина d

2

совпадает с минимальным положитель-

ным корнем уравнения

F(z)

def

= D

µ

1

,µ

2

det µ

1

A

1

B

1

B

T

1

−1

+ µ

2

A

2

B

2

B

T

2

−1

−

−

A

2

A

1

A

2

B

1

B

T

2

A

1

B

T

2

B

1

− µ

1

µ

2

z

= 0

в предположении, что этот корень не является кратным.

106

Условие пересечения поверхностей (1) и (2) из теоремы 3 выте-

кает из следующих рассуждений. Экстремумы функции X

T

A

2

X +

2B

T

2

X − 1 на поверхности эллипсоида (1) будут одного знака тогда и

только тогда, когда поверхности (1) и (2) не пересекаются. Формули-

руем задачу об условном экстремуме функции X

T

A

2

X +2B

T

2

X −1−z

на поверхности (1), применяем метод множителей Лагранжа и ис-

ключаем из полученной системы алгебраических уравнений все пе-

ременные, кроме z.

Замечание 2. Как правило, имеем deg F(z) = 2n(n + 1).

Замечание 3. Условие простоты минимального корня из теорем

2 и 3 является критичным: в некоторых случаях величина d

2

может

не совпадать с этим корнем. Причина этого обсуждалась в [3].

Литература

1. Калинина Е.А., Утешев А.Ю. Теория исключения: Учебное посо-

бие. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2002.

2. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: ЛБЗ,

2003.

3. Утешев А.Ю., Яшина М.В. Нахождение расстояния между эллип-

соидом и гиперплоскостью в R

n

// Процессы управления и устой-

чивость: Труды 36-й научной конференции аспирантов и студен-

тов / Под ред. Н.В. Смирнова, В.Н. Старкова. – СПб.: Изд-во

СПбГУ, 2005. С. 112–115.

4. Bikker P., Uteshev A.Yu. On the B´ezout construction of the resultant.

// J. Symb. Comput. 1999. T.28, №1. P. 45–88.

107

Чашников М.В.

Санкт-Петербургский государственный университет

Использование запаздывания в задаче

стабилизации колебательной системы

Рекомендовано к публикации профессором Харитоновым В.Л.

1. Введение. Рассмотрим колебательную систему с n степенями

свободы, а именно, систему n материальных точек (грузов) с мас-

сами m

1

, . . . , m

n

, соединенных последовательно пружинами с коэф-

фициентами жесткости соответственно k

1

,. . . , k

n

. Через y

i

обозначим

расстояние между положением i-го груза и точкой подвеса первого

груза (см. рис. 1).

Рис. 1.

Запишем уравнения движения данной системы. Для этого рас-

смотрим силы, действующие на каждую массу. Очевидно, это сила

тяжести и силы, действующие на груз со стороны связанных с ним

пружин. Отсюда имеем



















m

1

¨

y

1

= −k

1

y

1

+ k

2

(y

2

− y

1

) + m

1

g,

m

2

¨

y

2

= −k

2

(y

2

− y

1

) + k

3

(y

3

− y

2

) + m

2

g,

. . .

m

n

¨

y

n

= −k

n

(y

n

− y

n−1

) + m

n

g.

(1)

Положением равновесия системы (1) является, очевидно, вектор

y

0

= (y

0

1

, . . . , y

0

n

)

T

, координаты которого обращают правую часть (1)

108

в нуль. Запишем систему в отклонениях



















m

1

¨

z

1

= −k

1

z

1

+ k

2

(z

2

− z

1

),

m

2

¨

z

2

= −k

2

(z

2

− z

1

) + k

3

(z

3

− z

2

),

. . .

m

n

¨

z

n

= −k

n

(z

n

− z

n−1

),

(2)

где z

i

= y

i

− y

0

i

.

Лемма 1. Нулевое решение системы (2) устойчиво по Ляпуно-

ву.

Доказательство. Введем функцию

Π(z) = Π(z

1

, . . . , z

n

) =

k

1

2

z

2

1

+

n

i=2

k

i

2

(z

i

− z

i−1

)

2

.

Механически эта функция интерпретируется как потенциальная

энергия системы (2), выбранная так, чтобы в положении равновесия

она обращалась в нуль. Теперь рассмотрим кинетическую энергию

K( ˙z) =

n

i=1

m

i

˙z

2

i

2

и введем обозначение V (z, ˙z) = Π(z) + K( ˙z). Очевидно, функ-

ция V (z, ˙z) положительно определена по совокупности переменных.

Непосредственной проверкой можно убедиться, что ее производная

в силу системы (2) тождественно равна нулю, и, следовательно, по

теореме Ляпунова положение равновесия z = 0 устойчиво. Лемма

доказана.

Заметим, что система (2) имеет нетривиальное решение вида

e

λt

(c

1

, . . . , c

n

)

T

= e

λt

c, где λ — фиксированное комплексное число

тогда и только тогда, когда определитель матрицы





















s

2

+

k

1

+k

2

m

1

−k

жүктеу/скачать 30,48 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: