Процессы управления и устойчивость

обращается в нуль при s = 1. Обозначим его через

h(s) = s

2n

+ µ

1

s

2n−2

+ · · · + µ

n

.

Лемма 2. Полином h(s) имеет только чисто мнимые корни.

Доказательство. Поскольку в h(s) входят только четные степе-

ни s, то наряду с произвольным корнем λ он обязательно содержит и

корень −λ. Отсюда сразу следует, что Reλ = 0. В противном случае,

обязательно бы существовал корень с положительной вещественной

частью, что повлекло бы неустойчивость в противоречии с леммой

1. Лемма доказана.

2. Выбор стабилизирующего управления. Предположим,

что измерению доступно только положение верхнего груза, а управ-

ляющему силовому воздействию — только нижний груз. Приходим

к системе

˙x = Ax + bu,

ξ = cx.

(3)

Здесь x

T

= (z

1

, . . . , z

n

, ˙z

1

, . . . , ˙z

n

), b

T

= (0, . . . , 0, 1), c = (1, 0, . . . , 0),

A =

0

E

K

0

,

K =





















−k

1

−k

2

m

1

k

2

m

1

0

. . .

0

k

2

m

2

−k

2

−k

3

m

2

k

3

m

2

. . .

0

0

k

3

m

3

−k

3

−k

4

m

3

. . .

0

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

0

. . .

0

−k

n−1

−k

n

m

n−1

k

n

m

n−1

0

. . .

0

k

n

m

n

−k

n

m

n





















.

Лемма 3. Система (3) полностью управляема и полностью на-

блюдаема.

Доказательство. Покажем полную управляемость. В силу вида

вектора b, требуется показать, что последние столбцы матриц E, A,

A

2

, . . . , A

2n−1

образуют матрицу ранга 2n, т.е. линейно независимы.

Учитывая структуру A, сразу заметим, что

110

A

2p

=

K

p

0

0

K

p

, A

2p+1

=

0

K

p

K

p+1

0

, p = 0, n − 1.

(4)

Также, нетрудно убедиться, что последний столбец матрицы K

p

при

p = 0, n − 1 имеет нулевые компоненты на первых n − p − 1 местах и

только там, т.е.

K

p

i, n

= 0 ⇔ i < n − p.

Сопоставляя это с (4), заключаем, что матрица, составленная из век-

торов b, Ab, A

2

b, . . . , A

2n−1

b, имеет ранг 2n.

Аналогично доказывается полная наблюдаемость. Лемма доказа-

на.

Поставим теперь задачу выбора управления, стабилизирующего

систему (3). Искомое управление u(t) должно обспечивать асимпто-

тическую устойчивость уравнению

z

(2n)

1

+ µ

1

z

(2n−2)

1

· · · + µ

n

− u = 0.

В соответствии с результатами работы [1], будем искать управле-

ние в виде

u(t) = −kz

1

(t − τ ), τ > 0.

Задача сводится к нахождению значений параметров k и τ , для ко-

торых все корни характеристического квазиполинома

f (s) = s

2n

+ µ

1

s

2n−2

+ · · · + µ

n

+ ke

−sτ

= h(s) + ke

−sτ

имеют отрицательные вещественные части. Из леммы 2 следует, что

f (s) имеет вид

f (s) =

n

ν=1

(s

2

+ ω

2

ν

) + ke

−sτ

, 0 ≤ ω

1

≤ · · · ≤ ω

n

.

Как показано в [1], в случае 0 < ω

1

< · · · < ω

n

существование τ > 0,

удовлетворяющего условию

(−1)

ν

sin(τ ω

ν

) > 0, ν = 1, n,

(5)

влечет устойчивость f (s) при достаточно малых k > 0.

111

Теорема 1. Полином h(s) имеет простые, ненулевые, чисто

мнимые, попарно сопряженные корни.

Доказательство. То, что корни h(s) чисто мнимые и попарно

сопряженные, было показано в лемме 2. Отсутствие нулевого кор-

ня эквивалентно невырожденности матрицы A, что, в свою очередь,

равносильно невырожденности K. Последнее легко проверить, при-

ведя K к нижней треугольной матрице.

Теперь предположим, что h(s) имеет кратный корень −iω. Тогда,

согласно лемме 1, жорданова форма матрицы A имеет, как минимум,

две одинаковые клетки. Следовательно, степень минимального мно-

гочлена A не больше 2n−1, т.е. найдется нетривиальный набор чисел

c

0

, . . . , c

2n−1

такой, что

c

0

E + c

1

A + c

2

A

2

+ · · · + c

2n−1

A

2n−1

= 0.

Но это противоречит полной управляемости системы (3). Теорема

доказана.

Итак, в нашем случае выполняется условие 0 < ω

1

< · · · < ω

n

.

3. Заключение. После нахождения τ , удовлетворяющего усло-

виям (5), задача сводится к максимизации запаса устойчивости,

определяемого как

σ = − max

ν

Res

ν

,

где s

ν

— нули f (s). Из теории D-разбиения следует, что для данного

τ параметр k нужно искать в интервале (0, ˆ

k), где

ˆ

k = min

l

k = (−1)

l+1

n

ν=1

ω

2

ν

−

π

2

l

2

τ

2

k > 0, l = 0, 1, . . . .

Литература

1. Kharitonov V. L., Niculescu S.-I., Moreno J., Michiels W. Static

output feedback stabilization // IEEE Trans. on Automatic Control,

2005.

112

 

2. Математические

методы в механике и

физике

 

Бурова И.Г., Демина А.Ф.

Санкт-Петербургский государственный университет

О гладких сплайнах

с заданным свойством точности

Непрерывные и непрерывно дифференцируемые заданное число

раз минимальные сплайны со свойством точности на полиномах за-

данной степени подробно рассмотрены в монографии [1]. Здесь будут

предложены формулы для минимальных непрерывных и непрерыв-

но дифференцируемых сплайнов со свойством точности на достаточ-

но произвольных функциях.

Пусть функция u ∈ C

m+1

(R

1

), {x

j

} — сетка упорядоченных уз-

лов, r и r

1

— некоторые натуральные числа, m = r + r

1

− 1, функция

ϕ ∈ C

m

[x

k−r

1

+1

, x

k+r

].

1. Непрерывные минимальные сплайны. Предполагаем, что

базисный сплайн ω

j

(x) такой, что supp ω

j

= [x

j−r

, x

j+r

1

].

Теорема 1. На промежутке [x

k

, x

k+1

) аппроксимация u(x) вида

u(x) =

k+r

j=k−r

1

+1

u(x

j

)ω

j

(x),

где

ω

j

(x) =























j =j

−r

1

+1≤j −k≤r

ϕ(x) − ϕ(x

j

)

ϕ(x

j

) − ϕ(x

j

)

,

x ∈ [x

k

, x

k+1

),

k = j − r, . . . , j + r

1

− 1;

0,

x ∈ [x

j−r

, x

j+r

1

],

обладает свойством u(x) ≡ u(x), при u(x) = ϕ

i

(x), i = 0, . . . , m.

Здесь ω

j

∈ C[x

j−r

, x

j+r

1

].

2. Гладкие минимальные сплайны. В этом случае рассмат-

ривается базисный сплайн ω

j

(x), носитель которого на один сеточ-

ный интервал шире носителя сплайна ω

j

(x). Считаем, что supp ω

j

=

[x

j−r

, x

j+r

1

+1

].

Теорема 2. На промежутке [x

k

, x

k+1

) аппроксимация u(x) вида

u(x) =

k+r

j=k−r

1

u(x

j

)ω

j

(x),

113

где

ω

j

(x) =























































p

k

(x)

j =j

−r

1

+1≤j −k≤r

ϕ(x

k−r

1

) − ϕ(x

j

)

ϕ(x

j

) − ϕ(x

j

)

+

+

j =j

−r

1

+1≤j −k≤r

ϕ(x) − ϕ(x

j

)

ϕ(x

j

) − ϕ(x

j

)

,

x ∈ [x

k

, x

k+1

),

k = j − r, . . . , j + r

1

− 1;

−p

j+r

1

(x);

x ∈ [x

j+r

1

, x

j+r

1

+1

);

0,

x ∈ [x

j−r

, x

j+r

1

+1

],

а многочлен p

k

(x) степени 2l + 1 можно взять в виде

p

k

(x) =

l

λ=1

1

λ!

p

(λ)

k

(x

k

)(x − x

k+1

)

l+1

×

×

l−λ

s=0

(−1)

s

(l + s)!

l! s!

(x − x

k

)

λ+s

(x

k

− x

k+1

)

l+s+1

,

p

(λ)

k

(x

k

) = −

−r

1

+1≤j −k≤r−1

(ϕ(x) − ϕ(x

j

))

(λ)

x=x

k

−r

1

+1≤j −k≤r−1

(ϕ(x

k−r

1

) − ϕ(x

j

))

,

обладает свойством u(x) ≡ u(x), при u(x) = ϕ

i

(x), i = 0, . . . , m.

Здесь ω

j

∈ C

l

[x

j−r

, x

j+r

1

].

3. Численные эксперименты. Ниже приведены результаты

численных экспериментов на равномерной сетке с шагом h = 0, 1. В

первом столбце находятся аналитические выражения приближаемых

функций, а в остальных — погрешности приближения. В заголовках

столбцов указаны значения (r

1

, r). Погрешности приближения стро-

им по формуле max

[0, 1]

|u − u|.

Таблица 1. Приближения непрерывными сплайнами при ϕ(x) = x

(1, 1)

(2, 2)

(3, 3)

x

3

7, 13 · 10

−3

0

0

x

5

2, 15 · 10

−2

2, 67 · 10

−4

0

sin x

1, 02 · 10

−3

1, 91 · 10

−6

4, 20 · 10

−9

e

x

3, 23 · 10

−3

6, 07 · 10

−6

1, 26 · 10

−8

114

Таблица 2. Приближения непрерывными сплайнами при ϕ(x) = e

x

(1, 1)

(2, 2)

(3, 3)

x

1, 25 · 10

−3

1, 40 · 10

−5

5, 85 · 10

−7

x

3

3, 74 · 10

−3

7, 71 · 10

−5

6, 25 · 10

−6

x

5

1, 63 · 10

−2

1, 09 · 10

−4

6, 98 · 10

−6

sin x

1, 77 · 10

−3

1, 90 · 10

−5

4, 90 · 10

−7

e

3x

1, 30 · 10

−1

0

0

Таблица 3. Приближения гладкими сплайнами при ϕ(x) = x

(1, 1)

(2, 2)

(3, 3)

x

3

6, 19 · 10

−3

0

0

x

5

1, 50 · 10

−2

2, 33 · 10

−4

0

sin x

9, 11 · 10

−4

1, 71 · 10

−6

3, 86 · 10

−9

e

x

2, 84 · 10

−3

5, 34 · 10

−6

1, 23 · 10

−8

Таблица 4. Приближения гладкими сплайнами при ϕ(x) = sin x

(1, 1)

(2, 2)

(3, 3)

x

1, 74 · 10

−3

1, 29 · 10

−4

4, 82 · 10

−5

x

3

1, 18 · 10

−2

9, 31 · 10

−4

3, 52 · 10

−4

x

5

2, 84 · 10

−2

3, 30 · 10

−3

1, 34 · 10

−3

sin 3x

1, 13 · 10

−2

0

0

e

x

7, 70 · 10

−3

6, 02 · 10

−4

2, 28 · 10

−4

Таблица 5. Приближения гладкими сплайнами при ϕ(x) = e

x

(1, 1)

(2, 2)

(3, 3)

x

1, 20 · 10

−3

1, 34 · 10

−5

5, 50 · 10

−7

x

3

2, 95 · 10

−3

7, 29 · 10

−5

5, 86 · 10

−6

x

5

1, 28 · 10

−2

7, 94 · 10

−5

6, 41 · 10

−6

sin x

1, 53 · 10

−3

1, 36 · 10

−5

3, 72 · 10

−7

e

3x

1, 02 · 10

−1

0

0

Литература

1. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К. Теория минимальных сплайнов.

СПб.: Изд-во СПбГУ, 2000. 316 с.

115

Бурова И.Г., Разжигаев С.В.

Санкт-Петербургский государственный университет

Оценка погрешности приближения непрерывными

экспоненциальными сплайнами третьего порядка

1. Построение непрерывных базисных функций. Пусть

l, s — целые неотрицательные числа, связанные соотношением l +

s = n, {x

j

} — упорядоченная по возрастанию сетка узлов на про-

межутке [a, b]. Функция u(x) задана в узлах сетки. Будем счи-

тать, что u ∈ C

n

[a, b]. Приближение u(x) для функции u(x) на

промежутке [x

j

, x

j+1

] строим по формуле u(x) =

k

u(x

k

)ω

k

(x).

Функции ω

k

(x), называемые базисными, будем находить из условий

u(x) − u(x) = 0, u = ϕ

i

(x), i = 1, . . . , n, где ϕ

i

∈ C

n

[x

j−l+1

, x

j+s

].

При условии supp ω

j

= [x

j−s

, x

j+l

] количество уравнений в систе-

ме совпадает с количеством неизвестных. Система принимает вид

j+s

k=j−l+1

ϕ

i

(x

k

)ω

k

(x) = ϕ

i

(x), i = 1, . . . , n.

В предположении, что определитель Вандермонда, построенный по

системе {ϕ

i

}, i = 1, . . . , n, D =

k+1−l≤i

(ϕ(x

j

) − ϕ(x

i

)), отличен

от нуля на промежутке [x

j−l+1

, x

j+s

] ⊂ [a, b] получаем

ω

j

(x) =























j =j

k+1−l≤j ≤k+s

ϕ(x) − ϕ(x

j

)

ϕ(x

j

) − ϕ(x

j

)

,

x ∈ [x

k

, x

k+1

),

k = j − s, . . . , j + l − 1,

0,

x ∈ [x

j−s

, x

j+l

].

Заметим, что в соответствии с результатами [1], при l ≥ 1, s ≥ 1

базисные сплайны ω

j

непрерывны на промежутке [a, b].

2. Построение решения ассоциированного дифференци-

ального уравнения. Предположим, что определитель Вронского

W (x), построенный по системе {ϕ

i

}, i = 1, . . . , n, отличен от нуля на

промежутке [x

j−l+1

, x

j+s

] ⊂ [a, b].

Пусть Lu = u

(n)

(x) + p

1

(x)u

(n−1)

(x) + . . . + p

n

(x)u(x) = 0 — ли-

нейное, однородное, дифференциальное уравнение, имеющее фунда-

ментальную систему решений ϕ

1

(x), . . . , ϕ

n

(x). Построим общее ре-

116

шение u(x) неоднородного уравнения Lu = f (x) методом вариации

произвольных постоянных [2]. Получаем

u(x) =

n

i=1

ϕ

i

(x)

x

η

W

ni

(t)f (t)

W (t)

dt +

n

i=1

C

i

ϕ

i

(x),

где C

i

— произвольные постоянные, а η — точка из промежутка

[x

j

, x

j+1

], W

ni

— алгебраические дополнения.

3.

Оценка

погрешности.

Оценим

|u(x) − u(x)|.

При

x ∈ [x

j

, x

j+1

] имеем

u(x) − u(x) =

j+s

k=j−l+1

u(x

k

)ω

k

(x) − u(x) =

=

j+s

k=j−l+1

ω

k

(x)

n

i=1

ϕ

i

(x

k

)

x

k

η

W

ni

(t)f (t)

W (t)

dt +

n

i=1

C

i

ϕ

i

(x

k

) −

−

n

i=1

ϕ

i

(x)

x

η

W

ni

(t)f (t)

W (t)

dt −

n

i=1

C

i

ϕ

i

(x).

Ввиду аппроксимационных соотношений из п. 1 и η = x, искомая

оценка принимает вид

|u(x) − u(x)| ≤ Lu

[x

j−l+1

,x

j+s

]

n

i=1

j+s

k=j−l+1

max

x∈[x

j

,x

j+1

]

|ω

k

(x)| ×

× sign(x

k

− x)

x

k

x

ϕ

i

(x

k

)

W

ni

(t)f (t)

W (t)

dt.

4. Оценки погрешности экспоненциальными сплайнами.

Пусть даны функции ϕ

1

(x) = 1, ϕ

2

(x) = e

(x)

, ϕ

3

(x) = e

(2x)

, ϕ

4

(x) =

e

(3x)

. Вронскиан данной системы функций W = 12e

(6x)

. При доста-

точно густой сетке узлов рассмотрим приближение

u(x) =

j+3

k=j

u(x

k

)ω

k

(x), x ∈ [x

j

, x

j+1

],

где из условия u(x) = u(x), u(x) = ϕ

i

(x), i = 1, . . . , 4, s = 1, l = 3,

supp ω

j

= [x

j−1

, x

j+3

], получаем ω

k

, k = j − 2, j − 1, j, j + 1.

117

Уравнение, имеющее данную фундаментальную систему решений

ϕ

i

(x), i = 1, . . . , 4, таково u (x) − 6u (x) + 11u (x) − 6u (x) = 0.

Общее решение уравнения u (x) − 6u (x) + 11u (x) − 6u (x) = f (x)

записываем в виде

u(x) = C

1

+ C

2

e

(x)

+ C

3

e

(2x)

+ C

4

e

(3x)

+

+

1

6

x

η

(u (t) − 6u (t) + 11u (t) − 6u (t))e

(x−t)

жүктеу/скачать 30,48 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: