Процессы управления и устойчивость

Ω

B

1

(t) ≡ Ω

B

2

(t),

Ω

B

2

(t) ≡ Ω

B

3

(t),

. . . ,

Ω

B

N −4

(t) ≡ Ω

B

N −3

(t).

При j ∈ {0, N −3, N −2} сплайны Ω

B

j

могут быть представлены в виде

линейной комбинации сплайнов Ω

B

j

и Ω

B

j+1

. Известны соотношения

Ω

B

i

=

N −1

j=0

d

ij

Ω

B

j

,

i = 0, N − 2,

d

00

=

ξ − x

0

x

2

− x

0

, d

01

= 1, d

0j

= 0 при j = 2, . . . , N − 1,

d

ij

= δ

i+1,j

для i = 1, . . . , N − 4, j = 0, . . . , N − 1,

d

N −3,j

= 0 при j = 0, . . . , N − 3, d

N −3,N −2

= 1,

d

N −2,0

=

x

2

− ξ

x

2

− x

0

, d

N −2,j

= 0 при j = 1, . . . , N − 2,

d

N −3,N −1

=

x

1

− ξ

x

1

− x

−1

, d

N −2,N −1

=

ξ − x

−1

x

1

− x

−1

.

(3)

Эти соотношения называются калибровочными [5], функции Ω

B

j

на-

зываются калибрующими, а функции Ω

B

i

— калибруемыми.

Калибровочные соотношения можно представить в виде матрич-

ного преобразования N -мерного вектора Ω

def

=

(Ω

B

0

, . . . , Ω

B

N −1

) в

(N − 1)-мерный вектор Ω

def

=

(Ω

B

0

, . . . , Ω

B

N −2

): Ω = DΩ, где D

def

=

(d

ij

),

i = 0, N − 2, j = 0, N − 1.

Система функционалов при i = 0, N − 2

g

(i)

def

=

I +

1

2

(x

i+2

− x

i+1

)

d

dt

t=x

i+1

биортогональна системе сплайнов {Ω

B

j

}

j∈0:N −2

. Нетрудно видеть,

что g

(i)

= g

(i+1)

при i = 0, N − 3; заметим, что функционал g

(−1)

=

g

(N −2)

не содержится во множестве функционалов {g

(i)

}

i∈0:N −1

, а

функционалы g

(−1)

= g

(N −1)

и g

(0)

не содержатся во множестве

функционалов {g

(i)

}

i∈0:N −2

.

152

3. Вейвлетное разложение. Положим

P

B

(X)

def

=

{ u | u

def

=

N −1

j=0

c

j

Ω

B

j

, c

j

∈ R}.

Пространство P

B

(X) будем называть пространством 1-периоди-

ческих B-сплайнов второй степени на сетке X, а функции Ω

B

j

—

координатными функциями этого пространства. В соответствии с

этим определением

P

B

(X

1

) = { u | u

def

=

N −2

j=0

c

j

Ω

B

j

, c

j

∈ R}

является пространством 1-периодических B-сплайнов второй сте-

пени на сетке X

1

. Согласно соотношениям (3) справедливо вклю-

чение P

B

(X

1

) ⊂ P

B

(X). Рассмотрим оператор P проектирования

пространства P

B

(X) на подпространство P

B

(X

1

), задаваемый фор-

мулой

P u

def

=

N −2

j=0

g

(j)

, u Ω

B

j

,

u ∈ P

B

(X),

и введем оператор Q = I − P , где I — тождественный оператор.

Пространством вейвлетов (всплесков) называется пространство

W

def

=

QP

B

(X). Получим прямое разложение P

B

(X) = P

B

(X

1

) ⊕ W

— сплайн-вейвлетное разложение пространства P

B

(X).

Пространство W одномерно; пусть ψ – некоторый ненулевой

элемент этого пространства, так что W = {cψ|c ∈ R}. Пред-

ставляя ψ как линейную комбинацию координатных функций Ω

B

j

:

ψ =

N −1

j=0

h

j

Ω

B

j

, ввиду условий g

(i)

, ψ = 0, i = 0, N − 2, получаем

уравнение Gh = 0 относительно коэффициентов h

def

=

(h

0

, . . . , h

N −1

);

здесь G — прямоугольная матрица,

G =









g

(0)

, Ω

B

0

g

(0)

, Ω

B

1

. . .

g

(0)

, Ω

B

N −1

g

(1)

, Ω

B

0

g

(1)

, Ω

B

1

. . .

g

(1)

, Ω

B

N −1

. . .

. . .

. . .

. . .

g

(N −2)

, Ω

B

0

g

(N −2)

, Ω

B

1

. . .

g

(N −2)

, Ω

B

N −1







 .

Элементы матрицы G вычисляются по формулам

153

g

(i)

, Ω

B

j

= δ

i+1,j

при i = 0, N − 2, j = 0, N − 1,

g

(N −2)

, Ω

B

j

= 0 при j = 0, N − 3,

g

(N −2)

, Ω

B

N −2

=

ξ − x

1

ξ − x

−1

,

g

(N −2)

, Ω

B

N −1

=

x

1

− x

−1

ξ − x

−1

.

Матрица G имеет полный ранг, её базисным минором служит минор,

составленный из столбцов с номерами 1, . . . , N − 1, а базисом ненуле-

вых решений системы Gh = 0 является вектор h = (1, 0, . . . , 0). Отсю-

да определяем искомое пространство вейвлетов: W = {c Ω

B

0

| c ∈ R}.

4. Формулы реконструкции. Возьмем элемент u ∈ P

B

(X) и

его проекции на (N − 1)-мерное подпространство P

B

(X

1

) и 1-мерное

подпространство W

u =

N −1

j=0

a

j

Ω

B

j

,

P u =

N −2

i=0

a

i

Ω

B

i

,

Qu = b

0

Ω

B

0

.

(4)

Пусть известны коэффициенты a

i

и b

0

в представлениях проекций

элемента u. Из соотношений (4) получаем

N −1

j=0

a

j

Ω

B

j

=

N −2

i=0

a

i

Ω

B

i

+ b

0

Ω

B

0

;

используя (3) и меняя порядок суммирования, находим

N −1

j=0

a

j

Ω

B

j

=

N −1

j=0

N −2

i=0

a

i

d

ij

Ω

B

j

+ b

0

Ω

B

0

.

Отсюда имеем

a

0

=

N −2

i=0

a

i

d

i0

+ b

0

,

a

j

=

N −2

i=0

a

i

d

ij

при j = 1, N − 1.

(5)

Формулы (5) называются формулами реконструкции.

Введем обозначения a

def

=

(a

0

, . . . , a

N −1

)

T

,

a

def

=

(a

0

, . . . , a

N −2

)

T

,

b

def

=

(b

0

, . . . , 0)

T

. Формулы реконструкции могут быть представлены

с помощью транспонированной матрицы D

T

: a = D

T

a + b.

154

5. Формулы декомпозиции. Пусть в (4) известны коэф-

фициенты a

j

в разложении элемента u ∈ P

B

(X) по элементам базиса

Ω

B

j

. Требуется найти коэффициенты a

i

и b

0

сплайн-вейвлетного раз-

ложения.

Из равенств a

i

= g

(i)

, u =

N −1

j=0

g

(i)

, Ω

B

j

a

j

следует формула

a = Ga и, таким образом, b = a − D

T

Ga. Отсюда имеем

a

j

= a

j+1

при j = 0, N − 3,

a

N −2

= [(ξ − x

1

)a

N −2

+ (x

1

− x

−1

)a

N −1

](ξ − x

−1

)

−1

,

b

0

= (x

2

− x

0

)

−1

(ξ − x

−1

)

−1

[(x

2

− x

0

)(ξ − x

−1

)a

0

−

−(ξ − x

0

)(ξ − x

−1

)a

1

+ (x

2

− ξ)(x

1

− ξ)a

N −2

−

−(x

1

− x

−1

)(x

2

− ξ)a

N −1

].

Литература

1. Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основы теории всплесков // Успехи

математических наук, 1998. Т. 53, № 6 (324). С. 53–128.

2. Чуи К. Введение в вейвлеты. М.: Мир, 2001. 412 с.

3. Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов. М.: Мир, 2005. 671 с.

4. Демьянович Ю.К. Всплесковые разложения в пространствах

сплайнов на неравномерной сетке // Доклады РАН, 2002. Т. 382.

№ 3. С. 313–316.

5. Демьянович Ю.К. Калибровочное соотношение для B-сплайнов

на неравномерной сетке // Математическое моделирование, 2001.

Т. 13. № 9. С. 98–100.

155

Зубов А.В., Зубова О.А.

Санкт-Петербургский государственный университет

Колебательные режимы

управляемых механических систем

Рассмотрена задача стабилизации кинематических траекторий

многомерных механических систем при наличии ударных нагрузок.

Построенные законы управления, обеспечивающие сколь угодно точ-

ную стабилизацию кинематических траекторий, в ряде конкретных

случаев позволяют не только найти оценки, характеризующие точ-

ность стабилизации, но и установить природу колебательных про-

цессов.

Рассмотрим механическую систему с k степенями свободы, опи-

сываемую системой дифференциальных уравнений вида

A

0

¨

X + A

1

˙

X + A

2

X = G(t, X, ˙

X) + BU + F (t, X, ˙

X),

(1)

где A

0

, A

1

, A

2

, B – (k × k)-матрицы, X – вектор обобщенных коор-

динат, ˙

X – вектор обобщенных скоростей, F – вектор возмущений,

U – вектор управлений, G – вектор известных функций.

Пусть матрица A

0

– невырожденная, положительно-определенная,

матрицы A

1

, A

2

– постоянные, B – невырожденная. Задача состоит

в том, чтобы выбрать вектор управления U таким образом, чтобы

все движения располагались в достаточно малой окрестности кине-

матической траектории R(t) по истечении некоторого времени пере-

ходного процесса.

При построении кусочно-постоянных управляющих воздействий

будем использовать релейную гистерезисную функцию φ(y) и релей-

ную функцию, содержащую зону нечувствительности ψ(y):

φ(y) =

+1 при y < l,

−1 при y > −l,

ψ(y) =

+1 при y < −s,

−1 при y > s,

где l, s > 0 – некоторые константы.

Определение. Допустимыми управлениями будем называть

управления вида U = U

1

+ U

0

, где U

1

– известный вектор-столбец,

определение которого каждый раз уточняется, U

0

– вектор-столбец,

компоненты которого определяются одним из соотношений

u

0j

=

k

i=1

β

ij

φ(σ

ij

) или u

0j

=

k

i=1

γ

ij

ψ(σ

ij

),

156

где σ

ij

– линейные формы обобщенных скоростей и обобщенных ко-

ординат, β

ij

, γ

ij

– константы.

Рассмотрим сначала вопрос построения закона прямого регули-

рования в случае отсутствия ударных нагрузок.

Теорема 1. При отсутствии ударных нагрузок F

y∂

= 0 для

любого ε > 0 существует управление U (ε) из класса допустимых

такое, что

X(t, t

0

, X

0

) − R(t) < ε при t ≥ T .

При этом величина T зависит известным образом от началь-

ных значений обобщенных координат и обобщенных скоростей. Бо-

лее того, существует семейство управлений U , обладающих ука-

занными свойствами, для которого зона гистерезиса или зона

нечувствительности удовлетворяет условию l ≥ aε, или соответ-

ственно, s ≥ aε, где a – некоторая константа, большая нуля.

Рассмотрим теперь решение поставленной задачи в случае нали-

чия ограниченных ударных нагрузок.

Теорема 2. При наличии ограниченных ударных нагрузок, т.е.

при max

i

t

o

+ t

t

0

F

i

y∂

< k

i

, для любого ε > 0 существует управление

U

ε

(k

i

) из класса допустимых такое, что

X(t, t

0

, X

0

) − R(t) < ε при t ≥ T .

При этом величина T зависит известным образом от началь-

ных значений обобщенных координат и скоростей. Более того, су-

ществует семейство управлений U

ε

(k

i

), обладающих указанным

свойством, и для которого зона гистерезиса или зона нечувстви-

тельности удовлетворяет условию l ≥ aε, или s ≥ aε соответ-

ственно, где a – некоторая константа, не зависящая от k

i

.

Замечание 1. Семейства управлений, построенных в теоремах

1 и 2, решают поставленную задачу стабилизации кинематической

траектории R(t), а уравнения, связывающее x

i

и ˙

x

i

, позволяют оце-

нить обобщенные скорости и сделать их сколь угодно малыми, если

l (или s) и ε достаточно малы.

Теорема 3. При применении допустимого управления, содер-

жащего петлю гистерезиса, единичная ограниченная ударная на-

грузка max

i

t

o

+ t

t

0

F

i

y∂

< k

i

меняет природу колебательного режима

в управляемой механической системе.

157

Замечание 2. Семейства управлений, построенных в теоремах 1

и 2, не только решают задачу стабилизации кинематической траек-

тории R(t), но и позволяют при этом оценить природу колебатель-

ных режимов в управляемой механической системе, а также найти

условия изменения этой природы. Это возможно только при при-

менении управлений, содержащих петлю гистерезиса, что на прак-

тике приводит к тому, что необходимо постоянно затрачивать энер-

гию на создание управляющих колебательных режимов. Иначе, си-

стема управления автоколебательной механической системой долж-

на вырабатывать управляющие воздействия, являющиеся заданной

функцией времени, компенсация потерь должна происходить за счет

какого-то источника энергии. Платой за качество поведения управ-

ляемой механической системы в этом случае будет повышенное энер-

гопотребление системы управления.

Замечание 3. Как следует из доказательств теорем 1 и 2, ис-

пользование в законе регулирования релейных функций гистере-

зисного типа и содержащих зону нечувствительности равнозначно.

Однако во втором случае, оказывается, невозможно провести каче-

ственный анализ поведения управляемой механической системы.

Вообще говоря, при применении релейных гистерезисных функ-

ций, содержащих зону нечувствительности, в системе возникает

асимптотически устойчивое интегральное многообразие, к которо-

му сходятся все решения. В первом случае все-таки удается провести

анализ структуры этого интегрального многообразия и выяснить, из

каких решений оно состоит (периодических, почти периодических и

более общей природы).

Литература

1. Зубов А.В., Шабурова О.А. Управление динамическими система-

ми. СПб.: Изд-во НИИ Химии СПбГУ, 2005.

2. Зубов А.В., Зубов Н.В., Мухин А.В. Релейно - импульсные управ-

ления и стабилизация динамических систем. СПб.: Изд-во НИИ

Химии СПбГУ, 2002.

158

Кримская К.А.

Санкт-Петербургский государственный университет

Математическое моделирование

полевой электронной пушки

Рекомендовано к публикации доцентом Виноградовой Е.М.

1. Введение. В связи с развитием микроэлектроники и появле-

нием новых электронных приборов (туннельные микроскопы, про-

свечивающие микроскопы сверхвысокого разрешения ) за послед-

ние годы значительно вырос интерес к явлению полевой эмиссии –

это эмиссия электронов из твердого тела в вакуум под воздействием

достаточно сильного электрического поля. При расчете характери-

стик электронных пушек с полевыми эмиттерами основная слож-

ность заключается в том, что размеры эмиттера и фокусирующих

электродов системы отличаются на несколько порядков. Одним из

способов решения данного класса задач является метод парных урав-

нений [1, 2]. Данный метод может применяться в том случае, если

выполнены следующие требования: поверхности электродов, обра-

зующих электронно-оптическую систему, являются частями коорди-

натных поверхностей некоторой ортогональной системы координат;

переменные в уравнении Лапласа в этой системе координат разде-

ляются. Большую роль при решении краевых задач математической

физики играют полиномы Лежандра. В частности, с помощью рядов

по этим полиномам (их иногда называют рядами Фурье – Лежандра)

можно осуществить точное решение многих осесимметричных задач

теории потенциала в сферических, бисферических и сфероидальных

координатах. В данной работе моделируется электронная пушка с

полевым катодом. Физическая постановка задачи представлена на

рис. 1.

Острие находится на сферической подложке и является катодом,

часть сферической подложки является анодом. Для решения задачи

рассматривается упрощенная модель, где острие с кратером моде-

лируется одним сферическим сегментом. В данном случае острие

является сегментом, т.е. частью сферы β = β

0

в качестве анода вы-

ступает сфера, т.е. поверхность β = β

1

. Потенциал на катоде равен

нулю, потенциал на аноде равен V .

159

жүктеу/скачать 30,48 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: