Процессы управления и устойчивость

Рассматриваемая граничная задача сводится к задаче Римана –

Гильберта нахождения кусочно-голоморфной функции по ее скач-

ку на заданной линии. Ее решение при отсутствии напряжений и

поворотов на бесконечности, согласно [1], имеет вид

Φ

1

(z) =

µ

1

µ

2

+ µ

1

κ

2

[κ

2

Σ(z) + 2µ

2

U (z)] , z ∈ Ω

2

,

Φ

1

(z) =

µ

1

µ

2

+ µ

1

κ

2

[Σ(z) − 2µ

2

U (z)] , z ∈ Ω

1

,

Φ

2

(z) = −Φ

1

(z) + Σ(z),

где

Σ(z) =

1

2πi

∞

−∞

σ(t)

t − z

dt, U (z) = −

1

2πi

∞

−∞

u (t)

t − z

dt.

Таким образом, решение задачи 1 построено, так как, зная функ-

ции Φ

1

(z) и Φ

2

(z), можно вычислить напряжения и перемещения в

каждой из полуплоскостей с помощью формул (4).

Задача 2. Рассмотрим задачу о криволинейной трещине, распо-

ложенной в изотропной плоскости со свойствами среды Ω

1

. На беско-

нечности напряжения и повороты отсутствуют. На берегах трещины

при |ξ

1

| ≤ l заданы напряжения, а вне трещины при |ξ

1

| ≥ l имеем

условия сопряжения

σ

±

(ξ

1

) = p (ξ

1

),

|ξ

1

| ≤ l,

σ

+

(ξ

1

) = σ

−

(ξ

1

),

u

+

(ξ

1

) = u

−

(ξ

1

), |ξ

1

| ≥ l.

(6)

Решение задачи сводится к нахождению двух комплексных потен-

циалов Φ(z), Υ(z), которые голоморфны во всей плоскости, кроме

разреза. Напряжения и перемещения выражаются через эти потен-

циалы по формулам (5).

Для решения задачи применим метод возмущений, комплексные

потенциалы и функцию p (ζ) разложим в ряды по степеням малого

параметра ε

Φ(ζ) =

∞

n=0

ε

n

n!

Φ

n

(ζ), Υ(ζ) =

∞

n=0

ε

n

n!

Υ

n

(ζ), p (ζ) =

∞

n=0

ε

n

n!

p

n

(ζ). (7)

170

Граничные значения этих функций и их производных на Γ

c

предста-

вим в виде соответствующих рядов Маклорена в окрестности ξ

2

= 0,

рассматривая переменную ξ

1

как параметр. В итоге, в соответствии с

[3], решение данной задачи сводится к решению последовательности

двух независимых задач Гильберта и имеет вид

Φ

n

(ζ) =

1

2

(I

1n

(ζ) + I

2n

(ζ)) , Υ

n

(ζ) = Φ

n

(ζ) − I

1n

(ζ),

I

1n

(ζ) =

1

2πi

l

−l

H

1n

(t)

t − ζ

dt,

I

2n

(ζ) =

1

2πiX(ζ)

l

−l

X(t)(H

2n

(t) + p

n

(t))

t − ζ

dt,

X(ζ) =

ζ

2

− l

2

,

где функции H

1n

(ζ), H

2n

(ζ) зависят от предыдущих приближений, а

p

n

(ζ) — коэффициенты разложения в ряд неизвестной функции (6).

Перейдем к рассмотрению исходной задачи. Удовлетворим гра-

ничному условию на трещине (1). Подставив в него (3) — (5), придем

к следующему краевому условию

Φ(ζ) + Φ(ζ) + Υ(ζ) − Φ(ζ) + (ζ − ζ)Φ (ζ)

1 −

2if (ξ

1

)

1 + iεf (ξ

1

)

+

+Φ

1

(z) + Φ

1

(z) − Φ

1

(z) + Φ

1

(z) − (z − z)Φ

1

(z) e

−2iα

= p

0

(ζ).

Воспользуемся связью между комплексными потенциалами 1 и 2 за-

дач, выразив Φ

1

(z), Φ

2

(z) через Φ(ζ), Υ(ζ). Заменим эти комплекс-

ные потенциалы рядами (7) и для n-го приближения получим сле-

дующее интегральное уравнение

p

n

(ξ

1

) + M (Φ

n

, Υ

n

) =

(if (ξ

1

))

n

n!

p

(n)

0

(ξ

1

) − A

n

(ξ

1

),

(8)

где p

n

(ξ

1

) – неизвестные функции; A

n

(ξ

1

), – функции, зависящие от

всех предыдущих приближений; M (Φ

n

, Υ

n

) – интегральный опера-

тор.

171

Интегральное уравнение (8) в развернутом виде является очень

громоздким и сложным для решения. Поэтому предложен числен-

ный метод его решения. Суть метода состоит в том, что в каждом

приближении по малому параметру ε для заданной и искомой функ-

ций нагрузки используется полиномиальная аппроксимация по аргу-

менту. Для отыскания неизвестных коэффициентов искомой функ-

ции применяется метод коллокации. В соответствии с количеством

удерживаемых членов ряда, промежуток интегрирования разбива-

ется на части. В результате задача сводится к решению линейной

алгебраической системы уравнений.

Численное решение, соответствующее частному случаю прямо-

линейной наклонной трещины при µ

2

= 0 (свободная граница) и

µ

2

= ∞ (жесткая граница) для заданных нагрузок, построено и про-

анализировано в [1]. Решение поставленной задачи в первом прибли-

жении для криволинейной трещины является предметом дальней-

шего исследования.

Литература

1. Греков М.А. Сингулярная плоская задача теории упругости СПб.:

Изд-во СПбГУ, 2001. 192 с.

2. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической

теории упругости. М.: Наука, 1966. 140 с.

3. Греков М.А. Слабо искривленная трещина в изотропном теле //

Вестник СПбГУ, 2002. Сер. 1, вып. 3. С. 74–80.

172

Мутул М.Г.

Санкт-Петербургский государственный университет

Разработка адаптивного метода подавления шума

Рекомендовано к публикации доцентом Вараюнь М.И.

1. Введение. Известно, что результаты практических измере-

ний, подлежащие обработке, содержат определенный полезный сиг-

нал на фоне различного рода помех (шумов), при этом спектр полез-

ного сигнала наложен на спектр шумов. Проблема устранения шу-

мов стоит во многих областях науки и техники. В настоящее время

имеется целый ряд методов обработки данных, достаточно давно и

широко известных, которые относятся к методам фильтрации [1–4].

Сущность фильтрации сигналов состоит в направленном изменении

частотного состава данных, которые несет сигнал. Так, одним из

наиболее распространенных, эффективных и простых в применении

фильтров для подавления шума, в частности, нормально распреде-

ленного, является скользящее арифметическое усреднение

f

i

1

=

1

η

i+M

j=i−M

f

j

,

η = 2M + 1.

(1)

Здесь f , f — сигналы до и после обработки, соответственно, M —

параметр, определяющий ширину скользящего окна, M = 1, 2, . . .

Фильтры типа (1) могут быть обобщены путем введения весовых

множителей

f

i

2

=

1

η

i+M

j=i−M

α

j+M +1−i

f

j

,

(2)

где на весовые коэффициенты α

k

, k = 1, . . . , η, накладывается урав-

нение связи

η

k=1

α

k

= η.

(3)

Фильтр (2) можно назвать адаптивным, если выбор весов зави-

сит от значений последовательности обработанных данных. Целью

работы является построение алгоритма адаптивной обработки сиг-

нала на основе (2).

173

2. Построение метода. Рассмотрим меру колебания сигнала в

виде

J

2

=

N −1

i=1

(f

i+1

2

− f

i

2

)

2

,

(4)

где N — количество точек обрабатываемого сигнала.

Будем искать коэффициенты α

k

, k = 1, . . . , η, обеспечивающие

минимум функции (4). Задача поиска условного экстремума функ-

ционала (4) с уравнением связи (3) может быть сведена к определе-

нию безусловного экстремума функции Лагранжа

L = J

2

+ λ

η

k=1

α

k

− η ,

где λ — множитель Лагранжа. Неизвестные коэффициенты α

k

могут

быть найдены из системы линейных алгебраических уравнений

∂L

∂α

k

= 0,

∂L

∂λ

= 0,

k = 1, . . . , η.

(5)

После несложных преобразований система (5) сводится к виду

AX = B,

где коэффициенты матрицы A = {a

kj

}

(η+1)×(η+1)

имеют вид

a

kj

=

2

η

2

N −1

i=1

f

i+j+1−M

− f

i+j−M

f

i+k+1−M

− f

i+k−M

,

a

k,η+1

= a

η+1,j

= 1, k, j = 1, . . . , η,

a

η+1,η+1

= 0,

X, B — векторы-столбцы, составленные из неизвестных и свободных

членов соответственно

X =











α

1

..

.

α

η

λ











,

B =











0

..

.

0

η











.

Решение такой системы было получено аналитически и может быть

представлено в виде

174

α

k

=

k

, k = 1, . . . , η,

λ =

η+1

,

где

— определитель матрицы из коэффициентов уравнений си-

стемы,

k

— определитель, полученный заменой в определителе

столбца из коэффициентов при неизвестной x

k

столбцом свободных

членов системы.

Таким образом, был построен и реализован адаптивный фильтр

вида (2) для обработки зашумленного сигнала, где в качестве коэф-

фициентов выступает решение системы (5).

3. Реализация метода. Проанализируем работу адаптивного

фильтра на примере конкретного сигнала. В качестве анализируемо-

го сигнала рассмотрим плотность внешнего энергетического распре-

деления электронов металлического образца. Эта функция может

быть представлена в следующем виде

f

i

= N

ext

(E

i

, F ) =

4πmkT

h

3

ln 1 + exp −

E

i

−µ

kT

×

× exp −

4

√

2m

3¯

heF

(Φ − E

i

+ µ)

3

2

,

(6)

где E

i

— значения полной энергии электрона, F — напряженность

электрического поля, Φ — работа выхода, µ — электрохимический

потенциал, ¯h =

h

2π

, h — постоянная Планка, T — температура в

Кельвинах.

Для моделирования зашумленного сигнала в идеальный сигнал

(6) внесем нормально распределенные случайные величины с нуле-

вым математическим ожиданием и постоянной дисперсией

f

i

= N

ext

= N

ext

+ ζ,

ζ ∈ N (0, σ

2

),

σ

2

= δN

max

= const.

Для сравнения результатов применения адаптивного фильтра (2)

и простого скользящего усреднения (1) было использовано графиче-

ское представление. Кроме того, производилось сравнение значений

мер колебания идеального, зашумленного и обработанного сигна-

лов, рассчитанные по формулам, аналогичным (4). Также составле-

ны таблицы относительных погрешностей методов при однократном

применении фильтров для различных значений параметра δ. Фор-

мула для расчета погрешностей приведена ниже:

ε

1

=

max

M +1≤i≤N −M

f

i

− f

i

f

i

.

175

По этим данным можно судить об ухудшении или улучшении ка-

чества обработки сигнала.

4,7

4,8

4,9

5,0

5,1

5,2

5,3

-1x10

21

0

1x10

21

2x10

21

3x10

21

4x10

21

E,

f

4,7

4,8

4,9

5,0

5,1

5,2

5,3

-1x10

21

0

1x10

21

2x10

21

3x10

21

4x10

21

,

 

f

а

б

Рис. 1. Обработка модельного сигнала. Кружками, пунктиром, сплошной

линией обозначены идеальный, зашумленный, обработанный сигналы

соответственно (а — простое усреднение, б — адаптивный фильтр).

J = 7, 62 ∗ 10

41

, J = 2, 16 ∗ 10

43

, J

1

= 2, 26 ∗ 10

42

, J

2

= 1, 89 ∗ 10

42

При моделировании зашумленного сигнала были использованы

следующие параметры: Φ = 4, 5 эВ, F = 10

9

В/м, µ = 5 эВ, T = 300

K, δ = 0, 09, N = 100, M = 2.

Как видно из графиков, адаптивный фильтр дает более сглажен-

ный результат, чем скользящее арифметическое усреднение. С точки

зрения меры колебания сигнала J обработка зашумленного сигнала

адаптивным методом также дает более качественный результат по

сравнению с простым усреднением.

Таблица 1. Погрешность простого усреднения

δ

0,03

0,05

0,07

0,09

ε

1

0,61

1,02

1,43

1,85

Таблица 2. Погрешность адаптивного усреднения

δ

0,03

0,05

0,07

0,09

ε

1

0,60

1,00

1,40

1,80

Из таблиц 1,2 видно, что в зависимости от параметров шума,

содержащегося в сигнале, могут быть получены различные резуль-

таты.

4. Выводы. В результате проделанной работы был построен

адаптивный фильтр на основе взвешенного скользящего усреднения.

176

Анализ работы реализованного адаптивного метода позволяет сде-

лать вывод о том, что фильтр (2) дает лучший результат, чем сколь-

зящее арифметическое усреднение.

Литература

1. Шумы при измерениях / Под ред. А.К. Нарышкина. М.: Мир,

1979. 220 с.

2. Адаптивная обработка сигналов / Под ред. В.В. Шахгильдяна.

М.: Радио и связь, 1989. 440 с.

3. Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричикова Е.А. Справочник по высшей

математике. М.: ТетраСистемс, 1999. 480 с.

4. Быстрые алгоритмы в цифровой обработке изображений / Под

ред. Т.С. Хуанга. М.: Радио и связь, 1984. 340 с.

177

Перегудин С.И., Холодова С.Е.

Санкт-Петербургский государственный университет

Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарёва

Двумерные длинные волны в канале

с деформируемым основанием

Рассмотрим задачу о движении двух слоев идеальной тяжелой

несжимаемой жидкости в канале над деформируемым дном. Смо-

делируем рассматриваемую среду как трехслойную — два слоя од-

нородной жидкости, грунт. Нижняя жидкость имеет плотность ρ

1

,

верхняя — ρ

2

. Расположим декартову прямоугольную систему коор-

динат таким образом, что ось x совпадает с невозмущенной поверх-

ностью раздела водных слоев, ось z направлена вертикально вверх.

Средняя толщина верхнего слоя — H

2

, нижний слой в предполо-

жении горизонтальности дна имеет высоту H

0

. Внутренняя поверх-

ность недеформируемой твердой крышки имеет вид z = H

2

+ η

2

(x),

поверхность раздела водных слоев: z = η

1

(x, t), поверхность раздела

жидкость–грунт: z = −H(x, t) = −H

0

+ η

(

x, t). На поверхности раз-

дела водных слоев образуются волны, при движении нижнего слоя

происходит взаимодействие жидкости с грунтом, частицы донного

слоя при этом также приходят в движение. Движение жидкости в

слое будем считать потенциальным. Исходная задача в безразмерном

виде примет вид

µϕ

jxx

+ ϕ

jzz

= 0,

µ =

H

∗

L

2

,

µ η

2x

ϕ

2x

= ϕ

2z

,

z = H

2

+ η

2

(x),

µ (η

1t

+ η

1x

ϕ

jx

) = ϕ

jz

,

z = η

1

(x, t),

ρ

1

ϕ

1t

+

1

2

(ϕ

1x

)

2

+

1

µ

(ϕ

1z

)

2

− ρ

2

ϕ

2t

+

1

2

(ϕ

2x

)

2

+

1

µ

(ϕ

2z

)

2

+

+(ρ

1

− ρ

2

)η

1

= ρ

1

f

1

− ρ

2

f

2

,

z = η

1

(x, t),

µ (η

t

+ η

x

ϕ

1x

) = ϕ

1z

,

η

t

+ Q

x

= 0,

z = −H

0

+ η(x, t).

Здесь Q — скалярная функция, характеризующая твердый расход

[3, 6, 7–9], L и H

∗

— соответственно характерный горизонтальный и

вертикальный масштабы.

Проинтегрируем каждое уравнение Лапласа по переменной z с

учетом соответствующих граничных условий [1–4]. Предположим,

178

согласно Ф. Экснеру, что зависимость твердого расхода от придонной

скорости жидкости происходит по линейному закону [3, 4, 7–10]:

Q(x, t) = κu

b

(x, t),

u

b

(x, t) =

∂ϕ

∂x

z=−H

0

+η(x,t)

,

где величина κ характеризуется реологией грунта и для каждого ка-

нала должна быть определена экспериментально. С учетом данного

предположения последнее граничное условие примет вид

η

t

+ κu

bx

= 0,

z = −H

0

+ η(x, t).

Рассматривая уравнения движения жидкости и граничные усло-

вия на деформируемом дне и твердой крышке, представляя потенци-

алы скорости в виде степенных рядов по дисперсионному параметру

µ [1–4]:

ϕ

j

(x, z, t; µ) =

∞

i=0

ϕ

ji

(x, z, t)µ

i

,

заключаем, что зависимость ϕ

j

(x, z, t) от вертикальной координаты

имеет вид

ϕ

1

(x, z, t) =

∞

k=0

α

k

(x, z, t; µ) (z + H

0

− η(x, t))

k

,

ϕ

2

(x, z, t) =

∞

k=0

β

k

(x, z, t; µ) (z − H

2

− η

2

(x, t))

k

.

(1)

Произведя необходимое дифференцирование, заключаем, что урав-

нение Лапласа в длинноволновом приближении эквивалентно рекур-

рентному соотношению для коэффициентов соответствующего сте-

пенного ряда

α

k+2

= µ

(k + 1) 2 η

x

α

(k+1)x

+ η

xx

α

k+1

− α

kxx

(k + 1)(k + 2) [1 + µη

x

2

]

,

β

k+2

= µ

(k + 1) 2 η

2x

β

(k+1)x

+ η

2xx

β

k+1

− β

kxx

(k + 1)(k + 2) [1 + µη

2x

2

]

,

k ≥ 0.

(2)

Кинематические условия на поверхности деформируемого дна и

недеформируемой крышки означают

α

1

= µ

η

t

+ η

x

α

x

1 + µη

x

2

,

β

1

= µ

η

2x

β

x

1 + µη

2x

2

,

α = α

0

,

β = β

0

,

179

граничное условие, связывающее ординату поверхности дна с твер-

дым расходом примет вид

η

t

+ κ [α

xx

− η

xx

α

1

− η

x

α

1x

] = 0.

(3)

Из рекуррентных соотношений (2) нетрудно видеть, что коэффи-

циенты α

1

, α

жүктеу/скачать 30,48 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: