Процессы управления и устойчивость

Таким образом, x

1

= x

∗

− α, x

2

= x

∗

+ α, где α – решение уравнения

h

1

(α) = h

2

(α). При этом

h

1

(α) =

x

∗

−α

−∞

f

1

(x)dx +

∞

x

∗

+α

f

1

(x)dx,

h

2

(α) =

x

∗

+α

x

∗

−α

f

2

(x)dx.

Нахождение α не представляет трудностей. Так как h

1

(α) – убываю-

щая при увеличении α функция, а h

2

(α) – возрастающая, то сущест-

вует единственное решение этого уравнения, а потому существует

и единственная точка минимума функции Φ

2

(Q

1

, Q

2

) на множестве

S

2

.

Полученные решения (множества Q

∗

1

и Q

∗

2

и для задачи 1, и для

задачи 2) могут оказаться не точками минимума, а точками макси-

мума. В последнем случае необходимо поменять местами множества

Q

∗

1

и Q

∗

2

.

Рассмотрим теперь множество S

3

. Так как f

1

(x) > 0, f

2

(x) > 0 на

R, то для функционала Φ

2

(Q

1

, Q

2

) условия (8) и (9) невозможны, и

остается только случай F

1

(x

∗

1

, x

∗

2

, x

∗

3

) = F

2

(x

∗

1

, x

∗

2

, x

∗

3

), для которого

должны выполняться условия (10) и (11). Тогда из (10) и (11)

x

1

+ x

2

2

=

a

1

σ

2

2

− a

2

σ

2

1

σ

2

2

− σ

2

1

,

x

1

+ x

3

2

=

a

1

σ

2

2

− a

2

σ

2

1

σ

2

2

− σ

2

1

,

т.е. x

2

= x

3

. Отсюда заключаем, что

inf

[Q

1

,Q

2

]∈S

3

Φ

2

(Q

1

, Q

2

) =

inf

[Q

1

,Q

2

]∈S

2

Φ

2

(Q

1

, Q

2

).

Это означает, что

inf

[Q

1

,Q

2

]∈S

Φ

2

(Q

1

, Q

2

) =

inf

[Q

1

,Q

2

]∈S

2

Φ

2

(Q

1

, Q

2

).

Ранее подобное утверждение было установлено для функционала

Φ

1

(Q

1

, Q

2

).

Таким образом, в случае нормально распределенных величин для

задач 1 и 2 достаточно ограничиться множеством S

2

. При этом в оп-

тимальном решении (это пара множеств [Q

∗

1

, Q

∗

2

]) одно из множеств

является конечным интервалом, а второе – его дополнением до R.

Литература

1. Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. М.: Наука,

1982. 144 с.

133

Долгов С.Л.

Санкт-Петербургский государственный университет

Математическое моделирование

многоострийной эмиссионной системы

с помощью точечных зарядов

Рекомендовано к публикации профессором Егоровым Н.В.

Рассматривается задача моделирования многоострийной эмисси-

онной системы, состоящей из периодически расположенных острий

на проводящей подложке (катод), и плоскости, параллельной под-

ложке (анод).

Предлагается для представления каждого острия использовать

набор точечных зарядов, расположенных на его оси. Аналитическое

выражение для потенциала в такой системе получено в работе [1].

Целью данной работы является дальнейшее исследование этого ана-

литического выражения и изучение возможности задания требуемой

формы острия выбором величин зарядов.

y

z

x

U = 0

U = U

0

Рис. 1. Общий вид системы

Итак, физической моделью в

нашей задаче являются две бес-

конечные проводящие плоскости

z = 0 и z = c с потенциала-

ми 0 и U

0

(рис. 1), перпенди-

кулярные оси z декартовой си-

стемы координат, и находящие-

ся в параллельных им плоскостях

z = z

1

, . . . , z = z

N

множества за-

рядов величиной соответственно

q

1

, . . . , q

N

, так что заряды q

p

за-

полняют все точки с координата-

ми (x, y, z)

q

p

= (2a i, 2b j, z

p

),

i, j = 0, ±1, . . . . Группа зарядов, со-

ответствующих фиксированной паре значений (i, j), представляет

острие.

Тогда задача сводится к решению уравнения Пуассона в замкну-

той области, задаваемой неравенствами |x| ≤ a, |y| ≤ b и 0 ≤ z ≤ c,

и являющейся «элементарной ячейкой» (рис. 2) с единственным

134

«острием» в центре [3]

∂

2

U

∂x

2

+

∂

2

U

∂y

2

+

∂

2

U

∂z

2

= −

N

p=1

q

p

δ(x)δ(y)δ(z − z

p

).

(1)

y

x

z

z

1

q

1

z

r

q

r

z

r+1

q

r+1

z

N

q

N

z = z

0

= 0

z = z

N +1

= c

b

a

Рис. 2. Область, в которой решается уравнение

Граничные условия определяются заданными потенциалами об-

кладок и симметрией задачи:















z = 0 : U = 0,

z = c : U = U

0

,

x = ±a : ∂U /∂x = 0,

y = ±b : ∂U /∂y = 0.

(2)

Аналитическое решение системы (1) с граничными условиями (2)

получено в [1] в виде ряда для z

r

< z < z

r+1

U (x, y, z) = U

0

z

c

+

1

4abc

r

p=1

q

p

(c − z)z

p

+

N

p=r+1

q

p

(c − z

p

)z +

+

∞

k,l=0

k2+l2=0

X

k

(x)Y

l

(y)

1

abλ

kl

sh λ

kl

c

r

p=1

q

p

sh λ

kl

(c − z) sh λ

kl

z

p

+

+

N

p=r+1

q

p

sh λ

kl

(c − z

p

) sh λ

kl

z , (3)

где величины X

k

(x), Y

l

(y) и λ

kl

определены формулами

X

0

(x) = Y

0

(y) =

1

2

, X

k

(x) = cos

kπ

a

x, Y

l

(y) = cos

lπ

b

y, k, l = 0,

135

λ

kl

= π

k

2

a

2

+

l

2

b

2

.

Положим z = z

r

+ ε. Ряд (3) можно представить как сумму N

рядов, соответствующих различным q

p

. При малых ε ряд, соответ-

ствующий q

r

, становится доминирующим и определяет скорость схо-

димости всего выражения (3). Обозначим

S

r

n

=

n

m=0

cos

mπ

a

x cos

(n − m)π

b

y

q

r

sh λ

m(n−m)

(c − z) sh λ

m(n−m)

z

r

abλ

m(n−m)

sh λ

m(n−m)

c

.

Для простоты рассмотрим квадратные в сечении ячейки,

a = b. Тогда min

m∈[0,n]

{λ

m(n−m)

} =

π

a

√

2

n, и, начиная с некоторо-

го n, справедлива оценка

sh λ(c − z) sh λz

r

sh λc

≤ 2e

−

π

a

√

2

n(z−z

r

)

= 2e

−

π

a

√

2

nε

.

Тогда

|S

r

n

| ≤

n

m=0

2

|q

p

|

a

2

e

−

π

a

√

2

nε

π

a

√

2

n

≤ 3

|q

p

|

√

2

aπ

e

−

π

a

√

2

nε

,

и для остатка ряда получим

|R

r

K

| = |

∞

n=K+1

S

p

n

| ≤

6|q

p

|

π

2

1

ε

e

−

π

a

√

2

Kε

.

Этим выражением можно пользоваться при вычислении суммы

ряда для определения момента останова, обеспечивающего заданную

погрешность. Другой смысл этой оценки, носящий ориентировочный

характер, таков. Она обеспечивает малость остатка ряда в случае,

если показатель экспоненты много больше единицы по модулю, т.е.

должно выполняться, по крайней мере, K >

a

ε

. Величина K – число

суммируемых членов ряда – ограничена используемой для вычисле-

ний программой. Таким образом, это же является ограничением на

отношение ε к a, т.е. на то, насколько близко по z возможно подойти

к плоскостям z = z

p

, проходящим через заряды, по сравнению с раз-

мером ячейки a. В частности, ε ограничивает допустимое расстояние

между зарядами и близость вершины острия к последнему заряду,

и радиус кривизны острия.

Решение (3) описывает электростатическое поле в системе с

136

 

¡

¢

£

 

£

¢

¤

£

¢

£

£

¢

¤

¡

¢

£

x

£

¢

£

£

¢

¥

£

¢

¦

£

¢

§

£

¢

¨

¡

¢

£

z

Рис. 3. Сечение эквипотенциальной

поверхности U = 0 плоскостью xOz

остриями в следующем смыс-

ле: нужно считать поверхностью

острия эквипотенциальную по-

верхность распределения (3) со

значением потенциала, равным

потенциалу на катоде (U = 0).

Тогда поле в оставшейся части

системы совпадает с полем си-

стемы с реальными проводящими

остриями такой же формы. То,

что форма такой эквипотенци-

альной поверхности действитель-

но может быть сходной с формой острия, иллюстрируется на рис. 3.

Здесь N = 10 и все заряды одинаковы.

Очевидно, что при фиксированных значениях точечных зарядов

форма таким образом задаваемого острия зависит от остальных гео-

метрических параметров системы.

 

¡

¢

£

¡

 

¡

¢

¡

¤

¡

¢

¡

¡

¡

¢

¡

¤

¡

¢

£

¡

x

¡

¢

¡

¡

¡

¢

¡

¤

¡

¢

£

¡

¡

¢

£

¤

¡

¢

¥

¡

¡

¢

¥

¤

z

Рис. 4. Пример задания формы

острия

Однако для применения ре-

зультата к исследованию много-

острийных эмиссионных систем с

различными расстояниями меж-

ду остриями (что необходимо, на-

пример, при рассмотрении вза-

имной экранировки острий) необ-

ходим способ задания формы

острия вне зависимости от этих

параметров. Это должно дости-

гаться соответствующим выбо-

ром положения и величины то-

чечных зарядов.

Простейший способ такого вы-

бора состоит в следующем. Обратим внимание, что выражение (3)

линейно относительно величин зарядов q

p

. Зафиксировав количество

(N ) и положения зарядов и потребовав обращения потенциала (3) в

нуль в N различных точках, придем к системе линейных алгебраи-

ческих уравнений относительно q

p

с квадратной матрицей. Заряды

с величинами, являющимися решениями этой системы, создают в

137

системе поле, нулевая эквипотенциальная поверхность которого га-

рантированно проходит через N выбранных точек. В этом и состоит

задание формы (рис. 4).

Возможность фиксации формы острия играет важную роль в за-

даче оптимизации многоострийной полевой эмиссионной системы –

выбора плотности упаковки острий, их высоты и формы, обеспечи-

вающих оптимальные эмиссионные характеристики системы в це-

лом: максимальный интегральный ток эмиссии, снижение рабочего

напряжения, уменьшение плотности потока с каждого отдельного

острия [2].

Таким образом, получена оценка скорости сходимости рядов в

(3), а также описан способ фиксации формы острия, пригодный к ис-

пользованию в практических расчетах. В дальнейшем на этой основе

могут быть рассчитаны эмиссионные характеристики системы, про-

изведена оптимизация геометрических параметров, построены тра-

ектории электронов и эмиссионные изображения.

Литература

1. Долгов С.Л. Расчет потенциала системы точечных зарядов во

внешнем поле // Процессы управления и устойчивость: Труды

36-й межвузовской научной конференции аспирантов и студентов

/ Под ред. Н.В. Смирнова, В.Н. Старкова. – СПб.: Изд-во СПбГУ,

2005. С. 137–140.

2. Овсянников Д.А., Егоров Н.В. Математическое моделирование

систем формирования электронных пучков. СПб.: Изд-во СПбГУ,

1998. 276 с.

3. Миролюбов Н.Н., Костенко М.В., Левинштейн М.Л., Тиходеев

Н.Н. Методы расчета электростатических полей. M.: Высшая

Школа, 1963. 416 с.

138

Дривотин О.И., Мазикина М.Г.

Санкт-Петербургский государственный университет

Математическая модель управления интенсивным

пучком заряженных частиц в ускорителе с ПОКФ

Будем моделировать пучок в канале с пространственно однород-

ной квадрупольной фокусировкой (ПОКФ) как совокупность тонких

дисков, толщина которых конечна, но мала по сравнению с харак-

терными продольными размерами системы (длина периода модуля-

ции электродов, длина, на которой существенно меняется плотность

сгустка). В фазовом пространстве продольного движения каждый

такой диск характеризуется фазовыми координатами ϕ и γ, где ϕ –

фаза внешнего поля, при которой диск проходит рассматриваемую

точку с продольной координатой ζ, γ = (1 − β

2

)

−1/2

– приведен-

ная энергия диска. Фазовая плотность дисков (ϕ, γ) удовлетворяет

уравнению Власова. При этом уравнения характеристик для урав-

нения Власова, которые можно рассматривать как уравнение дина-

мики диска, в самосогласованном поле пучка, имеют вид

dϕ/dζ = 2 π γ (γ

2

− 1)

−1/2

,

dγ/dζ = α(ζ, u) cos ϕ +

f

2

(ϕ, ϕ , γ ) (ϕ , γ ) dϕ dγ ,

(1)

где u = u(ζ) — вектор управления, который задается геометрически-

ми и другими характеристиками канала, в котором движутся части-

цы, u(ζ) ∈ K ⊂ R

l

;

f

2

(ϕ, ϕ , γ ) = q

1

sh

j

01

a

L

2

−

λ

2π

|ϕ − ϕ |

γ

2

− 1

σ(ϕ − ϕ ),

(2)

q

1

=

e

2

mcε

0

ωa

2

J

2

1

(j

01

)sh( j

01

L/(2a))

.

Здесь L — пространственный период следования сгустков, L =

2πβc/ω, β — среднее значение приведенной скорости β. Выражение

139

(2) получено на основе главного члена решения по методу Фурье кра-

евой задачи для уравнения Пуассона с условием периодичности для

искомой функции в круговом цилиндре радиуса a (апертура канала).

Интегрирование в (1) производится по одному периоду, что реально

означает интегрирование в пределах одного сгустка. Отметим, что

выражение (1) учитывает воздействие на данный сгусток также и со

стороны соседних, в соответствии с условием периодичности. Далее,

σ(z) – гладкая функция, удовлетворяющая условию

σ(z) = sign (z),

|z| ≥ d,

σ(z) ∈ [−1, 1],

|z| ≤ d.

С физической точки зрения эта функция описывает "размазывание"

заряда, сосредоточенного при некотором значении z на интервал

длиной 2d. В результате вместо бесконечно тонкого диска, имеющего

нулевую толщину, получаем диск конечной толщины 2d. При этом,

если d

L, то заметные отличия в силе взаимодействия возникнут

только для частиц, расположенных достаточно близко друг к другу,

в то время как частицы, находящиеся на расстоянии порядка L, не

"почувствуют" этих изменений.

Такое сглаживание можно осуществить, например, следующим

образом. Будем считать, что бесконечно малый заряд, сосредото-

ченный в каждой точке тонкого диска, равномерно распределен на

интервале z ∈ [−d, d], d

L. Это означает, что диск имеет конечную

толщину, причем плотность заряда не зависит от координаты z. По-

тенциал такого диска может быть получен усреднением потенциала

бесконечно тонкого диска по продольной координате.

В фазовом пространстве поперечного движения диски рассмат-

риватриваются как четырехмерные эллипсоиды, описываемые мат-

рицей

B =

B

x

0

0

B

y

,

где B

x,y

— симметричные матрицы. Отметим, что при этом в плоско-

стях (x, ˙x) и (y, ˙y) частицы заполняют эллипсы, описываемые нера-

венствами (x, ˙x)(B

x

)

−1

(x, ˙x)

∗

≤ 1, (y, ˙y)(B

y

)

−1

(y, ˙y)

∗

≤ 1. Считая,

что уравнения поперечного движения линейны, можно получить,

что элементы обратных матриц удовлетворяют уравнениям

140

d s

x,y

11

d t

= 2s

x,y

12

,

d s

x,y

12

d t

= Q

x,y

s

x,y

11

+ s

x,y

22

,

d s

x,y

22

d t

= 2Q

x,y

s

x,y

12

.

(3)

Здесь

Q

x,y

= Q

x,y 0

(Z, u) +

M

h

2 x,y

(X, Z, X , Z ) (Z ) dZ ,

Z = (ϕ, γ)

∗

– положение в фазовом пространстве продольного дви-

жения, X = (s

x

11

, s

x

12

, s

x

22

, s

y

11

, s

y

12

, s

y

22

)

∗

— положение в фазовом про-

странстве поперечного движения, а

h

2 x,y

(X, Z, X , Z ) =

e

2

πγ

2

ε

0

m

0

H(β λ(ϕ − ϕ )/(2π))

s

x,y

11

s

x

11

+

s

y

11

;

H(z) = (dσ(z)/dz)/2. В уравнениях (3) легко перейти от дифферен-

цирования по t к дифференцированию по ζ

dZ/dζ = f

1

(ζ, Z, u) +

M

ζ,u

f

2

(Z, Z ) (ζ, Z ) dZ ,

dX/dζ = h

1

(ζ, Z, X, u) +

M

ζ,u

h

2

(X, Z, X (ζ, Z ), Z ) (ζ, Z ) dZ ,

(4)

ζ ∈ [0, T ], T < ∞. Предполагаем, что начальные значения Z запол-

няют некоторое компактное множество M

0

. Образ множества M

0

в силу первого уравнения системы (4) обозначен здесь через M

ζ,u

.

Интегральный член описывает взаимодействие между макрочасти-

цами [1].

Рассмотрим задачу минимизации функционала, зависящего от

промежуточной и конечной плотностей распределений макрочастиц

I(u) =

T

0 M

ζ,u

g(ζ, Z

ζ

, X

ζ

) (ζ, Z

жүктеу/скачать 30,48 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: