Процессы управления и устойчивость
жүктеу/скачать 30,48 Mb. Pdf көрінісі
|
| q
ij ∂t 2 (˜t)(t − 1) 2 u
1 , (12) a = (a 1 , . . . , a n ) ∗ , b = (b 1 , . . . , b r ) ∗ , a(t) + tx 1
1 , b(t) + tu 1 < C 2 , (13) a(0) = 0, b(0) = 0. (14) Сделаем замену переменной 1 − t = e −ατ
, τ ∈ [0, +∞) , α > 0,
(15) α — фиксированная величина. Тогда система (11) и условия (13) примут вид dc dτ = αe −ατ
˜ P c + αe
−ατ ˜ Qd + αe −ατ R 1 (x 1 , u 1 , τ ),
(16) c(τ ) = a(t(τ )) , d(τ ) = b(t(τ )) , τ ∈ [0, +∞) , c(0) = 0, d(0) = 0, (17)
c(τ ) + x 1
1 ,
1 < C 2 . Введем функции v(τ ) и w(τ ), связанные с d(τ ), следующим обра- зом
d dτ d(τ ) = αe −ατ v, v = (v 1 , . . . , v r ), v ∈ R
r , (18) d dτ v(τ ) = αe −ατ w, w = (w 1 , . . . , w r ), w ∈ R
r , c(τ ) + x 1 < C 1 , d(τ ) + u 1
2 ,
3 , (19) C 3 – фиксированная, положительная, постоянная величина. Рассмотрим систему, полученную присоединением уравнений (18) к системе (16) с начальными данными c(0) = 0, d(0) = 0, v(0) = 0. (20)
Ее можно записать в виде d¯c
dτ = αe
−ατ ¯ P ¯c + αe −ατ ¯ Qw + ¯ R 1 (x 1 , u
1 , τ );
(21) 22
¯ P =
˜ P ˜ Q O 1 O 2 O 3 E r×r
O 4 O 5 O 6 n+2r×n+2r , ¯ Q =
O 7 O 8 E r×r
n+2r×r , ¯c = (c, d, v) ∗ ,
i , i = 1, 8 — матрицы с нулевыми элементами соответствен- но размерностей [n × r], [r × n], [r × r], [r × n], [r × r], [r × r], [n × r], [r × r], E r×r — единичная матрица размерности [r × r], ¯ R 1 = (R ∗ 1 , 0, . . . , 0) ∗ n+2r×1 . Ограничения (13) будут выполнены при ¯c < C
4 , C
4 = min(C
1 , C
2 , C
3 ). (22) Наряду с (21) рассмотрим систему d¯c
dτ = αe
−ατ ¯ P ¯c + αe −ατ ¯ Qw. (23) Используя метод, предложенный в [1], получим закон управления w i
i (τ )¯c; i = 1, r, (24) который обеспечивает экспоненциальную устойчивость системе (23). Для нормы фундаментальной матрицы системы (23), (24) спра- ведлива оценка Φ(τ ) ≤ M 0 e −λτ ; λ > 1 . (25) Рассмотрим систему (21) с начальными условиями (20) при ¯ d(τ ) = d(kh), τ ∈ [kh, (k + 1)h), k = 0, 1, . . . Ее можно переписать в виде d¯c
dτ = A(τ )¯c + αe −ατ Q
( ¯ d(τ ) − d(τ )) + αe −ατ ¯
1 (x 1 , u 1 , τ ); (26) A(τ ) = αe −ατ ¯
−ατ ¯ Qe kατ δ k T −1 k S −1 k ; ¯c < C
4 ; Q 1 = O 1 ˜ Q O 2 n+2r×n+2r , O i , i = 1, 2 — нулевые матрицы соответственно размерностей [n × r], [r × r]. 23
В силу экспоненциальной устойчивости системы d¯c
dτ = A(τ )¯c, (27) в области (19) существует (см. [2]) положительно-определенная функция V (¯c, τ ) такая, что ν 1 ¯c 2 ≤ V (¯c, τ ) ≤ ν 2 ¯c 2 , dV dτ (27) = − ¯c
2 , gradV
¯ c ≤ ν 3 ¯c , (28) Здесь ν 1
2 , ν
3 — известные положительные константы. С другой стороны, dV dτ (26) = − ¯c
2 + αe
−ατ ((gradV
¯ c ) ∗ , Q
1 ( ¯
d(τ ) − d(τ )))+ +αe
−ατ ((gradV
¯ c ) ∗ , R
1 (x 1 , u 1 , τ )), τ ∈ [kh, (k + 1)h), k = 0, 1, . . . В силу (12) получаем R 1 (x 1 , u 1 , τ ) ≤ K 1 (x
, u 1 ) → 0 при x 1 , u 1 → 0.
(29) Из теоремы о среднем и структуры матрицы Q 1 в области (19) справедлива оценка Q 1 ( ¯ d(τ )−d(τ )) < Q 1 K
h; τ ∈ [kh, (k+1)h), k = 0, 1, . . . , (30) где K
2 не зависит от k. В силу (30) имеет место неравенство dV dτ (26) ≤ − ¯c
2 + αν
3 ¯c K
2 h Q
1 + αν
3 ¯c K
1 (x 1 , u 1 ). (31) Положим
γ = min ¯ c =C 4 V (¯c, τ ) = ν 1 C
4 , δ = ν 1 ν 2 C 4 . Очевидно, что V (¯c, τ ) < γ для всех ¯c из области ¯c < δ. 24
Используя свойства (29), (31), выберем такие h 0 , ε, чтобы для любых h : 0 < h < h 0 , для любых x 1 : x 1 < ε и для любых u 1 : u 1 < ε в области ¯c > δ выполнялось − ¯c + αν 3 K
h Q 1 + αν 3 K 1 (x 1 , u 1 ) < 0.
(32) Следовательно, траектории системы (26) с нулевыми начальными данными не покинут области (19). Согласно (32), для решения системы (26) с начальными данными (19) справедливо V (¯c, τ ) → 0 при τ → ∞ . В свою очередь из (28) следует ¯c(τ ) → 0 при τ → ∞ . Пусть τ 1
c(τ 1 ) + e −ατ 1 x 1 < ε 1 , e −ατ
1 < ε 2 . Положим m =
τ 1 h + 1, (33)
где h — удовлетворяет условию (32). Используя константы h, m, построим разбиение промежутка [0,1] точками t
= 1 − e −αkh
, k = 0, m. (34) Если в компонентах d i , i = 1, r, решения задачи Коши (26), (19) с помощью формулы (15) вернуться к исходной переменной t, то согласно выводу уравнений (8), (11), (16), (21), (31), получим реше- ние поставленной задачи. При этом границы искомых интервалов постоянства импульсного управления [t k , t
k+1 ), k = 1, m − 1, опре- деляются по формулам (33), (34). Литература 1. Квитко А.Н. Об одном методе построения программных движе- ний // ПММ, 2001. Т. 65, №3. С. 392–399. 2. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движе- ния. М.: Физматгиз, 1959. 211 с. 25
Занина С.Б., Шмыров А.С. Санкт-Петербургский государственный университет Оптимальная стабилизация плоского орбитального управляемого движения КА в окрестности коллинеарной точки либрации L 1 с помощью сил светового давления В настоящее время возникают проблемы создания постоянных автоматических станций в космосе для исследований космическо- го пространства: излучений Cолнца, астрономических наблюдений, астрофизических измерений, исследований межпланетной материи, поиск реликтовых излучений, создание систем связи. Эти станции могут быть использованы при решении задач, связанных с астеро- идной опасностью, и для перелетов на другие планеты. Одним из самых интересных и перспективных проектов является размещение таких станций в окрестности коллинеарных точек либрации. Рис. 1. Солнечный парус в коллинеарной точке либрации L 1 системы
Земля-Солнце В работах [1, 2] рассматривается задача стабилизации орбиталь- ного движения космического аппарата (КА) в окрестности колли- неарной точки либрации L 1 с помощью управляющего воздействия по линии Земля-Солнце. В настоящей работе исследуется подобная задача стабилизации, однако в качестве управляющего воздействия берется сила давления солнечных лучей на солнечный парус – плос- кую отражающую поверхность, ориентированную к потоку солнеч- ных лучей углом α. Исследования проведем в плоской постановке, учитывая, что проекция силы давления солнечных лучей не отрица- тельная. Воспользуемся идеей перенесения точки равновесия в фото- 26
гравитационную точку либрации. Уравнения движения КА в окрест- ности точки либрации имеют вид ˙x 1
1 + x
2 , y
1 = 3x 1 x 3 +2x 1 + y 2 + d + u
1 , ˙ x 2 = y 2 − x
1 , ˙
y 2 = −3x 2 x 3 − x
2 − y
1 + u
2 , (1) где x 1 — ось, направленная на Солнце, (x 1 , x
2 ) — плоскость эклипти- ки, y 1
2 — импульсы, d — параметр смещения в фотогравитацион- ную точку либрации [3]. Управления u 1 , u 2 есть проекции ускорения от сил светового давления, действующих на площадку под углом α, которые вычисляются по формулам u 1
0 cos
3 α, u 2 = W
0 cos
2 α sin α.
Величина W 0 — ускорение нормально ориентированного паруса в точке либрации L 1 . Система (1) при u 1 = 0, u
2 = 0 гамильтонова с гамильтонианом H(x, y) = 1 2
3 x − 3 2 x 1 2 + x 2 2 + x 2 y 1 − x
1 y 2 − x 1 d. Задачей является построение эффективного закона управления углом ориентации α, обеспечивающего движение КА в окрестности L 1
близости к нулю значения функции опасности |Q|. В линейном при- ближении Q имеет вид [1] Q = 1, 2751(x 1 − 1) + 0, 2258(y 2 − 1) + 0, 4183y 1 + 0, 1481x 2 . Поведение функции Q на траектории управляемого движения в линейном приближении описывается уравнением ˙ Q = λ 1 Q + 0, 4183u 1 + 0, 2258u 2 , (2) где λ 1 = 1 + 2 √ 7 — положительное собственное значение матри- цы линеаризованной системы уравнений в окрестности L 1 (в фазо- вом пространстве). Задача стабилизации орбитального движения КА 27
сводится к задаче стабилизации поведения переменной Q, поэтому эффективный закон управления связан с нахождением минимума и максимума производной функции ˙ Q по углу ориентации α. Таким образом, задача сводится к нахождению экcтремума функции b(α) = (0, 4183 cos α + 0, 2258 sin α) cos 2 α.
Задача нахождения экстремума такой функции часто встречает- ся при управлении орбитальным движением КА с солнечным пару- сом и решается с помощью формулы Шмырова – Шувалова [3] α ∗ = 1 2 β − arcsin 1 3 sin β , (4) где α ∗ — значение угла α, доставляющее максимум функции b(α), β — угол между направлением на Солнце и вектором (0,4183, 0,2258). Подставляя в выражение (4) значение β, получим, что эффектив- ное управление достигается при α ∗ = max(b(α)) = 0, 16798, α ∗∗ = min(b(α)) = π 2 − α ∗ . Литература 1. Шмыров В.А. Управление орбитальным движением космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации // Авто- реферат кандидатской диссертации. – СПб.: ООУП физического факультета СПбГУ, 2005. 2. Шмыров В.А. Стабилизация орбитального движения КА в окрестности коллинеарной точки либрации системы Земля- Солнце // Устойчивость и процессы управления: Труды междун. конф., посвященной 75-летию со дня рождения В.И. Зубова. Рос- сия, СПб, 29 июня – 1 июля 2005 г. / Под ред. Д.А. Овсянникова, Л.А. Петросяна. – СПб.: СПбГУ, НИИ ВМ и ПУ, ООО ВВМ, 2005. Т. 3. С. 1694–1697. 3. Поляхова Е.Н. Космический полет с солнечным парусом. М.: На- ука, 1986. 304 с. 28
Зубов С.В. Санкт-Петербургский государственный университет О расчетной устойчивости одного класса нелинейных систем В данной работе автор продолжает начатое в статьях [1,2] рас- смотрение проблемы построения функции типа Ляпунова для неко- торых классов нелинейных обыкновенных дифференциальных урав- нений и систем уравнений с целью исследования расчетной устойчи- вости тривиального движения x = 0 этих уравнений или их систем. Для краткости изложения не будем здесь повторять вводной части статьи [1], где приведены основные понятия и определения теории расчетной устойчивости, а также формулировки трех из нескольких основных теорем этой теории. Имеются ввиду теоремы 1 – 3 [1], ко- торые соответствуют теоремам 1.3 – 1.5 работы [3], где и приведено [3, с. 13 – 15] их полное доказательство. Рассмотрим сначала уравнение первого порядка следующего ви- да ˙x = g(x) + g 1 (t),
(1) где скалярная функция g(x) определена и непрерывна в некоторой окрестности точки x = 0, удовлетворяет там условию Липшица по аргументу x, скалярная функция g 1 (t) задана для всех t ≥ 0 и непре- рывна по t для всех t ≥ 0 за исключением точек разрыва первого рода, число которых конечно на каждом конечном интервале изме- нения аргумента t. В качестве упомянутой окрестности точки x = 0 возьмем множество Ω = {x : |x| < R}, константа R > 0. При этих предположениях [4] для всех x 0 , |x 0 | < R, и для всех t 0
0 ≥ 0 существует единственное решение x = x(t, t 0 , x
0 ) уравне- ния (1), заданное для всех тех значений аргумента t ≥ t 0 ≥ 0, для которых выполнено неравенство |x(t, t 0 , x 0 )| < R.
Будем рассматривать такую ситуацию, когда все решения урав- нения (1), начинающиеся при t = t 0 , t
0 ≥ 0 в начальной точке x = x 0
0 | < R, продолжимы для всех t, t 0 ≤ t < +∞. Это име- ет место в случае, когда для всех t ≥ t 0 справедливо неравенство 29 |x(t, t 0 , x 0 )| < R. Легко видеть, что движение x = 0 при t ≥ t 0 яв-
ляется решением уравнения (1) лишь в том случае, когда для всех t ≥ t
0 выполняется тождество g 1 (t) ≡ −g(0). В общем случае дви- жение x = 0 при t ≥ t 0 не является решением уравнения (1). Таким образом, это движение является расчетным движением [3] рассмат- риваемого уравнения. Будем исследовать расчетную устойчивость движения x = 0 для уравнения (1). Понятия расчетной устойчивости, асимптотической расчетной устойчивости и расчетной неустойчивости движения x = 0 для рассматриваемого уравнения и в дальнейшем для систем урав- нений будем предполагать известными [3]. Возьмем в качестве функции типа Ляпунова [3] скалярную функ- цию V (x, t) вида V (x, t) = x 0
1 (t),
(2) где скалярная функция f (x) определена и непрерывна в окрестности Ω, удовлетворяет там неравенству xf (x) > 0 при x = 0, скалярная функция f 1 (t) определена, непрерывна и неотрицательна для всех t ≥ 0, причем выполняется соотношение f 1 (t) → 0 при t → +∞. Отсюда, в частности, вытекает, что f (0) = 0, f (x) > 0 при x > 0, f (x) < 0 при x < 0. Введенная таким образом функция (2) являет- ся функцией типа Ляпунова [3], и с ее помощью можно исследовать расчетную устойчивость движения x = 0 уравнения (1). Будем ис- кать такие условия на правую часть уравнения (1) и функцию (2), при которых удовлетворяются требования теорем 1 – 3 [1]. Теорема 1. Предположим, что в уравнении (1) скалярные функ- ции g(x), g 1 (t) удовлетворяют всем вышеприведенным условиям. Предположим дополнительно, что в рассматриваемой окрестнос- ти Ω для функции g(x) справедливы соотношения: g(0) = 0, g(x) < 0 при x > 0, g(x) > 0 при x < 0. Пусть функция g 1 (t) такова, что существует и конечен несобственный интеграл вида +∞ 0 g 2 1 (τ )dτ < +∞. (3)
Тогда движение x = 0 уравнения (1) расчетно устойчиво. 30
Доказательство. Пусть скалярная функция h(t) задана для всех t ≥ 0, неотрицательна (h(t) ≥ 0 для всех t ≥ 0) и непрерыв- на по t для всех t ≥ 0 за исключением точек разрыва первого рода, число которых конечно на каждом конечном интервале изменения аргумента t. Предположим, что существует и конечен несобственный интеграл вида +∞ 0
Тогда возьмем в формуле (2) в качестве функции f (x) = −g(x), а в качестве функции f 1 (t) функцию f 1 (t) = 1 4 +∞ t g 2 1 (τ )dτ +
+∞ t h(τ )dτ . (4) Покажем, что функция V (x, t), построенная в виде суммы (2), удо- влетворяет всем требования теорем 1 – 3 [1]. Действительно, из фор- мулы (3) и в силу выбора функции h(t) получаем, что функция f 1 (t)
в формуле (4) определена и непрерывна по t для всех t ≥ 0, неот- рицательна (f 1 (t) ≥ 0 для всех t ≥ 0) и выполняется предельное со- отношение f 1 (t) → 0 при t → +∞. Для окончательного выполнения требований теорем 1 – 3 [1] осталось установить неположительность полной производной функция V (x, t) в силу уравнения (1). Вычис- лим эту полную производную. Получаем dV dt = f (x)(g(x) + g 1 (t)) + f 1 (t) = −f
2 (x) + 2f (x) 1 2
1 (t),
− 1 4 g 2 1 (t) + 1 4 g 2 1 (t) + f 1 (t) = − (f (x) − 1 2 g 1 (t))
2 − h(t) ≤ 0. (5) Здесь воспользовались тем, что производная функции f 1 (t) равна f 1
1 4 g 2 1 (t) − h(t). Это вытекает из (4). В (5) применена так- же формула квадрата разности. Таким образом, из теорем 1 – 3 [1] следует расчетная устойчивость движения x = 0 уравнения (1). Замечание 1. Здесь в доказательстве функция h(t) введена для большей общности представления функции типа Ляпунова V (x, t). В частности, можно положить h(t) ≡ 0 для всех t ≥ 0. жүктеу/скачать 30,48 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|