Процессы управления и устойчивость
жүктеу/скачать 30,48 Mb. Pdf көрінісі
|
|
Рассмотрим теперь систему второго порядка вида 31
˙x 1 = f 1 1 (x 1 )+f
1 2 (x 2 ) + g
1 (t),
˙x 2 = f 2 1 (x 1 )+f
2 2 (x 2 ) + g
2 (t),
(6) где функции f j i
i ), g
i (t), i, j = 1, 2, удовлетворяют условиям, ко- торые аналогичны требованиям, предъявленным к функциям g(x), g 1 (t) при исследовании уравнения (1). Для системы (6) движение x 1 = 0, x 2 = 0 является расчетным и при изучении расчетной устой- чивости этого движения может быть применен продемонстрирован- ный выше подход. В качестве функции типа Ляпунова для системы (6) возьмем скалярную функцию V (x, t) вида V (x, t) = x 1
F 1 (τ )dτ + x 2 0 F 2 (τ )dτ + h 1 (t),
где опять функции F i (x i ), i = 1, 2, и h 1 (t) удовлетворяют условиям, аналогичным для f (x), f 1 (t) при рассмотрении функции типа Ляпу- нова (2) для уравнения (1). Теорема 2. Пусть в системе (6) функции f j i
i ), g
i (t), i, j = 1, 2, удовлетворяют указанным условиям. Предположим, что в рас- сматриваемых окрестностях точек x i = 0 для функций f i i (x i ) справедливы соотношения: f i i (0) = 0, f i i (x i ) < 0 при x i > 0,
f i i (x i ) > 0 при x i < 0, i = 1, 2. Пусть, кроме того, в рассматрива- емых окрестностях точек x i = 0, i = 1, 2, справедливы тождества f 2 1 (x 1 ) ≡ af 1 1 (x 1 ), f
1 2 (x 2 ) ≡ bf
2 2 (x 2 ), где a, b – ненулевые константы разных знаков. Пусть функции g i (t), i = 1, 2, таковы, что сущест- вуют и конечны несобственные интегралы вида +∞ 0 g 2 i (τ )dτ < +∞. Тогда движение x 1 = 0, x
2 = 0 системы (6) расчетно устойчиво. Доказательство. Доказательство проводится аналогично теоре- ме 1. Полагаем F i (x
) = −c 2 i f i i (x i ), i = 1, 2, где c i , i = 1, 2, – некоторые ненулевые постоянные. В качестве h 1 (t) берем (аналогично формуле (4)) функцию вида h 1 (t) = c 2 1 4 +∞ t g 2 1 (τ )dτ +
c 2 2 4 +∞ t g 2 2 (τ )dτ + +∞ t h(τ )dτ . 32
Здесь h(t) – функция с теми же свойствами, как и при доказатель- стве теоремы 1. Замечание 2. Функция g(x) в уравнении (1) и функции f j i (x i ), i, j = 1, 2, в системе (6) могут быть кусочно-непрерывными функ- циями, имеющими конечное число точек разрыва первого рода в со- ответствующих окрестностях изменения аргументов, лишь бы все соответствующие решения уравнения (1) и системы (6) существовали и были продолжимы по t от t = 0 до +∞. Литература 1. Зубов С.В. Задачи расчетной устойчивости // Процессы управле- ния и устойчивость: Труды 36-й научной конференции аспиран- тов и студентов / Под ред. Н.В. Смирнова, В.Н. Старкова. – СПб.: Изд-во СПбГУ, 2005. С. 29–33. 2. Зубов С.В. Расчетная устойчивость динамической системы перво- го порядка // Идентификация систем и задачи управления: Тру- ды V Международной Конференции SICPRO ’06. Москва, 30 ян- варя – 2 февраля 2006 г. / Под ред. акад. И.В.Прангишвили – М.: Институт Проблем Управления им. В.А.Трапезникова РАН, 2006. С. 1443–1450. 3. Зубов С.В., Зубов Н.В. Математические методы стабилизации ди- намических систем. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1996. 288 с. 4. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1970. 398 с. 33
Зубова О.А. Санкт-Петербургский государственный университет Задача идентификации нескольких множеств 1 Рекомендовано к публикации профессором Демьяновым В.Ф. 1. Постановка задачи. Пусть в пространстве R n заданы три множества точек A = {a
i | i ∈ I
def = 1 : N
1 }, B = {b j | j ∈ J
def = 1 : N
2 }, C = {c k | k ∈ K
def = 1 : N
3 }. Рассмотрим задачу разделения этих множеств при помощи двух параллельных гиперплоскостей, задаваемых уравнениями: r(x, ¯l
1 ) = 0, r(x, ¯l 2 ) = 0,
где r(x, ¯l i ) = (x, l) + d i ; ¯l
i = [d
i , l], l, x ∈ R n , d
i ∈ R, l = 1, i = 1, 2. Решение задачи идентификации заключается в построении опре- деленного решающего правила (РП), которое позволит отнести лю- бую точку y из пространства R n к тому или иному множеству. Будем искать РП вида r(y, ¯l 1 ) < 0
⇒ y ∈ A,
r(y, ¯l 1 ) > 0 r(y, ¯l 2 ) < 0 ⇒ y ∈ B, r(y, ¯l
2 ) > 0
⇒ y ∈ C.
(1) Заметим, что РП вида (1) однозначно определяется набором пара- метров (d 1 , d 2 , l).
Для того чтобы оценить, насколько точно РП (1) идентифициру- ет точки пространства, введем два функционала F 1
1 , d
2 , l) =
i∈I max{0, r(a i , ¯l
1 )}+
j∈J max{0, r(b j , ¯l
2 ), −r(b
j , ¯l
1 )} +
k∈K max{0, r(c k , ¯l
2 )},
(2) 1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фунда- ментальных исследований (03-01-00668). 34
F 2 (d 1 , d
2 , l) =
1 2 i∈I (max{0, r(a i , ¯l 1 )})
2 + j∈J (max{0, r(b j , ¯l 2 ), −r(b
j , ¯l
1 )})
2 + k∈K (max{0, r(c k , ¯l 2 )})
2 . (3) Оба функционала, F 1 и F 2 , являются выпуклыми. Более того, функ- ционал F 2 является гладким. Функционал (2), как и функционал (3), условно говоря, является величиной ошибки в случае некорректной идентификации, а именно, F 1
1 , d
2 , l) есть сумма расстояний от неверно идентифицированных точек до соответствующих гиперплоскостей, а F 2 (d 1 , d
2 , l) – полови- на суммы квадратов этих расстояний. Поэтому будем считать РП (1) тем лучше, чем меньше значение функционала F 1 , либо F
2 , для
заданного набора параметров . Определение 1. Набор параметров (d ∗ 1
∗ 2 , l ∗ ) называется оп- тимальным в смысле функционала F , если arg min F (d 1 , d
2 , l) = (d ∗ 1
∗ 2 , l ∗ ). РП вида (1), соответствующее такому набору параметров, также на- зывается оптимальным в смысле функционала F . 2. Исследование функционала F 1 (d
, d 2 , l). Рассмотрим за- дачу условной минимизации F 1 (d 1 , d 2 , l)
Ω − → min, (4) Ω = {[d
1 , d
2 , l] | l ∈ R n , l = 1, d i ∈ R, i = 1, 2} ⊂ R n+2 .
Φ 1 (d 1 , d
2 , l) = F
1 (d 1 , d 2 , l) + λφ(d 1 , d
2 , l),
(5) где φ(d
1 , d
2 , l) =| 1 − l |, λ ≥ 0. При достаточно больших λ задача (4) сводится к задаче безусловной минимизации функции на всем пространстве (см. [1, 2]). Найдем квазидифференциал (КВД) функ- ции Φ 1
1 , d
2 , l). Согласно формуле (5), справедливы равенства DΦ 1
1 , d
2 , l) = ∂Φ 1 (d
, d 2 , l), ∂Φ 1 (d 1 , d 2 , l) , 35 ∂Φ 1 (d 1 , d
2 , l) = ∂F 1 (d
, d 2 , l) + λ∂φ(d 1 , d
2 , l),
∂Φ 1 (d 1 , d
2 , l) = ∂F 1 (d
, d 2 , l) + λ∂φ(d 1 , d
2 , l).
Вычислим суб- и супердифференциалы функций F 1 (d 1 , d
2 , l) и φ(d 1 , d
2 , l)
(см. [3]) ∂F 1 (d 1 , d 2 , l) =
i∈I + ∪I 0 [1, 0, a
i ] +
j∈J 1− ∪J 10 [−1, 0, −b j ]+
2+ ∪J 20 [0, 1, b j ] + k∈K − ∪K 0 [0, −1, −c k ], ∂F
1 (d 1 , d 2 , l) = {[0, 0, 0 n ]},
∂φ(d 1 , d 2 , l) = co{[0, 0, l], [0, 0, −l]}, ∂φ(d 1 , d
2 , l) = {[0, 0, 0 n ]}.
(6) где
I 0 = {i ∈ I | r(x, l 1 ) = 0}, I + = {i ∈ I | r(x, l 1 ) > 0},
J 10 = {j ∈ J | r(x, l 1 ) = 0}, J 1− = {j ∈ J | r(x, l 1 ) < 0},
J 20 = {j ∈ J | r(x, l 2 ) = 0}, J 2+ = {j ∈ J | r(x, l 2 ) > 0},
K 0 = {k ∈ K | r(x, l 2 ) = 0}, K − = {i ∈ I | r(x, l 2 ) < 0}.
(7) Пусть множества I 0 , J
10 , J
20 и K
0 пустые, т.е. ни одна точка мно- жеств A , B и C не попала ни на одну разделяющую гиперплоскость. Тогда, подставив (7) в (6), получим ∂Φ 1
1 , d
2 , l) =
i∈I + [1, 0, a i ] +
j∈J 1− [−1, 0, −b j ]+ j∈J 2+ [0, 1, b
j ] +
k∈K − [0, −1, −c k ] + λco{[0, 0, l], [0, 0, −l]}, ∂Φ 1
1 , d
2 , l) = {[0, 0, 0 n ]}.
(8) Необходимым условием минимума функции Φ 1 (d
, d 2 , l) в точке (d ∗ 1 , d ∗ 2 , l ∗ ) является выполнение включения −∂Φ 1 (d ∗ 1 , d ∗ 2 , l ∗ ) ⊂ ∂Φ
1 (d ∗ 1 , d
∗ 2 , l ∗ ). Подставив (8) в последнее выражение, имеем {[0, 0, 0 n ]} ∈ i∈I + [1, 0, a i ] +
j∈J 1− [−1, 0, −b j ] +
j∈J 2+ [0, 1, b j ]+ k∈K − [0, −1, −c k ] + λco{[0, 0, l], [0, 0, −l]}. (9) 36
Распишем выражение (9) покоординатно. По первой и второй коор- динатам имеем | I +
1− |, | K
− |=| J
2+ |, где | I + |, | J
1− |, | K
− |, | J
2+ | – количество элементов множества I +
1− , J
2+ и K
− соответственно. По 3, 4, . . . , n + 2 координатам выражение (9) эквивалентно соотношению i∈I
+ a i − j∈J
1− b j + j∈J
2+ b j − k∈K
− c k = µl ∗ , µ = [−λ, λ]. (10) Таким образом, для того чтобы РП было оптимальным в смысле 1 (d 1 , d
2 , l), необходимо чтобы, во-первых, количество неверно идентифицированных точек каждого из множеств A и B, а также B и C, были равны между собой, и, во-вторых, вектор из левой части равенства (10) был параллелен вектору нормали l ∗ . 3. Исследование функционала F 2 (d 1 , d
2 , l). Найдем необхо- димое условие оптимальности в смысле функционала F 2 (d 1 , d
2 , l).
Для этого решим задачу F 2 (d 1 , d 2 , l)
Ω − → min. Построим штрафную функцию Φ 2 (d 1 , d 2 , l) =F
2 (d 1 , d 2 , l) + λφ(d 1 , d
2 , l)
(11) и перейдем к задаче минимизации на всем пространстве Φ 2
1 , d
2 , l)
R n+2
−−−→ min. Если
arg min Φ 2 (d 1 , d
2 , l) = (d ∗∗ 1
∗∗ 2 , l ∗∗ ), то выполняется условие −∂Φ 2 (d ∗∗ 1 , d ∗∗ 2 , l ∗∗ ) ⊂ ∂Φ
2 (d ∗∗ 1 , d
∗∗ 2 , l ∗∗ ). (12) Найдем суб- и супердифференциалы функции Φ 2 (d 1 , d
2 , l) – мно- жества ∂Φ 2 (d 1 , d
2 , l) и ∂Φ 2 (d
, d 2 , l). Для этого найдем аналогичные 37 множества для F 2 (d 1 , d
2 , l) (см. [2]) и воспользуемся формулами (6) и (11). Имеем ∂Φ 2 (d 1 , d 2 , l) =
i∈I + [1, 0, a i ]r(a
i , ¯l
1 ) +
j∈J 1− [−1, 0, −b j ]r(b
j , ¯l
1 )+ j∈J 2+ [0, 1, b
j ]r(b
j , ¯l
2 ) +
k∈K − [0, −1, −c k ]r(c
k , ¯l
2 )+ λco{[0, 0, l], [0, 0, −l]}, ∂Φ 2 (d 1 , d 2 , l) = {[0, 0, 0 n ]}.
(13) Подставив (13) в выражение (12), получим i∈I +
i , ¯l
∗∗ 1 ) = j∈J 1− r(b j , ¯l
∗∗ 1 ), j∈J 2+ r(b j , ¯l
∗∗ 2 ) = k∈K − r(c k , ¯l
∗∗ 2 ), (14) i∈I + a i r(a
i , ¯l
∗∗ 1 ) − j∈J 1− b j r(b
j , ¯l
∗∗ 1 ) + j∈J 2+ b j r(b
j , ¯l
∗∗ 2 )− k∈K − c k r(c
k , ¯l
∗∗ 2 ) = µl ∗∗ . (15) Формулы (14), (15) означают, что для оптимальности решающего правила в смысле функционала F 2 (d
, d 2 , l) необходимо, чтобы, во- первых, были равны между собой две пары величин – расстояния от неправильно определенных точек множеств A и B до разделяющей их гиперплоскости r(x, ¯l ∗∗ 1 ) и аналогичные расстояния для множеств B и C и гиперплоскости r(x, ¯l ∗∗ 2
уравнения (15) был параллелен вектору нормали ¯l ∗∗ . Литература 1. Демьянов В.Ф. Условия экстремума и вариационное исчисление. М.: Высшая Школа, 2005. 335 с. 2. Зубова О.А. Применение квазидифференциального исчисления к решению задач идентификации. СПб.: Изд-во НИИ Химии СПбГУ, 2005. 18 с. 3. Демьянов В. Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимиза- ция. М.: Наука, 1981. 384 с. 38
Иванова О.А. Санкт-Петербургский государственный университет Приближение решения уравнения Дюффинга в звезде В данной работе решается аналитически и численно задача по- строения приближения голоморфной функции, заданной своим эле- ментом Вейерштрасса e 0 , e 0 = ∞ n=0
a n (z − z 0 ) n = f (z), при |z − z 0 | < ρ, (1) в прямолинейной звезде [1–4], где ρ – радиус сходимости ряда (1), на модельном примере уравнением Дюффинга. Используя разложение Миттаг – Леффлера в прямолинейной звезде функции, можно функцию f (z), голоморфную в некоторой области Ω z ⊂ C
1 , разложить в ряд по полиномам f (z) = ∞
f (n)
(z), где
f (n)
(z) = c (n)
0 a 0 + c (n)
1 a 1 z + . . . + c (n)
m n a m n z m n . (2) Здесь n – номер полинома, n = 0, 1, . . ., c (n) m
– так называемые мно- жители сходимости, определяемые номером полинома и количеством слагаемых в данном полиноме, m n = (ν + 1) n − 1, ν = 1, 2, . . . [1, 4, 6], a m
– коэффициенты ряда Тейлора. При этом последовательность полиномов (2) равномерно сходит- ся внутри прямолинейной звезды Миттаг – Леффлера S e 0 элемента e 0 , задающего f (z) [1–4]. Рассмотрим нелинейное уравнение Дюффинга второго порядка [5]: ¨
2 x + µx
3 = 0,
(3) где ω, µ – параметры, определяющие характер колебаний. Зададим начальные данные x 0 = x(t 0 ), ˙x 0 = ˙x(t 0 ). (4) 39 Решение уравнения (3) может быть представлено в виде x(t, x
0 , ˙x
0 ) = x
0 + ˙x
0 t +
∞ i=2
x (i)
(t) i !
t=t 0 t i , (5) где x (i+1) (t) t=t
0 = ∂x жүктеу/скачать 30,48 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|