16. Интегрирование тригонометрических функции
жүктеу/скачать 3,06 Mb.
|
1 модуль Математический анализ (16-26)
|
1 модуль Математический анализ 16. Интегрирование тригонометрических функцииДля интегрирования рациональных функций вида R(sin x, cos x) применяют подстановку , которая называется универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда . Универсальная тригонометрическая подстановка часто приводит к большим вычислениям. Поэтому, по возможности, пользуются следующими подстановками. Если R(-sin(x),cosx) = -R(sin(x),cosx), то делают замену cos(x)=t и тогда sin(x)dx = -dt. При R(sin(x),-cosx) = - R(sin(x),cosx), полагают sin(x)=t при этом cos(x)dx=dt В случае R(-sin(x),-cosx) = R(sin(x),cosx) делают замену tg(x)=t, при которой x=arctg(t), , или замену ctg(x)=t, если это удобнее. Интегрирование функций рационально зависящих от тригонометрических функций 1. Интегралы вида ∫sinnxdx, ∫cosnxdx, n>0 a) Если n нечётное, то одну степень sinx (либо cosx) следует внести под знак дифференциала, а от оставшейся чётной степени следует перейти к противоположной функции. б) Если n чётное, то пользуемся формулами понижения степени 2sin2x=1-cos2x, 2cos2x=1+cos2x. 2. Интегралы вида ∫tgnxdx, ∫ctgnxdx, где n – целое. Необходимо использовать формулы 3. Интегралы вида ∫sinnx·cosmx dx а) Пусть m и n разной чётности. Применяем подстановку t=sin x, если n - нечётное либо t=cos x, если m – нечётное. б) Если m и n чётные, то пользуемся формулами понижения степени 2sin2x=1-cos2x, 2cos2x=1+cos2x. 4. Интегралы вида Если числа m и n одинаковой чётности, то используем подстановку t=tg x. Часто бывает удобным применить приём тригонометрической единицы. 5. ∫sin(nx)·cos(mx)dx, ∫cos(mx)·cos(nx)dx, ∫sin(mx)·sin(nx)dx Воспользуемся формулами преобразования произведения тригонометрических функций в их сумму: sin α·cos β = ½(sin(α+β)+sin(α-β)) cos α·cos β = ½(cos(α+β)+cos(α-β)) sin α·sin β = ½(cos(α-β)-cos(α+β) жүктеу/скачать 3,06 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|