Процессы управления и устойчивость
жүктеу/скачать 30,48 Mb. Pdf көрінісі
|
|
x ji − r
i , если существует j такое, что x ji ≥ y i , h ji = max
s∈S j (h js ), где j = 1, . . . , m и i = 1, . . . , n, 0, если для любого j x ji
i ,
ji = max
s∈S j (h js ), где j = 1, . . . , m и i = 1, . . . , n. Рассматривается k-й шаг игры. Пусть после (k − 1)-го шага игры продавцами было продано p лотов покупателям. На k-ом шаге игры в результате выбора покупателями и продавцами своих стратегий x ji ∈ X j и y i ∈ Y
i , где i = 1, . . . , (n − p) и j = 1, . . . , (m − p), реализу- ется ситуация z k = x 11 , x 12 , . . . , x (m−p)(n−1−p) , x
(m−p)(n−p) ; y
1 , . . . , y (n−p) ) ,
после чего, соответственно, определяются выигрыши покупателей и продавцов: H j z
) = v ij − x ij — для игрока, купившего лот на k-ом шаге игры, и K i z k ) = x
ij − r
i — для игрока, продавшего лот на k-ом шаге игры, где i = 1, . . . , (n − p) и j = 1, . . . , (m − p). На k-ом шаге игры для любой реализовавшейся ситуации z k ∈ X
1 × . . . × X (m−p) ×
Y 1 ×. . .×Y (n−p) = Z
k получаем следующую подыгру аукциона первой цены в нормальной форме: Γ k f = M = {1, . . . , (m − p) }, N = {1, . . . , (n − p) }, X j , Y
i , H
j , K
i , где H j (z k ) =
v ij − x
ij , если h ji = max
s∈S j (h js ), S j = ∅ и
x ji ≥ y i , где j = 1, . . . , (m − p) и i = 1, . . . , (n − p), 0, если S
j = ∅,
x ji
i ,
j = 1, . . . , (m − p) и i = 1, . . . , (n − p). K i
k ) =
x ji − r
i , если существует j такое, что x ji ≥ y i , h ji = max
s∈S j (h js ), где j = 1, . . . , (m − p) и i = 1, . . . , (n − p), 0, если для любого j x ji
i ,
ji = max
s∈S j (h js ), где j = 1, . . . , (m − p) и i = 1, . . . , (n − p). Из вышеизложенного вытекает, что в соответствии с правилами иг- ры в аукционе Γ k f
ситуации z k , если назначенная им цена за лот является самой высо- кой среди всех цен, назначенных другими покупателями за этот лот и не меньше цены, назначенной продавцом за лот. В случае, если по- купатель выигрывает более одного лота, то он получает только один лот, доходность от выигрыша которого была самой высокой среди всех доходностей по другим выигранным им лотам. В аукционе Γ k f i-й продавец реализует свой лот в ситуации z k , если назначенная им цена за лот не выше хотя бы одной из объявленных цен за этот лот покупателями. В случае, если покупатель, объявивший максималь- ную цену по этому лоту, получает другой лот, то продавец продает этот лот покупателю, цена которого за этот лот была второй по ве- личине, не меньше цены продавца, а доходность покупателя от вы- игрыша этого лота была самой высокой среди всех его доходностей от выигранных им лотов. 540
2. Компромиссное решение игры Γ k f . В этом пункте описы- вается алгоритм нахождения компромиссного решения для игры Γ k f
ШАГ 1. Строится идеальный вектор M = [M
1 , . . . , M m ,
m+1 , . . . , M m+n ], где M
j = max{H
j (z k ) z k ∈ Z k } , j = 1, . . . , m (M j
ля) и M i = max{K i (z k ) z k ∈ Z k } , i = (m + 1), . . . , (m + n) (M i –
ШАГ 2. Находится в каждой точке z k для всех игроков откло- нение от максимума (M j и M i ) для остальных значений функции выигрыша игроков (M j − H j (z k ) и (M i − K i (z k )). ШАГ 3. Из найденных отклонений (M j −H
(z k )) и (M i −K i (z k )) для каждой точки z k выбирается максимальное: max j∈M
i∈N M j − H j z k , M
i − K
i z k . ШАГ 4. Выбирается минимальное из этих максимальных от- клонений min z k ∈Z k max j∈M
i∈N M j − H j z k , M
i − K
i z k . Ситуация z k
нием игры Γ k f . Литература 1. Paul R. Milgrom, Robert J. Weber // Econometrica, 1982. Vol. 50, issue 5. P. 1089–1123. 2. Малафеев О.А. Управляемые конфликтные системы. СПб: Изд- во СПбГУ, 2000. 3. Малафеев О.А., Грицай К.Н. Оптимальное управление в динами- ческих играх аукциона // Теория управления и теория обобщен- ных решений уравнений Гамильтона–Якоби: Тез. докл. Между- нар. семинара, посв. 60-летию акад. А.И. Субботина / Под ред. В.С. Пацко. Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2005. С. 101–102. 4. Петросян Л.А., Зенкевич Н.А. Теория игр. М.: Высш. шк., 1998. 304 с. 541
Зенкевич Н.А., Сырова А.К. Санкт-Петербургский государственный университет Ценовое поведение дилера на валютном рынке при условии дифференциации потребителей Введение. В условиях рыночной экономики актуально исследо- вание различных рынков, в том числе финансовых. В данной работе построена и исследована модель ценового поведения дилера на ва- лютном рынке. Предполагается, что на рынке есть две валюты – национальная и иностранная, и, что весь валютный рынок – внеш- ний рынок, разбит на большое число внутренних рынков, в каждом из которых работает только один дилер. Дилеры могут совершать операции друг с другом. Считается, что дилер устанавливает курсы покупки и продажи валюты на своем внутреннем рынке в начале короткого периода, и эти курсы остаются неизменными на протя- жении всего этого периода, такой период будем называть торговой сессией. Примем временную продолжительность торговой сессии за единицу. Результаты, полученные при сделанных предположениях, могут быть использованы при моделировании ситуаций, близких к реальным. Предположим, что внешний рынок разбит на N внутренних рын- ков, и потребители равномерно распределены между внутренними рынками.
1. Рассмотрим сначала случай, когда дилер полностью контро- лирует свой внутренний рынок, устанавливая курсы покупки и про- дажи валюты, то есть потребители, совершающие сделки на j -ом внутреннем рынке, не могут работать с каким-либо другим диле- ром. Тогда функции спроса и предложения, характеризующие j -й рынок, выглядят следующим образом: p j
j (t) − cs
a j (t), q j (t) = b j (t) + cs
b j (t), где s a j (t) – курс покупки валюты на j -ом рынке, s b j (t) – курс продажи валюты на j -ом рынке, a j (t), b
j (t) – характеристики j -го рынка; с – параметр, описывающий чувствительность потребителей к измене- нию цены на рынке. Сделаем замену переменных: s j (t) = (s a j (t) + s b j (t))/2, z j (t) = (s a j (t) − s b j (t))/2. 542
Обозначим x j (t) – количество иностранной валюты, имеющееся у дилера в данный момент времени – начальная позиция диле- ра. Определим размер возможных операций на внешнем рынке как P j (t) − Q j (t), где P j (t) – размер продаж на внешнем рынке, Q j (t) –
размер покупок на внешнем рынке. Хотя дилер может не знать точ- но, какую цену назначают другие дилеры, однако предполагается, что он знает средний курс покупки S a (t) и средний курс продажи S b (t) на внешнем рынке. Эту информацию он принимает во внима- ние, когда осуществляет сделку. Функция дохода дилера будет иметь вид R j
j s a j (t) − q
j s b j (t) + P
j (t)S
b (t) − Q
j (t)S
a (t).
Введем новые обозначения: α j (t) = a j (t) − b
j (t), β
j (t) = a
j (t) + b
j (t),
δ = 2c. Тогда функцию дохода можно записать в следующем виде: R j (t) = α j (t)s j (t)+β
j (t)z
j (t)−δ[s
2 j (t)+z 2 j (t)]+P j (t)S
a (t)−Q
j (t)S
b (t).
Дилер стремится максимизировать свой доход к концу определенно- го периода при условии, что в конце это периода его запас валюты будет равен нулю: x j (t) − p j (t) + q
j (t) − P
j (t) + Q
j (t) = x
j (t + 1) = 0. Получаем задачу максимизации: max
s j (t),z j (t),P
j (t),Q
j (t)
R j (t) при условии x j (t) − α j (t) + δs j (t) − P
j (t) + Q
j (t) = 0.
Для решения задачи строим функцию Лагранжа: L j (t) = R j (t) + µ j (t)[x
j (t) − α
j (t) + δs
j (t) − P
j (t) + Q
j (t)].
Решая задачу методом множителей Лагранжа, получаем: α j (t) + 2δs j (t) + δµ j (t) = 0,
β j (t) − 2δz j (t) = 0,
µ j (t) = S b (t) ⇐ P
j (t) > 0, Q j (t) = 0,
µ j (t) = S a (t) ⇐ P
j (t) = 0, Q j (t) > 0,
S b (t) < µ j (t) < S
a (t) ⇐ P
j (t) = Q
j (t) = 0.
Из решения следует, что средний курс зависит и от операций на внешнем рынке, и от начальной позиции, а на полуразность влияют только характеристики внутреннего рынка: 543
s j (t) = s 0 j (t) − (1/δ)[x j (t) − P
j (t) + Q
j (t)],
z j (t) = β j (t)/2δ,
µ j (t) = s 0 j (t) − (2/δ)[x j (t) − P
j (t) + Q
j (t)],
где s 0 j (t) = α j (t)/δ. Операции на внешнем рынке зависят от начальной позиции и внешних курсов следующим образом: P j
j (t) = 0 ⇐ x j (t) > (2/δ)[s 0 j (t) − S b (t)] ≡ x
u j (t), P j (t) = 0, Q j (t) > 0 ⇐ x j (t) < (2/δ)[s 0 j (t) − S a (t)] ≡ x
l j (t), P j (t) = Q j (t) = 0 ⇐ x l j
j (t) < x
u j (t). С учетом указанных неравенств получаем: [s 0 j (t) + S
b (t)]/2 ≤ s j (t) ≤ [s
0 j (t) + S a (t)]/2].
Таким образом, получили интервал, из которого дилер может вы- брать средний курс в целях максимизации своего дохода. 2. Рассмотрим теперь случай, когда потребители, находящиеся на рынке, делятся на две группы. С одной стороны, это хорошо инфор- мированные потребители, которые имеют возможность совершать сделки на внешнем рынке как только замечают, что на внутреннем рынке цена менее выгодна. С другой стороны, это потребители, для которых не представляется возможным совершать сделки на внеш- нем рынке. В этом случае функции спроса и предложения будут выглядеть следующим образом: p j
j (t) − cs
a j (t) − d[s a j (t) − S a (t)],
q j (t) = b j (t) + cs
b j (t) + d[s b j (t) − S b (t)],
где d – параметр, показывающий насколько чувствительны потре- бители к небольшому различию цен. Введем обозначения: α j (t) = a j (t) − b
j (t), β
j (t) = a
j (t) + b
j (t),
δ = 2c, η = 2d, S j (t) = (S a j (t) + S b j (t))/2, Z j (t) = (S
a j (t) − S b j (t))/2. Тогда функция дохода будет иметь вид: R j (t) = [α j (t) + ηS(t)]s j (t) + [β
j (t) + ηZ(t)]z j (t)−
−(δ + η)[s 2 j (t) + z 2 j (t)] + P j (t)[S(t) − Z(t)] − Q j (t)[S(t) + Z(t)]. 544
Опять ставим задачу максимизации, при условии, что в конце периода количество валюты у дилера будет равно 0: max s
(t),z j (t),P j (t)−Q
j (t)
R j (t), x j (t) − [α j (t) − (δ + η)s j (t) + ηS(t)] − [P j (t) − Q
j (t)] = 0. Решая задачу условной оптимизации методом множителей Лагран- жа, получаем: s j
j (t) + ηS(t)]/2(δ + η) + (1/2)µ j (t),
z j (t) = [β j (t) + ηZ(t)]/2(δ + η), µ j
b (t) ⇐ P
j (t) > 0,
µ j (t) = S a (t) ⇐ Q
j (t) > 0,
S b (t) < µ j (t) < S
a (t) ⇐ P
j (t) = Q
j (t) = 0.
Если P j (t) = Q j (t) = 0, то средний курс выражается из гранич- ного условия s j (t) = [α j (t) + ηS(t)x j (t)]/(δ + η). Выражения для курсов на внутреннем рынке показывают их за- висимость от курсов на внешнем рынке. Следует обратить внимание, что полуразность курсов зависит теперь не только от характеристик конкретного внутреннего рынка, но и от курсов на внешнем рынке. Литература 1. Suvanto A. Foreign exchange dealing // The Research Institute of the Finnish Economy. 1993. 2. Salo S., Suvanto A. Consistency of Cross Exchange Rates Across Market Makers // Helsinki School of Economics Working Papers F- 306. 1993. 3. Hagerty K. Equilibrium Bid-Ask Spreads in Markets with Multiple Assets // Review of Economic Studies 58. 1991. P. 237–257. 545
Зятчин А.В. Санкт-Петербургский государственный университет Народная теорема в одной стохастической игре Рекомендовано к публикации доцентом Зенкевичем Н.А. 1. Постановка задачи. Рассмотрим статическую игру в нор- мальной форме G(x) = (N, {q i }
, {Π i (·)} i∈N ), где x – некий пара- метр, Π i
i (q 1 , . . . , q n , x) – непрерывная функция по x. Предпо- ложим, что в игре G(x) существует ситуация равновесия по Нэшу в чистых стратегиях q ∗ (x) = (q
∗ 1 (x), . . . , q ∗ n (x)) для каждого значения x, q ∗ i (x) – непрерывны по x. Предположим, что параметр x эволюционирует в соответствии со стохастическим процессом вида dx = µxdt + σxdz, x(t
0 ) = x
0 , где
µ – параметр, характеризующий средний ожидаемый темп роста, σ – параметр, характеризующий величину неопределенности. В [2] решена следующая задача: для любой вероятности мень- ше единицы определить начальное состояние x 0 , где dx = µxdt + σxdz, x(t
0 ) = x
0 , так, чтобы значения x(t), при t > 0, превосходи- ли значения заданного параметра A с заданной вероятностью. Для вероятности 0,95 было определено минимальное из таких значений, x min
0 : x min 0 = Ae 2σ2 2µ−σ2
, при 2µ − σ > 0. Значения x 0 > x min 0 будем называть допустимыми. Определим динамическую повторяющуюся стохастическую игру Γ(t, x). Пусть игра G(x) повторяется в каждый момент времени t. Выигрыш в игре Γ(t, x) определяется следующим образом: W i (t, x(t), q i (x(t))) = max q i ∞ t e −rt Π i (q(x(t)), x(t))dt, t ≥ 0. Обозначим H(t) = {q 1 (τ ), . . . , q n (τ )}, τ ∈ [0, t], историю процесса. Будем предполагать, что игроки обладают полной информацией об игре. Необходимо построить абсолютное равновесие в игре Γ(t, x(t)). 546
2. Народная теорема. Пусть существует такая ситуация q(x(t)) = (q 1 (x(τ )), . . . , q n (x(τ ))), τ ∈ [0, t], при которой в каждой игре G(x) Π i (q(x(t))) > Π i (q ∗ (x(t))). Введем обозначение соответ- ствующей истории: H(t) = {q 1 (t), . . . , q n (t)}. Построим функцию q ∗
q(x(t)), H(t) = H(t), q ∗
H(t) = H(t), которую будем называть стратегией наказания. Теорема. Пусть для некоторой вероятности p > 0 существует допустимое начальное значение x 0 и параметр δ ∗ > 0 такие, что Π i
i (q ∗ (x(t)), x(t)) > δ ∗ , dx = µxdt + σxdz. Тогда с вероятностью p существует такое значение r ∗ > 0, что для всех 0 < r ≤ r ∗ , q жүктеу/скачать 30,48 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|