3 1 i 2 2  ;  1

13 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

. 

5

i 1



; 

. 

3

2

6 i





; 

. 

7

7i



; 

. 

4

1

1

i

3



; 

. 

3

3i

3



; 

. 

1, 2 1, 2i





; 

0. 

4

1

3 i



; 

1. 

4

1 i



; 

     Теңдеулерді шеш: 

2. 

2

z

2 2i

0

 



; 

3. 

4

z

1

3 i

0

 



; 

4. 

5

z

1 i

0

  

; 

5. 

3

z

2

6 i

0







; 

6. 

4

z

2

2 i

0







; 

7. 

4

z

1

3 i

0

 



; 

8. 

6

z

3 i

0



 

; 

9. 

2

z

7 7i

0

 



; 

0. 

4

1

z

1

i

0;

3

 



 

1. 

3

z

3i

3

0







; 

2. 

3

z

2

6 i

0







; 

3. 

4

z

3 i 1 0



 

; 

4. 

3

z

1

3 i

0

 



; 

5. 

3

z

6

2 i

0







; 

6. 

3

z

3 i 3

0



 

; 

7. 

4

z

3 i

0



 

; 

8. 

3

z

i

0

 

; 

9. 

3

z

8i

0





; 

0. 

3

i

z

0.

8





 

 

 

4 есеп 

Санды көрсеткіштік түрде жаз: 

. 

1

3

i

2

2



; 

. 

1

3 i



; 

. 

3 3 3 i



; 

. 

2 2

2 2 i



; 

. 

10 10i





; 

. 

2

2i



; 

. 

3 3 3 i



; 

. 

2 2i



; 

. 

7

7

i

2

2 3



; 

0. 

5 5i

 

; 

1. 

1

3

i

2

2



; 

2. 

1

1

i

2

2





; 

3. 

1

3 i



; 

4. 

4i

; 

5. 

2 3

2i

3





; 

6. 

2

6 i





; 

7. 

1 i



; 

8. 

2i

; 

9. 

3 i





; 

0. 

2



; 

1. 

i

; 

2. 

1 i



; 

3. 

1 i

 

; 

4. 

1 i

 

; 

5. 

3

i



; 

6. 

2i



; 

7. 

3 3i



; 

8. 

3i



; 

9. 

2

2i



; 

0. 

2

2 3 i



. 

14 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

 

 

5 есеп 

Берілген  теңдеулер  мен  теңсіздіктерді  қанағаттандыратын  нүктелер  жиынын  анықтап  салып 

көрсет: 

. 

Re z

2

 

; 

. 

arg z

4

4











; 

. 

z i

2





; 

. 

1

Im z

2



; 

. 

1

z 2

3







; 

. 

arg z

4

3









; 

. 

1

z i

2







; 

. 

1 Re z

2

 



; 

. 

Re z

Im z



; 

0. 

z

2 i

2

  

; 

1. 

0

Im z 3





; 

2. 

Im z

2



; 

3. 

arg z

4



 

; 

4. 

z

2 i

4

  

; 

5. 

Re z

2

 

; 

6. 

z

2 i

4

  

; 

7. 

Im z

4

 

; 

8. 

z

2 i

16

  

; 

9. 

Re z

2



; 

0. 

z

2 i

4

  

; 

1. 

z

2 i

4

  

; 

2. 

arg z

8





; 

3. 

z 1 2i

4

 



; 

4. 

2

arg z

3





; 

5. 

z

4



; 

6. 

3

arg z

4





; 

7. 

Re z

Im z



; 

8. 

Re z

5



; 

9. 

z i

2

 

; 

0. 

Im z

3



. 

 

 

6 есеп 

 

Нақты және жорамал бөліктерін тап: 

1.     





cos 2 i



; 

2.     

 

i

1



; 

3.     





sin 2i 1



; 

4.     

 

i 1

i



; 

5.     

tg 2 i

; 

6.     

 

i

2



; 

7.     

1 i

Ln

2















; 

8.     





cos 2 i



; 

9.     

 

i

1





; 

10.    





tg

2i



; 

11.    





i

1 i



; 

12.    

i 1

Ln

2















; 

13.    





sin 1 2i



; 

14.    

i

2

; 

15.    





cos 1 2i



; 

16.    





i

1 i





; 

17.    





sin

1 2i

 

; 

18.    





i

i 1



; 

19.    





cos

1 2i

 

; 

20.    





sin 1 2i



; 

21.    

2

2 i

Ln

2

















; 

22.    





sin 2 i



; 

23.    





2 i

1

3 i



; 

24.    





cos

2 i

 

; 

15 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

25.    





1 i

1

3 i





; 

26.    





sin 2 i



; 

27.    





i

3 i



; 

28.    





sin

2 2i

 

; 

29.    

1

3 i

2

 

; 

30.    





Ln

3

i



. 

 

7 есеп 

 

Аналитикалық болатын 

f (z)

u

i v





 функциясын анықта, мұндағы  

z

x

i y





: 

1.     

3

2

u

x

3x y ,

f (0)

i







; 

2.     

2

2

u

x

y

2x, f (i)

1 2i







  

; 

3.     

x

u

2e cos y,

f (0)

2





; 

4.     

y

u

arctg ,

x

0,

f (1)

0

x







; 

5.     

2

2

u

x

y

5x







; 

6.     

v

4 2 y

 

; 

7.     

2

2

y

u

y

x





; 

8.     

2

2

u

3 x

y

 



; 

9.     

2

2

v

x

y

2







; 

10.    

x

v

e sin y



; 

11.    

2

2

u

x

y

x y,

f (0)

0









; 

12.    

3

2

u

x

3x y ,

f (0)

0







; 

13.    

2

2

y

u

,

f (2)

0

y

x







; 

14.    

x

v

e cos y,

f (0) 1





; 

15.    

2

2

u

x

y

11, f (0) 11 7i











; 

16.    

3

2

u

2x

6x y ,

f (0)

0







; 

17.    

2

2

y

v

,

f (1) 1

x

y









; 

18.    

v

2x y 5y,

f (0)

0







; 

19.    

2

2

u

x

y ,

f (0)

0







; 

20.    

x

v

e cos y,

f (0)

i





; 

21.    

2

2

x

u

x

,

f (1)

2

x

y









; 

22.    

2

2

u

x

y

5x, f (0)

0









; 

23.    

2

3

3

2

v

6x y

2y

x

3x y ,









 

         

f (0)

0



; 

24.    

u

2x y,

f (0)

0

 



; 

25.    

x

u

e sin y,

f (0)

i

 



; 

26.    





2

2

u

ln x

y





; 

27.    

y

u

e

cos x





; 

28.    

2

3

v

3x y

y ,

f (0) 1







; 

29.    

u

y

2x y





; 

30.    

v

2x y

y,

f (0)

0







. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

КОМПЛЕКС АЙНЫМАЛЫ ФУНКЦИЯЛАРДЫҢ ИНТЕГРАЛДАРЫ 

 

z

 комплекс айнымалы үзіліссіз 

f (z)

u(x, y) i v(x, y)





функцияның интегралы     бөлшек-

тегіс АВ доғасы бойымен келесі формула бойынша есептеледі 

AB

AB

AB

f (z) d z

u d x

v d y i

v d x

u d y















. 

немесе, егер  

x

x(t),

y

y(t),





  яғни   

z

x(t) i y(t),

z

z(t),







  

1

2

t

t

t

 

 – АВ 

доғасының параметрлік теңдеуі болса,  

A

 ~ 

1

t

,  

B

 ~ 

2

t

, онда 





2

1

t

AB

t

f (z) d z

f z(t) z (t) d t.









 

 

 

Мысалы  9.  

С

(2z 1) z d z





, егер  

C

 – шеңбер:  

z

1



. 

 

Есептеу.         







C

C

(2z 1) z d z

(2x

2i y 1) x

i y d x

i d y



















 

 









2

2

С

2x

2y

x

i

2x y

2x y

y

































2

2

C

d x

i d y

2x

2y

x d x



















2

2

C

y d y i

2x

2y

x d y

y d x.













  

Алынған  қисық  сызықты  интегралдарды  есептеу  үшін    шеңбердің  параметрлік  теңдеуін 

қолданамыз:  

x

cos t,

y

sin t





 (суретте). 

 

                            y 

 

 

 

 

                       0           1                x 

 

 

   

                 

Сонда 

   





2

0

2

cos t sin t d t

sin t cos t d t













 

               





2

0

i

2 cos t cos t dt sin t sin t d t













 

17 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

                   





2

0

2sin t

cos t sin t

sin t cos t d t















 

                   





2

2

2

0

i

2 cos t

cos t

sin t d t













 

                   

2

2

2

0

0

0

2cos t

i 2sin t

i t

2 i.













 

 

 

Басқаша алсақ, шеңбердің теңдеуі былай жазылады: 

 

i t

z

z(t)

x(t) i y(t)

cos t

i sin t

e ,

0

t

2













  

. 

Сонда 

i t

i t

z

e

,

d z

i e d t







. 

 





2

i t

2

i t

i t

i t

0

C

0

2e

(2z 1) z dz

2e

1 e

i e d t

i

t

2 i.

i





















 













 

Егер 

 

f z

 – бір айланысты 

D

облысында аналитикалық болса, онда 

AB

f (z) d z



 интегралының 

D

 облысынан еркін алынған бөлшек-тегіс 

AB

 доғасы бойымен алынған интегралыы жолдан тәуелсіз, 

яғни 

AB

  доғасынан  тәуелсіз,  тек  доғаның  бас  нүктесі  мен  ұшынана  ғана  тәуелді  анықталады  да, 

есептеу Ньютон-Лейбниц формуласы бойынша жүргізіледі: 

 

0

z

0

z

f (t) d t

(z)

z

 

 



, 

мұндағы  

(z)



 – 

f (z)

функциясына қатысты қайсібір алғашқы функция. 

Аналитикалық 

f (z)

  функциясына  қатысты  алғашқы  функцияны  табу  үшін  интегралдаудыі 

кәдімгі формулалары қолданылады. 

 

жүктеу/скачать 0,63 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: