Қр білім және ғылым министрлігі

Мысалы 24.  

z

z 1

e

d z

z





 есептеу керек. 

34 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

Шешуі.   

z

e

f (z)

z



    функциясының 

z

0



бір  о.е.н.    (1-ші  ретті  полюс)  бар,  және  ол   

z

1



 

облысына тиісті. Сондықтан, 

z

z

z

0

0

z 1

e

e

z

d z

2 i Res f (z) 2 i lim

2 i

z

z







 

 

 



. 

Мысалы 25.  

5

3

C

d z

z

z





 есептеу керек, мұндағы  

C

:  

z

3



 шеңбер. 

Шешуі. 







5

3

3

1

1

z

z

z z 1 z 1









. 

z

0



 – 3-ші ретті полюс,  

z

1

 

 – 1-ші ретті полюстер, олар интегралдау контурының ішінде 

орналасқан, сонда 

5

3

5

3

5

3

5

3

0

1

1

C

d z

1

1

1

2 i Res

Res

Re s

z

z

z

z

z

z

z

z







 























; 

 

2

2

3

5

3

2

5

3

2

2

z

0

0

z

0

1

1

d

1

1

d

1

Res

lim

z

lim

z

z

2 !

d z

z

z

2

d z z

1































 





2

3

z

0

2

1

6z

2

lim

1

2

z

1







 



; 

 





5

3

5

3

4

3

z

1

z

1

1

1

1

1

1

Res

lim

z 1

lim

z

z

z

z

z

z

2



















; 

 





5

3

5

3

4

3

z

1

z

1

1

1

1

1

1

Res

lim

z 1

lim

z

z

z

z

z

z

2





















. 

 

5

3

C

d z

1

1

2 i

1

0

z

z

2

2





 

 

















. 

 

Мысалы 26.   

z r

1

sin

d z

z





 есептейік. 

Шешуі.  

z

0



 – маңызды ерекше нүкте, себебі  ақырлы да, ақырсыз да 

z

0

1

lim sin

z



  шегі жоқ. 

3

5

z

z

sin z

z

...,

0

z

3 !

5 !

 





  

; 

3

5

1

1

1

1

sin

... ,

0

z

z

z

z 3 !

z 5 !









  

; 

35 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

0

1

Res sin

1

z



; 

. 

 

f (z)

  функциясының  ақырсыз  алыстатылған  оқшауланған  ерекше  нүктеге  қатысты 

қалындысы,    

)

z

(

f

s

Re



  деп белгіленетін, 

C

1

Res f (z)

f (z) d z

2 i









тең санды айтады, 

мұндағы   

C

  –  центрі 

O

нүктесінде  болатын,  ішінде 

f (z)

функциясының 

z  

нүктесінен  басқа 

ерекше  нүктелері  болатын  кез-келген  шеңбер  және 

C

контурын  айналу  сағат  тілімен  бағыттас 

жүргізіледі.   

1

Res f (z)

A





 

,  мұндағы   

1

A



  –

f (z)

функциясының 

z  

  маңайындағы  Лоран 

қатарындағы  

1

z

 -тің жанындағы  коэффициент. 

Егер 

f (z)

функциясы  ұлғайтылған  комплекс  жазықтықта,  саны  ақырлы      ерекше 

нүктелерден  басқа  барлық  нүктелерде  аналитикалық  болса, 

f (z)

функциясының  барлық  ерекше 

нүктелерге қатысты қалындыларының қосындысы нөлге тең. 

  

f (z)

    функциясы,  жоғары  жартыжазықтыққа  тиісті  саны  ақырлы  ерекше  

1

2

n

,

, ...,

a

a

a

  нүктелерден  басқа  жоғары  жарты  жазықтықтың  барлық  нүктелерінде,  нақты 

өсті  қоса  алғанда,  аналитикалық  болсын.  Сонымен  бірге  ақырсыз  алыстатылған  нүкте   

f (z)

функциясының реті екіден кем емес  нөлі болсын, яғни  

 

 

f

0,

f

0



 

 

. Сонда  

k

n

a

k 1

f (x) d x

2 i

Res f (z)







 





. 

Мысалы 27.   







2

2

d x

x

25 9x

1











 интегралын есептеу керек. 

Шешуі. 







2

2

1

f (z)

x

25 9x

1







  функциясы  жоғарыда  берілген  теореманың  барлық 

шарттарын қанағаттандырады. 

1

z

5 i,

z

i

3





 – жоғары жарты жазықтыққа тиісті жәй полюстер. 

Сонда                













2

2

2

2

5 i

d x

1

2 i Res

x

25 9x

1

z

25 9z

1







 

















 

 

0

z r

1

1

sin

d z

2 i Res sin

2 i

z

z



 

 



36 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 







2

2

1

i

3

1

1

3

Res

2 i

1

10 i 224

80

z

25 9z

1

25

9 2 i

9



















 



























 

 

















. 

 

Егер   





i t z

f (z)

e

F(z)

t

0





,  және 

F(z)

жоғары  жартыжазықтыққа  тиісті  саны 

ақырлы  ерекше   

1

2

n

,

, ...,

a

a

a

  нүктелерден  басқа  жоғары  жарты  жазықтықтың  барлық 

нүктелерінде,  нақты  өсті  қоса  алғанда,  аналитикалық  болсын.  Сонымен  бірге  ақырсыз 

алыстатылған нүкте  

F(z)

функциясының нөлі болса, яғни  

 

F

0

 

 онда  

 

k

n

k 1

f (x) d x

2 i

Re s f z







 





a

. 

 

Мысалы 28. 

2

0

x sin x

d x

x

1







интегралын есептеу керек.   

Шешуі: Интеграл астындағы функция жұп болғандықтан,  

2

2

0

x sin x

1

x sin x

d x

d x

x

1

2

x

1

















. 

i x

2

2

x sin x

x e

d x

Im

d x

x

1

x

1



















. 

i z

2

z e

z

1



  функциясы жоғарыдағы теореманың шарттарын қанағаттандырады.  

z

i



 нүктесі 1-ші 

ретті полюс, ол жоғары жарты жазықтыққа тиісті. Сонда 

i x

i z

2

2

i

x e

z e

d x

2 i Re s

i

x

1

z

1

e







 









; 

2

x sin x

d x

Im i

;

x

1

e

2

















 

2

0

x sin x

d x

x

1

2e











. 

 

 

 

 

 

11 есеп 

 

  

w

f (z)



  функциясының ерекше нүктелерін тауып, оларды  сипаттап бер: 

37 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

1.  





3

2

1

;

z

1



 

2.  

7

5

3

z 1

;

z

8z

16z







 

3.  

cos z

;

z

2





 

4.  





2

2

1

;

z

9



 

5.  

sin z

;

z  

 

6.  

1

;

sin z

 

7.  

2

z

1

;

z 1





 

8.  

z 1

;

cos z



 

9.  

cos z

;

z i



 

10. 

tg z;

 

11. 

2

1

;

cos z

 

12. 

2

z 1

;

z

1





 

13. 

z

;

tg z

 

14. 

3

z 1

;

z

4z





 

15. 

3

4

z

,

sin z

 шеңдер ішінде           

z

1;



 

16. 









2

2

2

z

1

;

z

i

z

4







 

17. 

3

1

;

z

z



 

18. 





2

2

1

;

z z

4



 

19. 

z

2

e

;

1 z



 

20. 





2

2

1

;

z

4



 

21. 

4

4

z

;

1 z



 

22. 

3

1

;

sin z

 

23. 

2

z

z

1

;

e



 

24. 



 



2

2

2

z

5

;

z

3z

2

z

1









 

25. 





5

2

z

;

1 z



 

26. 

2

1

;

ctg z

 

27. 

2

3

z

sin z cos z

 

, 

1



z

дөңгелегінде 

28. 

2

3

4

z

4

;

2z

z

z







 

29. 

2

3

z

2

;

z

z

2z







 

30. 

3

2

z

2

.

2z

z

z







 

 

12 есеп 

 

Ерекше нүктелердің қалындыларын тап (*-берілген облыс ішінде; **-берілген облыс үшін): 

1. (*) 





2

2

1

w

z

9





 ,  

z 3i

1;





 

2.  (*)





2

2

1

w

z

9





 ,  

z

3i

1;





 

3.  (*)

3

4

z

w

sin z



,  

z

1;



 

4.  (**)

3

5

1

w

z

z





  , 

1

z

;

2



 

5.  (**)





2

2

2

z

w

z

1





 ,  

z i

1;

 

 

6.  (*)

3

5

1

w

z

z





 ,  

0,5

z

1,5;





 

7. (**) 





2

2

2

z

w

z

1





 ,  

z i

1;

 

 

8.  (**)





z

2

2

e

w

z

z

9





  ,  

z

1;



 

38 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

9. (**) 





z

2

2

e

w

z

z

9





  , 

z 3i

1;





 

10. (**)





z

2

2

e

w

z

z

9





  ,  

z

3i

1;





 

11. 

cos z

w

;

z

2







 

12. 

2

z

1

w

;

z 1







 

13. 





2

2

cos z

w

;

z

2z 1







 

14. 





3

sin 2z

w

;

z 1





 

15. 

w

tg z;



 

16. 

3

z 1

w

;

z

4z







 

17. 

1

w

sin z sin ;

z





 

18. 

1

w

cos

;

z

2





 

19. 

2

z 1

w

;

z

1







 

20. 

2

z

1

w

;

z 18







 

21. 





2

1

w

;

z 1 z





 

22. 





2

2

z

z 1

w

;

z

z 1

 





 

23. 

1

w

;

sin z



 

24. 





3

2

1

w

;

z

1





 

25. 

z

w

sin

;

z 1





 

26. 

2

z

4z 1

w

;

z 3









 

27. 

2 z

2

e

z

w

;

z





 

28. 

4

z

sin z

w

;

z





 

29. 

2

2

1 cos z

w

;

z





 

30. 





z

e

1

w

.

z z 1







 

 

 

 

 

ӘДЕБИЕТ 

 

1. Арамович И. Г., Лунц Г. Л., Эльсгольц Л. Э. Функции комплексного переменного. Операцион-

ное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1968. 41 с.  

2.  Бугров  Я.  С.,  Никольский  С.  М.  Дифференциальные  уравнения.  Кратные  интегралы.  Ряды. 

Функции комплексного переменного. М.: Наука, 19685. 464 с. 

3. Ефимов А. В. Математический анализ (специальные разделы). Общие функциональные ряды и 

их приложение. М.: Высш. школа, 1980. 279 с. 

4. Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Функции  комплексного  переменного.  Опера-

ционное  исчисление.  Теория устойчивости. М.: Наука, 1981. 302 с. 

5. Лаврентьев М. А., Шабаш Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Нау-

ка, 1973. 736 с. 

6.  Свешников  А.Г.,  Тихонов  А.Н.  Теория  функций  комплексной  переменной.  М.:  Наука,  1979. 

320 с.