Мысалы 10.
.
1
sin
cos
sin
cos
sin
cos
2
2
iz
iz
e
e
z
i
z
z
i
z
z
z
Көрсеткіштік функцияның негізгі қасиеті де сақталады:
1
2
1
2
z
z
z
z
e
e
e
. Дербес жағдайда,
z
x i y
x
e
e
e cos y i sin y .
1 n
z
(
n
– бүтін оң сан),
z
z
z
arccos
,
arcsin
,
ln
функциялары сәйкес
n
z
z , e , sin z,
z
cos
функцияларына кері функция ретінде анықталады.
sin z
tg z
cos z
және
z
z
sin
cos
z
ctg
көпмәнді фугкциялар болып табылады.
Келесі теңдік орындалатынын дәлелдеуге болады:
Ln z
ln z
i arg z
2 k ;
k
0,
1,
2, ... .
Осы өрнектегі әрбір
k
үшін тармақтар деп аталатын бірмәнді функциялар аламыз, ал
ln z
ln z
i arg z
өрнегі
Ln z
функциясының бас тармағы деп аталады.
2
1
Arcsin z
Ln
i z
1 z
i
;
2
1
Arccos z
Ln z
z
1
i
;
1
i
z
Arctg z
Ln
, z
i
2i
i
z
.
A A
0
-ға тең комплекс негізді және
B
-ға тең комплекс көрсеткішті дәреже мынадай
теңдікпен анықталады:
B
B Ln A
A
e
.
Мысалы 1. Берілген функциялардың берілген нүктелердегі мәнін есептеу керек:
8
Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика
а)
z
w
e
,
0
z
2
i
3
.
Шешуі:
2
i
2
2
2
2
3
1
3
1
3
e
e
cos
i sin
e
i
e
i
e
3
3
2
2
2
2
.
б)
w
cos z
,
0
z
2
i
.
Шешуі:
i (2 i)
i (2 i)
1 2 i
1 2 i
e
e
e
e
cos (2 i)
2
2
1
1
e
cos 2 i sin 2
e cos 2 i sin 2
2
1
1
1
1
e
e
e
e
cos 2
i sin 2
cos 2 ch 1 i sin 2 sh 1.
2
2
Немесе,
1
2
1
2
1
2
cos z
z
cos z cos z
sin z sin z
орындалаьынын ескере отырып:
cos(2 i)
cos 2 cos i sin 2 sin i
cos 2 ch 1 i sin 2 sh 1.
в)
w
Ln z
,
0
z
2
i 2
.
Шешуі:
Ln
2
i 2
ln 2
2
i
2k
ln 2
i
2k
.
4
4
Мысалы 2. Есептеу керек:
i 1
i
.
Шешуі:
i 1
ln 1 i
2 k
i 1 Ln i
2
i 1
i
e
e
2k
i
2k
2k
2
2
2
e
i e
.
Комплекс
z
санының мәнін бір комплекс жазықтықта, ал комплекс
w
f (z)
функцияның
мәнін екінші жазықтықта салатын болайық. Онда комплекс айнымалы бірмәнді функцияны
z
жазықтығының
M
жиынының
w
жазықтығының
N
жиынына бейнесі ретінде қаратыруға болады.
Егер бұл ретте
M
жиынының әртүрлі екі нүктесіне
N
жиынының әртүрлі нүктелері сәйкес келсе, онда
бұл бейнелеу
M
-де бірмәнді немесе бірпарақты сәйкестік деп аталады.
Мысалы 3.
w
3z i
бейнелеуі бойынша
2
2
x
y
2x
0
сызығының бейнесін
анықтаңдар.
Шешуі.
w
u(x, y) i v(x, y)
болғандықтан,
x, y
айнымалыларын келесі жүйеден
шығарып тастайық:
u
u(x, y),
v
v(x, y),
f (x, y)
0,
мұндағы
f (x, y)
0
– сызықтың
z
жазықтығындағы теңдеуі.
9
Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика
Іздеп отырған
u
және
v
байланысын табайық:
w
3z i
3x
3i y i
3x
i(3y 1).
2
2
u
3x,
v
3y 1,
x
y
2x
0.
2
2
u
x
,
3
v 1
y
,
3
x
y
2x
0.
2
2
u
(v 1)
u
2
0.
9
9
3
Алынған
2
2
u
(v 1)
u
2
0
9
9
3
теңдеуін түрлендірсек, мынаны аламыз
2
2
(u 3)
(v 1)
9
.
Осылайша,
z
жазықтығындағы
2
2
(x 1)
y
1
шеңбері
w
жазықтығындағы
2
2
(u 3)
(v 1)
9
шеңберіне бейнеленеді.
Мысалы 4.
2
w
z
бейнелеуі бойынша
Im z
0
жартыжазықтығындағы полярлық тордың
бейнесін анықтаңдар.
Шешуі.
1. Жарты шеңберлердің бейнелерін анықтайық:( сур.):
r
z
c,
0
arg z
.
2
2
w
z
c , arg w
2arg z, 0
arg w
2 .
Яғни, алыстатылған
2
c , 0
нүктелері бар
2
w
c
шеңбер-бейнелер.
y
0 x
2. Сәулелердің бейнелерін анықтайық (суретте)
arg z
c,
0
c
,
0
z
.
10
Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика
2
w
z ,
0
w
,
arg w
2arg z
2c.
Алыстатылған нүктелері бар сәуле-бейнелер:
w
0
.
v
0
u
Осыдан
Im z
0
жарты жазықтығының полярлық торының бейнесі
uOv
жазықтығының
Ou
өсінің бойымен қиылған полярлық торы болып шығады. (суретте).
ЕСЕПТЕР МЕН ЖАТТЫҒУЛАР
1.1. Берілген функциялардың берілген нүктелердегі мәнін есептеңдер:
а) ,
z
w
e
,
1
2
z
(1 i), z
2
2i,
3
z
1
2k
i,
2
k
– бүтін сан;
б)
w
sin z
,
1
2
z
2
3i, z
i
;
в)
w
ctg z
,
1
2
z
1
i, z
i
2
;
г)
w
ch z
,
1
2
z
1 2i, z
2
i
;
д)
w
Ln z
,
1
2
3
z
1, z
i, z
2 3i
;
е)
w
Arcsin z
,
1
2
1
z
i, z
2
.
1.2. Есептеу керек:
3 3 i
i
1 i
, 3 .
1.3. Нақты және жорамал бөліктерін 0,0001 дәлдігімен есептеу керек:
i
cos
2
;
1.4. Нақты және жорамал бөліктерін есептеу керек: а)
2
z
e
; б)
3 i
z
;
в)
2
z sin z
.
1.5. Теңдеуді шеш:
cos z
2
.
1.6. Тепе-теңдікті дәлелде:
11
Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика
а)
ch z
i
ch z;
б)
2
2tg z
tg 2z
.
1 tg z
1.7. Комплекс жазықтықта
0
z
2 i
нүктесінің бейнелерін келесі бейнелеулермен анықта: а)
w
3z i;
б)
16
w
;
z
в)
z
w
.
z
i
1.8.
2
w
z
бейнесі бойынша
3
z
сызығының бейнесін анықта.
1.9.
2
w
z
бейнелеуі бойынша
0
Im
z
жарты жазықтығының бейнесін анықта.
1.10.
1
1
w
z
2
z
бейнелеуі бойынша (Жуковский функциясы)
arg z
, 0
z
1.
3
сызығының бейнесін анықта.
1 есеп
Амалдарды орындаңдар:
.
43
2
i
2 3i
;
.
2
4
2i
2
4i
i
;
.
12
2
i
i
3 i
;
.
17
3 4i
3
i
4
3i
;
.
7
2i
7
i
2
i
;
.
22
7
5i
i
1 2i
;
.
7
5i
i 1 i
1 2i
;
.
11
7
2i
i
2 i
;
.
18
5
i
1 2i
;
0.
4
1 i
i
1 i
;
1.
2
12
i 2
i
5 i
;
2.
23
17
6i
i
3
4i
;
3.
4
3
i
1
3 i
;
4.
9
i 1
3i
2
i
i 1
;
5.
21
5 i
1 2i
i
i
;
6.
26
0, 2 0,3i
0,5 0, 6i
i
;
7.
33
3
3 i
3
3 i
i
;
8.
1 i
1 i
1 i
1 i
;
9.
37
7
5i
i
1 2i
;
0.
25
3 4i
i
4 3i
;
12
Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика
1.
32
3 7
2i
1 3 3 i
;
2.
2
2
1 i
3 i
1 i
;
3.
44
1 i
i
i
;
4.
2
35
0,5 0,5 3 i
0,5 3 i
;
5.
4
1
7 i
2
;
6.
2
1 i
2
2 i
i
;
7.
17
2i
i
3 i
;
8.
2
6
2 i
1 i
2
2 i
3 i
;
9.
13
i
i 1
1
2
i
;
0.
2
15
6 i 1
i
2 i
.
2 есеп
Комплекс санды тригонометриялық түрде беріңдер:
.
1 i
;
.
1 i
;
.
1 i
;
.
1 i
;
.
2i
;
.
3 3i
;
.
3
i
;
.
2
2 i
;
.
3
i
;
0.
0,5 0,5 3 i
;
1.
3
3 i
;
2.
3 3
3i
;
3.
0,5 0,5i
;
4.
4i
;
5.
0,7 0,7i
;
6.
1
3 i
;
7.
2 2i
;
8.
3i
;
9.
1,2
;
Достарыңызбен бөлісу: |