Қр білім және ғылым министрлігі



Pdf көрінісі
бет2/7
Дата31.03.2017
өлшемі0,63 Mb.
#10769
1   2   3   4   5   6   7

Мысалы 10. 

 





.



1

sin


cos

sin


cos

sin


cos

2

2









iz



iz

e

e

z

i

z

z

i

z

z

z

 

Көрсеткіштік функцияның негізгі қасиеті де сақталады:  



1

2

1



2

z

z



z

z

e



e

e



. Дербес жағдайда,  



z



x i y

x

e



e

e cos y i sin y .





 

 



1 n

z

  (



n

  –  бүтін  оң  сан), 



z

z

z

arccos


,

arcsin


,

ln

  функциялары  сәйкес 



n

z

z , e , sin z,



  

z

cos


 функцияларына кері функция ретінде анықталады. 

sin z


tg z

cos z


  және 


z

z

sin


cos

z

 



ctg 

 көпмәнді фугкциялар болып табылады. 

Келесі теңдік орындалатынын дәлелдеуге болады: 



Ln z

ln z


i arg z

2 k ;


k

0,

1,



2, ... .



 



 

Осы  өрнектегі  әрбір 



k

  үшін  тармақтар  деп  аталатын  бірмәнді  функциялар  аламыз,  ал

ln z

ln z


i arg z



  өрнегі 

Ln z


 функциясының бас тармағы деп аталады. 



2

1

Arcsin z



Ln

i z


1 z

i





2



1

Arccos z


Ln z

z

1



i



1



i

z

Arctg z



Ln

, z


i

2i

i



z



 



A A



0

-ға  тең  комплекс  негізді  және 



B

-ға  тең  комплекс  көрсеткішті  дәреже  мынадай 

теңдікпен анықталады: 

B

B Ln A



A

e





 

Мысалы 1. Берілген функциялардың берілген нүктелердегі мәнін есептеу керек:  

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

а) 


z

w

e



0



z

2

i



3

  





Шешуі:    

2

i



2

2

2



2

3

1



3

1

3



e

e

cos



i sin

e

i



e

i

e



3

3

2



2

2

2



 


















б) 


w

cos z


,  


0

z

2



i





Шешуі:                  

i (2 i)


i (2 i)

1 2 i


1 2 i

e

e



e

e

cos (2 i)



2

2



 







 





1

1

e



cos 2 i sin 2

e cos 2 i sin 2

2







 

1



1

1

1



e

e

e



e

cos 2


i sin 2

cos 2 ch 1 i sin 2 sh 1.

2

2









 

 

Немесе, 



1



2

1

2



1

2

cos z



z

cos z cos z

sin z sin z





 орындалаьынын ескере отырып:   

cos(2 i)


cos 2 cos i sin 2 sin i

cos 2 ch 1 i sin 2 sh 1.









 

в) 


w

Ln z


,  


0

z

2



i 2





 

Шешуі:  



Ln

2

i 2



ln 2

2

i



2k

ln 2


i

2k

.



4

4









 











 

Мысалы 2.  Есептеу керек:  

i 1


i



Шешуі:  



i 1



ln 1 i

2 k


i 1 Ln i

2

i 1



i

e

e

















2k

i

2k



2k

2

2



2

e

i e



.







 


 











 

Комплекс 

z

  санының  мәнін  бір  комплекс  жазықтықта,  ал  комплекс 



w

f (z)


функцияның 

мәнін  екінші  жазықтықта  салатын  болайық.  Онда  комплекс  айнымалы  бірмәнді  функцияны 

z

 



жазықтығының 

M

жиынының 



w

  жазықтығының 

N

жиынына  бейнесі  ретінде  қаратыруға  болады. 



Егер бұл ретте 

M

 жиынының әртүрлі екі нүктесіне 



N

жиынының әртүрлі нүктелері сәйкес келсе, онда 

бұл бейнелеу 

M

-де бірмәнді немесе бірпарақты сәйкестік деп аталады. 



 

Мысалы  3. 

w

3z i



  бейнелеуі  бойынша 



2

2

x



y

2x

0





  сызығының  бейнесін 

анықтаңдар. 

 

Шешуі. 

w

u(x, y) i v(x, y)



  болғандықтан, 



x, y

  айнымалыларын  келесі  жүйеден 

шығарып тастайық:  

 

u



u(x, y),

v

v(x, y),



f (x, y)

0,







 

 



мұндағы  

f (x, y)


0

 – сызықтың 



z

 жазықтығындағы теңдеуі. 



Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

Іздеп отырған 



u

 және  


v

 байланысын табайық: 

 

w

3z i



3x

3i y i


3x

i(3y 1).


 


 


 



 

 

      



2

2

u



3x,

v

3y 1,



x

y

2x



0.

 








 

      


2

2

u



x

,

3



v 1

y

,



3

x

y



2x

0.











 



 

 

     



2

2

u



(v 1)

u

2



0.

9

9



3



 



 

Алынған  

2

2

u



(v 1)

u

2



0

9

9



3



 теңдеуін түрлендірсек, мынаны аламыз 



2

2

(u 3)



(v 1)

9





Осылайша, 

z

жазықтығындағы 



2

2

(x 1)



y

1



шеңбері   



w

      жазықтығындағы 

2

2

(u 3)



(v 1)

9





 шеңберіне бейнеленеді. 

 

Мысалы  4. 

2

w

z



  бейнелеуі  бойынша 

Im z

0



  жартыжазықтығындағы  полярлық  тордың 

бейнесін анықтаңдар.  

 

Шешуі. 

1. Жарты шеңберлердің бейнелерін анықтайық:( сур.): 

r

z

c,



0

arg z


.

 




 

 



 

2

2



w

z

c , arg w



2arg z, 0

arg w


2 .



 



 

Яғни, алыстатылған 



2



c , 0

нүктелері бар 

2

w

c



 шеңбер-бейнелер. 

 

 

                                                                    y 



 

 

                                                                                                                       



 

                                                                                                                           

 

 

 



0                              x 

 

 



 

2. Сәулелердің бейнелерін анықтайық (суретте)  

arg z

c,

0



c

,

0



z

.

 



  




 

 



10 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

 

2



w

z ,


0

w

,



arg w

2arg z


2c.



 



 

 

Алыстатылған нүктелері бар сәуле-бейнелер: 



w

0



 

 



                                                                       v 

 

 



 

 

 



 

                                                                                                                        

 

 

                           0 



                          u                                

 

 



 

 

 



 

 

Осыдан 



Im z

0



  жарты  жазықтығының  полярлық  торының  бейнесі     

uOv

жазықтығының 



Ou

өсінің бойымен қиылған полярлық торы болып шығады. (суретте). 

 

ЕСЕПТЕР МЕН ЖАТТЫҒУЛАР 

 

1.1. Берілген функциялардың берілген нүктелердегі мәнін есептеңдер: 

а) ,


z

w

e



1



2

z

(1 i), z



2

2i,


  



  

3

z



1

2k

i,



2



 






 

k

 – бүтін сан; 



б) 

w

sin z



 , 


1

2

z



2

3i, z


i



в) 



w

ctg z


  , 


1

2

z



1

i, z


i

2



  

 


г) 


w

ch z


  ,  


1

2

z



1 2i, z

2

i



 

  


д) 


w

Ln z


  ,  


1

2

3



z

1, z


i, z

2 3i


 



е) 



w

Arcsin z


  ,  


1

2

1



z

i, z


2





1.2. Есептеу керек:  



3 3 i

i

1 i



, 3 .



 

1.3. Нақты және жорамал бөліктерін 0,0001 дәлдігімен есептеу керек:  

i

cos



2



1.4. Нақты және жорамал бөліктерін есептеу керек:  а) 

2

z

e



;    б) 

3 i


z



в) 

2

z sin z





1.5. Теңдеуді шеш: 

cos z


2



1.6.  Тепе-теңдікті дәлелде: 

11 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

а) 


ch z



i

ch z;


 

 


                        б) 

2

2tg z



tg 2z

.

1 tg z



 



1.7.  Комплекс  жазықтықта 

0

z



2 i



нүктесінің  бейнелерін  келесі  бейнелеулермен  анықта:  а) 

w

3z i;



     б) 



16

w

;



z

     в) 



z

w

.



z

i



 

1.8. 

2

w

z



 бейнесі бойынша 

3



z



сызығының бейнесін анықта. 

1.9.  

2

w



z

  бейнелеуі бойынша 



0

Im 


z

 жарты жазықтығының бейнесін анықта. 



1.10. 

1

1



w

z

2



z







  бейнелеуі  бойынша  (Жуковский  функциясы) 

arg z


, 0

z

1.



3



сызығының бейнесін анықта. 



 

 

1 есеп 

Амалдарды орындаңдар: 



 


43

2

i



2 3i







2

4

2i



2

4i

i





 

 

12

2



i

i

3 i







 


17

3 4i


3

i

4



3i

 



 



 


7

2i

7



i

2

i





 

 

22

7



5i

i

1 2i









7

5i

i 1 i



1 2i





 


11

7

2i



i

2 i




 

 

18

5



i

1 2i




0. 

 


4

1 i


i

1 i




 

1. 



2



12

i 2


i

5 i






2. 

 


23

17

6i



i

3

4i





 

3. 

4

3

i



1

3 i




4. 

  



9

i 1


3i

2

i



i 1



 



 

5. 

  


21

5 i


1 2i

i

i







6. 

 


  

26

0, 2 0,3i



0,5 0, 6i

i





 

7. 

 


 


33

3

3 i



3

3 i


i





 

8. 

1 i


1 i

1 i


1 i





 

9. 

 

37

7



5i

i

1 2i







0. 

 


25

3 4i


i

4 3i






12 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

 

1. 



32

3 7


2i

1 3 3 i




2. 



2

2

1 i



3 i

1 i


 


 



3. 

 


44

1 i


i

i



 



4. 



 

2

35



0,5 0,5 3 i

0,5 3 i






5. 

4

1



7 i

2









6. 



2

1 i


2

2 i


i



 



7. 

 


17



2i

i

3 i





8. 





2

6



2 i

1 i


2

2 i


3 i





 



9. 

  


13

i



i 1

1

2



i





0. 

 


2



15

6 i 1


i

2 i




 

 



 

2 есеп 

Комплекс санды тригонометриялық түрде беріңдер: 



1 i




1 i





1 i


 



1 i

 




2i





3 3i




3

i





2

2 i




3

i





0. 

0,5 0,5 3 i



1. 

3

3 i





2. 

3 3


3i



3. 

0,5 0,5i




4. 

4i



5. 



0,7 0,7i





6. 

1

3 i





7. 

2 2i

 




8. 

3i



9. 

1,2





Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет