Қр білім және ғылым министрлігі

ҚР БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ 

Қ.ЖҰБАНОВ АТЫНДАҒЫ АҚТӨБЕ ӨҢІРЛІК МЕМЛЕКЕТТІК  УНИВЕРСИТЕТІ 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КОМПЛЕКСТІ ТАЛДАУ  

пәнінен СӨЖ -практикум  

МПҚБ 4, 7 семестр 

2014-2015 оқу жылы 

 

Оқытушы: Алданов Е.С. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

1 Комплекс сандар және оларға амалдар қолдану 

      

     Комплекс  сан  деп   

z

x

i y





түріндегі  санды  айтады,  мұндағы   

y

,

x

,

1

i

2





  –  нақты 

сандар, 

x

Re z



 – нақты бөлігі, 

y

Im z



 – жорамал бөлігі. 

     Анықтама бойынша, екі комплекс сан: 

1

1

1

z

x

i y





 и 

2

2

2

z

x

i y





 –  тең болады, сонда 

тек сонда ғана, егер  

2

1

x

x 

  және  

1

2

y

y



. 

     

z

 

 

комплекс 

саны 

 

z

комплек 

санына 

түйіндес 

деп 

аталады, 

егер  

Re z

Re z, Im z

Im z



 

. Басқаша айтсақ, егер  

z

x

i y





, онда  

z

x

i y





. 

    Кез-келген  комплекс 

x

i y



    санға  жазықтықтың  жалғыз  бір 

M(x, y)

 

нүктесін  сәйкес 

қоюға  болады,  және  керісінше, 

XOY

жазықтығының 

M(x, y)

 

нүктесін 

iy

x 

  комплекс  санының 

жалғыз  ғана  геометриялық  бейнесі  деп  қабылдауға  болады.  Қысқарту  үшін  комплекс 

iy

x 

 

санына 

сәйкес нүкте” деудің орнына, жәй “

iy

x 

 нүктесі” деп айтады.  

Барлық таза нақты сандар абциссалар осі нүктелерімен беріледі, сондықтан ол нақты ось деп 

аталады, ал таза жорамал 

iy

 сандары ординаталар осі нүктелерімен беріледі, сондықтан жорамал ось 

деп  аталады.    Координаталар  басы  –нақты  0  нүктесіне  сәйкес  келеді.  Комплекс  сандарды  бейнелейтін 

жазықтық комплекс жазықтық деп аталады. 

 

Кейде  комплекс 

iy

x 

  санының  геометриялық  бейнесін 

M(x, y)

  нүктесінің  радиус-векторы 

ретінде қарастыру ыңғайлы болады: 





O M

x, y



  

Мысал 1.  

1

z

5 5i

 

,  

2

z

2i

 

,  

3

z

5



 нүктелерін салу керек. 

 

 

     Ары  қарай  комплекс  сандарды  декарттық  координаталармен  қатар  жалпы  түрдегі  полярлық 

координаталармен беру де пайдалырақ болады. 

 

x

i y



  саны  мен  оған  жазықтықта  сәйкес  келетін 

M(x, y)

  нүктесін  қарастырайық.  Бұл 

нүктенің полярлық координаталар жүйесіндегі координаталары 





,

 

.  

3 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

Сонда 

     

x

cos ,

 



   

y

sin

 



. 

z

x

i y

cos

i

sin





 

  

 

 





cos

i sin

 

 



. 

      Полярлық  радиус 

OM

 



  комплекс  санның  модуі  деп  аталады  да, 

z  

  деп 

белгіленеді.  Полярлық  бұрыш   



    комплекс  санның  аргументі  деп  аталады  да, 

Arg z

 

  деп 

белгіленеді. Сонда    









z

cos

i sin

z cos Arg z i sin Arg z

 

 

 



. 

     

Бұл формула комплекс санның тригонометриялық  түрде жазылуы. 

     Комплек санның модулі келесі формуламен анықталады: 

2

2

z

x

y





. 

 

 

     

     Комплекс санның аргументі 

2

 -ге еселі қосылғыштың дәлдігімен анықталады. Аргументтің 

басты мәні деп оның 





,

 

 интервалындағы мәнін айтады. Ол былай белгіленеді: 

arg z

. Осылайша,  

arg z

 

 

.  

     Сонда 

Arg z

arg z

2k







 екені көрінеді. 

     Аргументтің басты мәні бірмәнді анықталады. 

     Себебі  

y

tg arg z

x



болғандықтан,    





































































.

ширекте

  

,

2

3

   

егер

  

,

,

ширекте

    

,

2

   

егер

  

,

,

ширектерде

 

,

,

2

2

  

егер

  

,

arg

III

y

x

x

y

arctg

II

y

x

x

y

arctg

IV

I

y

x

x

y

arctg

z























 

       

Осыларды ескерсек, комплекс санның тригонометриялық түрі мынадай болады:  













z

z cos arg z

2k

i sin arg z

2k





 





. 

     Мысал 2.

i

z





 1

 комплекс санын тригонометриялық түрде жазу керек. 

Шешуі.   

z

1 1

2,



 

  

tg

1,

  

 

4 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

 

3

arg z

arctg

1

.

4

4







   

  



3

3

z

2

cos

2k

i sin

2k

4

4















 

 

 



























. 

 

Енді  





z

x

i y

z cos Arg z i sin Arg z









 болсын.  

i

cos

i sin

e



 

 

    Эйлер  формуласын  қолданып,    комплекс  санның  көрсеткіштік  түрде 

жазылуын аламыз:  

i Arg z

z

z e



. 

     Мысал 3.  Комплекс 

z

1 i

  

 санды көрсеткіштік түрде жазыңдар.  

Шешуі: 

z

1 1

2,

tg

1,



 

 

 

3

arg z

,

4

4





    

 

3

4

i 2k i

1 i

2 e

.

  



  

 

      

    Мысал 4. Есепте:  

i

e



. 

Шешуі. Эйлер формуласы бойынша  

i

e

cos

i sin

1





 

  

. 

 

2 Комплекс сандарға алгебралық амалдар қолдану 

Қосу  және  көбейту.  Бұл  амалдар  алгебралық  көпмүшеліктерді  қосу  мен  көбейту  сияқты 

орындалады,  мұнда  тек   

i i

1

  

  екені  ескерілуі  қажет.  Сонан  соң  нақты  және  жорамал  бөліктерін, 

яғни 

i

 көбейткіші бар және жоқ бөліктерін ажыратамыз: 



 

 







1

1

2

2

1

2

1

2

x

i y

x

i y

x

x

i y

y

,















 



 

 







1

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

x

i y

x

i y

x x

y y

i x y

y x

,















 



 

 







1

1

2

2

1

2

1

2

x

i y

x

i y

x

x

i y

y

.















 

     Дербес жағдайда,  

2

z z

z





.   

Қосу және азайту амалдарды осы сандардың геометриялық бейнелері болатын векторларды қосу 

және көбейтуге келтіріледі. Осыдан нүктелердің арақашықтығы шығады:  





1

2

1

2

z , z

z

z







. 

Мысалы 5. 

0

z

z

R





 – центрі 

0

z

 нүктесінде және радиусы 

R

шеңбердің теңдеуі. 

5 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

     Бөлу.  Нөлдік  емес  комплекс  санды  бөлу  көбейтуге  кері  амал  ретінде  анықталады.Бөліндіні 

Re z i Im z



  түрінде  жазу  үшін  келесі  6  мысалда  көрсетілгендей  қарапайым  түрлендірулер 

жасалады. 

     Мысалы  6.   













3 i 1 2i

3 i

3 6i i

2

1 7i

1

7

i

1 2i

1 2i 1 2i

1 4

5

5

5









 





















  (бөлшектің 

алымы мен бөлімі бөлімінің түйіндесіне көбейтіледі). 

     Көбейтінді мен бөліндінің  модулі мен аргументі үшін келесі тұжырымдар ақиқат: 

     1. 

1

2

1

2

1

2

1

2

z z

z

z , Arg z z

Arg z

Arg z .













 

(сандарды тригонометриялық түрде жазып алып, дәлелдеуге болады). 

     Мысалы 7.  

z i



 санының модулі мен аргументін тап. 

     Шешуі. 

z i

z , Arg z i

Arg z

2k

2







 

 















. 

Осылайша, 

i

-ге көбейткен кезде 

z

 нүктесіне сәйкес вектор  

2



 бұру жасайды. 

 

2. 

1

1

1

1

2

2

2

2

z

z

z

, Arg

Arg z

Arg z

z

z

z







. 

      

     





z

z cos Arg z i sin Arg z





 болсын, сонда  

 





2

2

z

z z

z

cos 2 Arg z

i sin 2 Arg z

  



. 

Математикалық  индукцияны  қолданып,  кез-келген  нөлден  үлкен  бүтін  сан  үшін- 





n

n

n

0 : z

z

cos n Arg z

i sin n Arg z







  (Муавр формуласы) орындалатынын дәлелдеуге 

болады. Бұл формула бүтін теріс 

n

сандары үшін де орындалады.  . 

      

     Мысалы 8.  Есептеу керек:  





5

3

i



.  

Шешуі:  

3 i

3 1

2,

 

 

 

   





1

arg

3

i

arctg

6

3













 









, 

3

i

2 cos

2k

i sin

2k

6

6

















 





 































, 





5

5

5

5

3

i

2

cos

10k

i sin

10k

6

6

















  

 

  





























 

 

3

1

32

i

16 3 16i

2

2











 











. 

    Комплекс санның 

n

-ші дәрежелі түбірі деп, 

n

w

z



 теңдігі орындалатын 

w

санын айтады. 

    Муавр формуласын қолданып, 

6 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

n

Arg z

arg z

2k

w

z ,

Arg w

,

k

0, 1, 2, ... , n 1.

n

n















 

     

k

  -ның  басқа  мәндері  үшін  аргументтері 

2

  -ге  еселі  сандармен  ерекшеленеді,  сондықтан 

түбірдің  мәні  қарастырылғандармен  бірдей  болады.,    Сонымен,  комплекс  санның     

n

-ші  дәрежелі 

түбірінің әртүрлі 

n

 мәні бар. 

 

     Мысалы  9.   

3

8



 санының барлық түбірлерін тауып, оларды салыңдар.  

Шешуі: 

 

8

8,

arg

8

 



 

, 













8

8 cos

2k

i sin

2k

 

 

 

 



, 

3

2k

2k

8

2 cos

i sin

3

3

 



 







 











, 

1

1

3

k

0,

w

2 cos

i sin

2

i

1 i 3

3

3

2

2























 

















, 





2

2

2

k

1,

w

2 cos

i sin

2

1 i 0

2

3

3

  

  













  

 









, 

3

4

4

1

3

k

2,

w

2 cos

i sin

2

i

1 i 3

3

3

2

2





  

  















 

















 

 

 

 

Комплекс айнымалы функция ұғымы. Элементар функциялар 

 

z

  комплекс  жазықтықтың 

M

нүктелер  жиынында 

w

f (z)



  функциясы  берілді  дейміз,    егер 

осы  жазықтықтың  әрбір 

M

z 

нүктесін  бұл  функция:  1)  нақты  бір 

w

  нүктесіне;  2)  немесе  нүктелер 

жиынтығына бейнелейтін болса. 

Бірінші жағдайда 

f (z)

  бірмәнді, екінші жағдайда – көпмәнді функция деп аталады. 

 Бұдан  ары  қарай  қайшылықтар  жағдайлар атап айтылмаса,  біз  бірмәнді  функциялармен  жұмыс 

істейміз.  

Егер 

z

x

i y





    және   

w

u

i v





деп  алсақ,  онда 

w

f (z)



  комплекс  айнымалы 

функцияның  берілуі,  келесі  екі  нақты  айнымалылы  функциялардың  берілуімен  мәндес  болады: 

u

u(x, y), v

v(x, y)





. 

7 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

Комплекс  айнымалы  функциялар 

z

e , sin z, cos z, sh z, ch z

  комплекс  жазықтықтың 

барлық нүктесінде жинақты келесі қатарлардың қосындысы болады:  

2

3

z

z

z

z

e

1

...;

1!

2!

3!

 







z

z

3

5

e

e

z

z

z

sh z

...;

2

1!

3!

5!















3

5

z

z

z

sin z

...;

1!

3!

5!









z

z

2

4

e

e

z

z

ch z

1

... ;

2

2!

4!







 





2

4

6

z

z

z

cos z

1

... .

2!

4!

6!

 







 

 

Нақты  өсте 

(z

x)



  бұл  функциялар  нақты  бір  айнымалылы  элементар  фунциялармен  сәйкес 

келеді. 

Комплекс айнымалылы функциялар үшін Эйлер формуласы былай жазылады: 

i z

e

cos z i sin z





. 

Осы формуладан:  

i z

i z

e

e

cos z

;

2







i z

i z

e

e

sin z

;

2i







ch i z

cos z;



sh i z

i sin z;



cos i z

ch z;



sin i z

i sh z.



 

Аргументтің комплекс мәндерінде барлық белгілі тригонометриялық тепе-теңдіктер сақталады.